高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)11 專(zhuān)題4 突破點(diǎn)11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理-人教高三數(shù)學(xué)試題
《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)11 專(zhuān)題4 突破點(diǎn)11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理-人教高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)11 專(zhuān)題4 突破點(diǎn)11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理-人教高三數(shù)學(xué)試題(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(十一) 空間中的平行與垂直關(guān)系 建議A、B組各用時(shí):45分鐘] A組 高考達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1.(2016·南昌一模)設(shè)α為平面,a,b為兩條不同的直線(xiàn),則下列敘述正確的是( ) A.若a∥α,b∥α,則a∥b B.若a⊥α,a∥b,則b⊥α C.若a⊥α,a⊥b,則b∥α D.若a∥α,a⊥b,則b⊥α B A中,兩直線(xiàn)可能平行、相交或異面,故A錯(cuò);B中,由直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可知B正確;C中,b可能平行α,也可能在α內(nèi),故C錯(cuò);D中,b可能平行α,也可能在α內(nèi),還可能與α相交,故D錯(cuò).綜上所述,故選B.] 2.(2016·濟(jì)南一模)設(shè)m,n是兩條
2、不同的直線(xiàn),α,β是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題: ①若m∥n,m⊥β,則n⊥β; ②若m∥α,m∥β,則α∥β; ③若m∥n,m∥β,則n∥β; ④若m⊥α,m⊥β,則α⊥β. 其中真命題的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A 對(duì)于①,由直線(xiàn)與平面垂直的判定定理易知其正確;對(duì)于②,平面α與β可能平行或相交,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,直線(xiàn)n可能平行于平面β,也可能在平面β內(nèi),故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由兩平面平行的判定定理易得平面α與β平行,故④錯(cuò)誤.綜上所述,正確命題的個(gè)數(shù)為1,故選A.] 圖11-5 3.如圖11-5所示,直線(xiàn)PA垂直于⊙O所在的平面
3、,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,點(diǎn)M為線(xiàn)段PB的中點(diǎn).現(xiàn)有結(jié)論:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線(xiàn)段BC的長(zhǎng).其中正確的是( ) A.①② B.①②③ C.① D.②③ B 對(duì)于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC. ∵AB為⊙O的直徑,∴BC⊥AC.又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC, 又PC?平面PAC,∴BC⊥PC. 對(duì)于②,∵點(diǎn)M為線(xiàn)段PB的中點(diǎn), ∴OM∥PA.∵PA?平面PAC,OM?平面PAC, ∴OM∥平面PAC. 對(duì)于③,由①知BC⊥平面PAC, ∴線(xiàn)段BC的長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離,故①②③
4、都正確.] 4.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,有下列三個(gè)條件: ①存在一個(gè)平面γ,γ⊥α,γ∥β; ②存在一條直線(xiàn)a,a?α,a⊥β; ③存在兩條垂直的直線(xiàn)a,b,a⊥β,b⊥α. 其中,所有能成為“α⊥β”的充要條件的序號(hào)是( ) A.① B.② C.③ D.①③ D 對(duì)于①,存在一個(gè)平面γ,γ⊥α,γ∥β,則α⊥β,反之也成立,即“存在一個(gè)平面γ,γ⊥α,γ∥β”是“α⊥β”的充要條件,所以①對(duì),可排除B,C. 對(duì)于③,存在兩條垂直的直線(xiàn)a,b,則直線(xiàn)a,b所成的角為90°, 因?yàn)閍⊥β,b⊥α,所以α,β所成的角為90°, 即α⊥β,反之也成立,即“存在
