高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題6 突破點17 函數(shù)與方程用書 理-人教高三數(shù)學試題

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1、突破點17　函數(shù)與方程 提煉1 函數(shù)y＝f(x)零點個數(shù)的判斷 (1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根． (2)幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點． (3)定理法：利用函數(shù)零點的存在性定理，即如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點. 提煉2 已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍 已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍問題，一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題．要注意觀察是否需要將一個復雜函

2、數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個相對較為簡單的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為定曲線與動直線問題． 回訪1　函數(shù)零點個數(shù)的判斷 1．(2015·湖北高考)函數(shù)f(x)＝2sin xsin－x2的零點個數(shù)為________． 2　f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由f(x)＝0，得sin 2x＝x2. 設y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐標系中畫出二者的圖象，如圖所示． 由圖象知，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，故函數(shù)f(x)有兩個零點．] 2．(2014·福建高考)函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)是________． 2　當x≤0時，令x2－2＝0，解得x＝－

3、(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一個零點． 當x>0時，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．又因為f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)內(nèi)有一個零點． 綜上，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.] 回訪2　已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍 3．(2015·湖南高考)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是__________． (0,2)　由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所

4、示， 則當0

5、5個交點， 此時，由得x2＋(5－a)x＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)， 則當1＜a＜2時，兩個函數(shù)圖象有4個交點． 故實數(shù)a的取值范圍是1＜a＜2.] 熱點題型1　函數(shù)零點個數(shù)的判斷 題型分析：函數(shù)零點個數(shù)的判斷常與函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性相結(jié)合命題，難度中等偏難. 　(1)(2016·秦皇島模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①圖象關于(1,0)點對稱；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③當x∈－1,1]時，f(x)＝則函數(shù)y＝f(x)－|x|在區(qū)間－3,3]上的零點個數(shù)為(　　) A．5　　　 B．6　　　　C．7

6、　　　 D．8 (2)(2016·鄭州二模)已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，當0＜x≤1時，f(x)＝logx，則方程f(x)－1＝0在(0,6)內(nèi)的零點之和為(　　) 【導學號：85952062】 A．8　　　 B．10 C．12　　　 D．16 (1)A　(2)C　(1)因為f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，又函數(shù)f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，如圖所示，畫出f(x)以及g(x)＝|x|在－3,3]上的圖象，由圖可知，兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為5，所以函數(shù)y＝f(x)－|x|在區(qū)間－3,3]上的零點個數(shù)為5，

7、故選A. (2)因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以當－1≤x＜0時，f(x)＝－f(－x)＝－log(－x)，又因為函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為x＝2k＋1，k∈Z，在平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，由圖易得直線y＝1與函數(shù)f(x)的圖象在(0,6)內(nèi)有四個交點，且分別關于直線x＝1和x＝5對稱，所以方程f(x)－1＝0在(0,6)內(nèi)的零點之和為2×1＋2×5＝12，故選C.] 求解此類函數(shù)零點個數(shù)的問題時，通常把它轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題來解決．函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝

8、g(x)的實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝g(x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象交點的橫坐標．其解題的關鍵步驟為：①分解為兩個簡單函數(shù)；②在同一坐標系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象；③數(shù)交點的個數(shù)，即原函數(shù)的零點的個數(shù)． 提醒：在畫函數(shù)圖象時，切忌隨手一畫，注意“草圖不草”，畫圖時應注意基本初等函數(shù)圖象的應用，以及函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、對稱性等)的適時運用，可加快畫圖速度，從而將問題簡化． 變式訓練1]　(1)(2016·合肥二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x≥0時，f(x)＝則關于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的零點個數(shù)為(　　) A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．5

9、 (2)已知函數(shù)f(x)＝cos x，g(x)＝2－|x－2|，x∈－2,6]，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的所有零點之和為(　　) A．6　　　 B．8 C．10　　　 D．12 (1)D　(2)D　(1)在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的圖象，如圖所示： 兩圖象共有5個交點，所以F(x)有5個零點． (2)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點之和可轉(zhuǎn)化為f(x)＝g(x)的根之和，即轉(zhuǎn)化為y1＝f(x)和y2＝g(x)兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標之和．又由函數(shù)g(x)＝2－|x－2|與f(x)的圖象均關于x＝2對稱，可知函數(shù)h(x)的零點之

10、和為12.] 熱點題型2　已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍 題型分析：已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，主要考查學生的數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，對學生的畫圖能力有較高要求. 　(1)(2016·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ (2)(名師押題)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝kx＋1(x∈R)，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在x∈－2,3]內(nèi)有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B．(2，＋∞) C. D．(2，4] (1)A　(2)

11、C　(1)令g(x)＝0，則f(x)＝m(x＋1)，故函數(shù)g(x)在(－1,1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點等價于函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝m(x＋1)有且僅有兩個不同的交點． 函數(shù)f(x)的圖象如圖中實線所示． 易求kAB＝，kAC＝－2， 過A(－1,0)作曲線的切線，不妨設切線方程為y＝k(x＋1)， 由得kx2＋(2k＋3)x＋2＋k＝0， 則Δ＝(2k＋3)2－4k(2＋k)＝0，解得k＝－. 故實數(shù)m的取值范圍為∪. (2)當x＝0時，顯然有f(x)≠g(x)，即x＝0不是y＝f(x)－g(x)的零點． 當x≠0時，y＝f(x)－g(x)在x∈－2,3]內(nèi)的零

12、點個數(shù)即方程f(x)＝g(x)(－2≤x≤3)的實根的個數(shù)． 當0＜x≤3時，有kx＋1＝x2＋3，即k＝x＋； 當－2≤x＜0時，有kx＋1＝1＋4xcos πx，即k＝4cos πx. 則y＝f(x)－g(x)(－2≤x≤3)的零點個數(shù)等價于函數(shù)y＝k與y＝的圖象的交點個數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示， 由圖知2＜k≤，故選C.] 求解此類逆向問題的關鍵有以下幾點：一是將原函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，并進行適當化簡、整理；二是構(gòu)造新的函數(shù)，把方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題；三是對新構(gòu)造的函數(shù)進行畫圖；四是觀察圖象，得參數(shù)的取值范

13、圍． 提醒：把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根，在構(gòu)造兩個新函數(shù)的過程中，一般是構(gòu)造圖象易得的函數(shù)，最好有一條是直線，這樣在判斷參數(shù)的取值范圍時可快速準確地得到結(jié)果． 變式訓練2]　(1)(2016·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是(　　) 【導學號：85952063】 A. B． C．－ D．－ (2)(2016·汕頭一模)設函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，恒有f(x)－f(－x)＝0，當x∈－1,0]時，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，

14、＋∞)上有且僅有三個零點，則a的取值范圍為(　　) A．3,5] B．4,6] C．(3,5) D．(4,6) (1)C　(2)C　(1)令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，且f(x)是奇函數(shù)，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，又因為f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x2＋1＝x－λ只有一個零點，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個零點，則Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－，故選C. (2)因為f(x)－f(－x)＝0， 所以f(x)＝f(－x)， 所以f(x)是偶函數(shù)， 根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示： 因為g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有且僅有三個零點， 所以y＝f(x)和y＝logax的圖象在(0，＋∞)上只有三個交點， 所以解得3＜a＜5.]