《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 突破點(diǎn)2 解三角形用書 理-人教高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 突破點(diǎn)2 解三角形用書 理-人教高三數(shù)學(xué)試題(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、突破點(diǎn)2 解三角形
提煉1
常見解三角形的題型及解法
(1)已知兩角及一邊,利用正弦定理求解.
(2)已知兩邊及一邊的對角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情況可能不唯一.
(3)已知兩邊及其夾角,利用余弦定理求解.
(4)已知三邊,利用余弦定理求解.
提煉2
三角形形狀的判斷
(1)從邊出發(fā),全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.
(2)從角出發(fā),全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系,然后進(jìn)行恒等變形,再判斷.
注意:要靈活選用正弦定理或余弦定理,且在變形的時候要注意方程的同解性,如方程兩邊同除以一個數(shù)時要注意該數(shù)是否為零,避免漏解.
提煉3
三角形的常用面積公式
設(shè)△AB
2、C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c ,其面積為S.
(1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分別表示a,b,c邊上的高).
(2)S=absin C=bcsin A=casin B.
(3)S=r(a+b+c)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑).
回訪1 正、余弦定理的應(yīng)用
1.(2016·全國甲卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=________.
在△ABC中,∵cos A=,cos C=,
∴sin A=,sin C=,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=
3、×+×=.
又∵=,∴b===.]
2.(2015·全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是________.
(-,+) 如圖所示,延長BA與CD相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF∥AD交AB于點(diǎn)F,則BF
4、,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則△ABC面積的最大值為________.
∵===2R,a=2,
又(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化為
(a+b)(a-b)=(c-b)·c,
∴a2-b2=c2-bc,∴b2+c2-a2=bc.
∴===cos A,∴∠A=60°.
∵△ABC中,4=a2=b2+c2-2bc·cos 60°=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc(“=”當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取得),
∴S△ABC=·bc·sin A≤×4×=.]
熱點(diǎn)題型1 正、余弦定理的應(yīng)用
題型分析:利用正、余弦定理解題是歷
5、年高考的熱點(diǎn),也是必考點(diǎn),求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化.
(2016·四川高考)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且+=.
(1)證明:sin Asin B=sin C;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.
解] (1)證明:根據(jù)正弦定理,可設(shè)===k(k>0).
則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,
代入+=中,有
+=,2分
即sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).4分
在△ABC中,由A+B+C=π,
有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
6、
所以sin Asin B=sin C.6分
(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有
cos A==,8分
所以sin A==.9分
由(1)知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin B=cos B+ sin B,11分
故tan B==4.12分
關(guān)于解三角形問題,一般要用到三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì),常見的三角變換方法和原則都適用,同時要注意“三統(tǒng)一”,即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”,這是使問題獲得解決的突破口.
變式訓(xùn)練1] (1)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,
7、已知a=2,c=3,cos B=,則=__________.
【導(dǎo)學(xué)號:85952013】
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得b2=22+32-2×2×3×=10,所以b=.
由余弦定理,得cos C===.
因?yàn)锽是△ABC的內(nèi)角,
所以sin B==.
由正弦定理=,得sin A=,所以=.]
(2)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且acos B+bcos(B+C)=0.
①證明:△ABC為等腰三角形;
②若2(b2+c2-a2)=bc,求cos B+cos C的值.
解]?、僮C明:∵acos B+bcos (B+C)=0,
8、∴由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos(π-A)=0,
即sin Acos B-sin Bcos A=0,3分
∴sin(A-B)=0,∴A-B=kπ,k∈Z.4分
∵A,B是△ABC的兩內(nèi)角,
∴A-B=0,即A=B,5分
∴△ABC是等腰三角形.6分
②由2(b2+c2-a2)=bc,
得=,7分
由余弦定理得cos A=,8分
cos C=cos(π-2A)=-cos 2A=1-2cos2 A=.10分
∵A=B,∴cos B=cos A=,11分
∴cos B+cos C=+=.12分
熱點(diǎn)題型2 三角形面積的求解問題
題型分析:三角形面積的計(jì)算
9、及與三角形面積有關(guān)的最值問題是解三角形的重要命題點(diǎn)之一,本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形,難度中等.
(2015·山東高考)設(shè)f(x)=sin xcos x-cos2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面積的最大值.
【解題指導(dǎo)】 (1)
―→
(2)
解] (1)由題意知
f(x)=-
=-=sin 2x-.2分
由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.4分
所以f(x)的單
10、調(diào)遞增區(qū)間是-+kπ,+kπ(k∈Z);單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z).6分
(2)由f=sin A-=0,得sin A=,7分
由題意知A為銳角,所以cos A=.8分
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+bc=b2+c2≥2bc,10分
即bc≤2+,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立.
因此bcsin A≤,
所以△ABC面積的最大值為.12分
1.在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B,y=Atan(ωx+φ)+B)的形式,進(jìn)而利用函數(shù)y=sin x(或y=cos x,y=ta
11、n x)的圖象與性質(zhì)解決問題.
2.在三角形中,正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化,尤其在余弦定理a2=b2+c2-2bccos A中,有a2+c2和ac兩項(xiàng),二者的關(guān)系a2+c2=(a+c)2-2ac經(jīng)常用到,有時還可利用基本不等式求最值.
變式訓(xùn)練2] (名師押題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a+=4cos C,b=1.
(1)若sin C=,求a,c;
(2)若△ABC是直角三角形,求△ABC的面積.
解] (1)∵sin C=,∴cos2C=1-sin2C=,cos C=.1分
∵4cos C=a+,
∴=a+,解得a=或a=.3分
又+a=4cos C=4×=4×,
∴a2+1=2(a2+1-c2),即2c2=a2+1.5分
∴當(dāng)a=時,c=2;當(dāng)a=時,c=.6分
(2)由(1)可知2c2=a2+1.
又△ABC為直角三角形,C不可能為直角.
①若角A為直角,則a2=b2+c2=c2+1,
∴2c2-1=c2+1,
∴c=,a=,8分
∴S=bc=×1×=.9分
②若角B為直角,則b2=a2+c2,a2+c2=1.
∴2c2=a2+1=(1-c2)+1,
∴c2=,a2=,即c=,a=,11分
∴S=ac=××=.12分