5、兩條垂直的直線(xiàn)a,b,a⊥β,b⊥α”是“α⊥β”的充要條件,所以③對(duì),可排除A,選D.] 圖11-6 5.(2016·成都二模)在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F(xiàn)分別是線(xiàn)段PB,PC上的動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( ) A.當(dāng)AE⊥PB時(shí),△AEF一定為直角三角形 B.當(dāng)AF⊥PC時(shí),△AEF一定為直角三角形 C.當(dāng)EF∥平面ABC時(shí),△AEF一定為直角三角形 D.當(dāng)PC⊥平面AEF時(shí),△AEF一定為直角三角形 B 因?yàn)锳P⊥平面ABC,所以AP⊥BC,又AB⊥BC,且PA和AB是平面PAB上兩條相交直線(xiàn),則BC⊥平面PAB,BC⊥AE.當(dāng)AE⊥
6、PB時(shí),AE⊥平面PBC,則AE⊥EF,△AEF一定是直角三角形,A正確;當(dāng)EF∥平面ABC時(shí),EF在平面PBC上,平面PBC與平面ABC相交于BC,則EF∥BC,則EF⊥AE,△AEF一定是直角三角形,C正確;當(dāng)PC⊥平面AEF時(shí),AE⊥PC,又AE⊥BC,則AE⊥平面PBC,AE⊥EF,△AEF一定是直角三角形,D正確;B中結(jié)論無(wú)法證明,故選B.] 二、填空題 6.已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn),且PA,PB,PC兩兩垂直,則下列命題: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952041】 3 如圖所示
7、,∵PA⊥PC,PA⊥PB,PC∩PB=P, ∴PA⊥平面PBC. 又∵BC?平面PBC, ∴PA⊥BC. 同理PB⊥AC,PC⊥AB,但AB不一定垂直于BC.] 7.在三棱錐C-ABD中(如圖11-7),△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形,O是斜邊BD的中點(diǎn),AB=4,二面角A-BD-C的大小為60°,并給出下面結(jié)論:①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC為正三角形;④cos ∠ADC=;⑤四面體ABCD的外接球表面積為32π.其中真命題是________(填序號(hào)). 圖11-7 ①③⑤ 由題意知BD⊥CO,BD⊥AO,則BD⊥平面AOC,從而B(niǎo)D⊥AC,故①正確
8、;根據(jù)二面角A-BD-C的大小為60°,可得∠AOC=60°,又直線(xiàn)AD在平面AOC的射影為AO,從而AD與CO不垂直,故②錯(cuò)誤;根據(jù)∠AOC=60°,AO=CO可得△AOC為正三角形,故③正確;在△ADC中 ,AD=CD=4,AC=CO=2,由余弦定理得cos ∠ADC==,故④錯(cuò)誤;由題意知,四面體ABCD的外接球的球心為O,半徑為2,則外接球的表面積為S=4π×(2)2=32π,故⑤正確.] 8.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線(xiàn)段B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是________.(填序號(hào)) ①AC⊥BE; ②B1E∥平面ABCD; ③三棱錐E-ABC的體積為定
9、值; ④直線(xiàn)B1E⊥直線(xiàn)BC1. ①②③ 因?yàn)锳C⊥平面BDD1B1,故①,②正確;記正方體的體積為V,則VE-ABC=V為定值,故③正確;B1E與BC1不垂直,故④錯(cuò)誤.] 三、解答題 9.(2016·北京高考)如圖11-8,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. 圖11-8 (1)求證:DC⊥平面PAC. (2)求證:平面PAB⊥平面PAC. (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF?說(shuō)明理由. 解] (1)證明:因?yàn)镻C⊥平面ABCD, 所以PC⊥DC.2分 又因?yàn)镈C⊥AC,且PC∩AC=C,
10、所以DC⊥平面PAC.4分 (2)證明:因?yàn)锳B∥DC,DC⊥AC, 所以AB⊥AC. 因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥AB. 又因?yàn)镻C∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.8分 又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.9分 (3)棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF.10分 理由如下:取PB的中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF. 又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EF∥PA. 又因?yàn)镻A?平面CEF,且EF?平面CEF, 所以PA∥平面CEF.14分 10.(2016·河南六市模擬)如圖11-9,四棱錐P-ABCD,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD
11、是∠ABC=60°的菱形,M為PC的中點(diǎn). 圖11-9 (1)求證:PC⊥AD; (2)求點(diǎn)D到平面PAM的距離. 解] (1)證明:法一:取AD中點(diǎn)O,連接OP,OC,AC,依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,所以O(shè)C⊥AD,OP⊥AD,又OC∩OP=O,OC?平面POC,OP?平面POC,所以AD⊥平面POC,又PC?平面POC,所以PC⊥AD.5分 法二:連接AC,AM,DM,依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,又M為PC的中點(diǎn),所以AM⊥PC,DM⊥PC, 又AM∩DM=M,AM?平面AMD,DM?平面AMD, 所以PC⊥平面AMD, 又AD?平面A
12、MD,所以PC⊥AD.5分 (2)由題可知,點(diǎn)D到平面PAM的距離即點(diǎn)D到平面PAC的距離,由(1)可知PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, PO?平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO為三棱錐P-ADC的高. 在Rt△POC中,PO=OC=,PC=, 在△PAC中,PA=AC=2,PC=,邊PC上的高AM==, 所以S△PAC=PC·AM=××=.8分 設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h,由VD-PAC=VP-ACD得S△PAC·h=S△ACD·PO,又S△ACD=×22=, 所以×·h=××,解得h=,所以點(diǎn)D到平面PAM的距離為.12分
13、B組 名校沖刺] 一、選擇題 1.(2016·烏魯木齊三模)如圖11-10,在多面體ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AC∥GF,且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,四邊形DEFG是邊長(zhǎng)為4的正方形,M,N分別為AD,BE的中點(diǎn),則MN=( ) 圖11-10 A. B.4 C. D.5 A 如圖,取BD的中點(diǎn)P,連接MP,NP,則MP∥AB,NP∥DE,MP=AB=1,NP=DE=2.又∵AC∥GF,∴AC∥NP. ∵∠CAB=60°,∴∠MPN=120°,∴MN===,故選A.] 2.如圖11-11,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=A
14、B,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD.則在三棱錐A-BCD中,下列命題正確的是( ) 圖11-11 A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC D ∵在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面ABD,則CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,∴AB⊥平面ADC,又AB?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC,故選D.]
15、3.(2016·貴陽(yáng)二模)如圖11-12,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O,則下列說(shuō)法正確的是( ) 圖11-12 A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的內(nèi)心 C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心 A 由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直,∴PA⊥平面PEF,從而PA⊥EF,而PO⊥平面AEF, 則PO⊥EF. ∵PO∩PA=P,∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,∴O為△AEF的垂心.故選A.] 4
16、.(2016·長(zhǎng)沙模擬)如圖11-13,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1, 圖11-13 E,F(xiàn)是線(xiàn)段B1D1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF=,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ) A.AC⊥BF B.三棱錐A-BEF的體積為定值 C.EF∥平面ABCD D.異面直線(xiàn)AE,BF所成的角為定值 D 對(duì)于選項(xiàng)A,連接BD,易知AC⊥平面BDD1B1.∵BF?平面BDD1B1,∴AC⊥BF,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,∵AC⊥平面BDD1B1,∴A到平面BEF的距離不變.∵EF=,B到EF的距離為1,∴△BEF的面積不變,∴三棱錐A-BEF的體積為定值,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,∵EF∥BD,BD?
17、平面ABCD,EF?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD,故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,異面直線(xiàn)AE,BF所成的角不為定值,當(dāng)F與B1重合時(shí),令上底面中心為O,則此時(shí)兩異面直線(xiàn)所成的角是∠A1AO,當(dāng)E與D1重合時(shí),點(diǎn)F與O重合,則兩異面直線(xiàn)所成的角是∠OBC1,這兩個(gè)角不相等,故異面直線(xiàn)AE,BF所成的角不為定值,故D錯(cuò)誤.] 二、填空題 5.(2016·衡水二模)如圖11-14,正方形BCDE的邊長(zhǎng)為a,已知AB=BC,將△ABE沿邊BE折起,折起后A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為D點(diǎn),關(guān)于翻折后的幾何體有如下描述: 圖11-14 ①AB與DE所成角的正切值是;②AB∥CE;③VB-ACE=
18、a3;④平面ABC⊥平面ACD.其中正確的有________.(填序號(hào)) ①③④ 作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示: ∵AB=BC=a,BE=a,∴AE=a. ∴AD==a,∴AC==a.在△ABC中,cos∠ABC===. ∴sin∠ABC==. ∴tan ∠ABC==. ∵BC∥DE,∴∠ABC是異面直線(xiàn)AB,DE所成的角,故①正確.連接BD,CE,則CE⊥BD,又AD⊥平面BCDE,CE?平面BCDE,∴CE⊥AD.又BD∩AD=D,BD?平面ABD,AD?平面ABD,∴CE⊥平面ABD.又AB?平面ABD,∴CE⊥AB,故②錯(cuò)誤.VB-ACE=VA-BCE=S△BCE·
19、AD=××a2×a=,故③正確.∵AD⊥平面BCDE,BC?平面BCDE,∴BC⊥AD.又BC⊥CD,CD∩AD=D,CD,AD?平面ACD,∴BC⊥平面ACD.∵BC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ACD,故④正確.故答案為①③④.] 6.(2016·太原二模)已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D-ABC,當(dāng)三棱錐D-ABC的體積取最大值時(shí),其外接球的體積為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952042】 π 當(dāng)平面DAC⊥平面ABC時(shí),三棱錐D-ABC的體積取最大值.此時(shí)易知BC⊥平面DAC,∴BC⊥AD
20、.又AD⊥DC,∴AD⊥平面BCD,∴AD⊥BD,取AB的中點(diǎn)O,易得OA=OB=OC=OD=1,故O為所求外接球的球心,故半徑r=1,體積V=πr3=π.] 三、解答題 7.(2016·四川高考)如圖11-15,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥CD, 圖11-15 AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD. (1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線(xiàn)CM∥平面PAB,并說(shuō)明理由; (2)證明:平面PAB⊥平面PBD. 解] (1)取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).2分 理由如下: 因?yàn)锳D∥BC,BC=AD, 所以BC∥AM,且B
21、C=AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形, 所以CM∥AB.4分 又AB?平面PAB,CM?平面PAB, 所以CM∥平面PAB.6分 (說(shuō)明:取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線(xiàn)MN上任意一點(diǎn)) (2)證明:由已知,PA⊥AB,PA⊥CD, 因?yàn)锳D∥BC,BC=AD,所以直線(xiàn)AB與CD相交, 所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.8分 因?yàn)锳D∥BC,BC=AD,M為AD的中點(diǎn),連接BM, 所以BC∥MD,且BC=MD, 所以四邊形BCDM是平行四邊形,10分 所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PB
22、D,所以平面PAB⊥平面PBD.12分 8.(2016·長(zhǎng)春二模)已知等腰梯形ABCD(如圖11-16(1)所示),其中AB∥CD,E,F(xiàn)分別為AB和CD的中點(diǎn),且AB=EF=2,CD=6,M為BC中點(diǎn).現(xiàn)將梯形ABCD沿著EF所在直線(xiàn)折起,使平面EFCB⊥平面EFDA(如圖11-16(2)所示),N是線(xiàn)段CD上一動(dòng)點(diǎn),且CN=ND. (1) (2) 圖11-16 (1)求證:MN∥平面EFDA; (2)求三棱錐A-MNF的體積. 解] (1)證明:過(guò)點(diǎn)M作MP⊥EF于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)N作NQ⊥FD于點(diǎn)Q,連接PQ.由題知,平面EFCB⊥平面EFDA,又MP⊥EF,平
23、面EFCB∩平面EFDA=EF,∴MP⊥平面EFDA. 又EF⊥CF,EF⊥DF,CF∩DF=F,∴EF⊥平面CFD. 又NQ?平面CFD,∴NQ⊥EF. 又NQ⊥FD,EF∩FD=F,∴NQ⊥平面EFDA,∴MP∥NQ.2分 又CN=ND,∴NQ=CF=×3=2, 且MP=(BE+CF)=×(1+3)=2,∴MP綊NQ, ∴四邊形MNQP為平行四邊形.4分 ∴MN∥PQ. 又∵M(jìn)N?平面EFDA,PQ?平面EFDA, ∴MN∥平面EFDA.6分 (2)法一:延長(zhǎng)DA,CB相交于一點(diǎn)H,則H∈CB,H∈DA. 又∵CB?平面FEBC,DA?平面FEAD. ∴H∈平面FE
24、BC,H∈平面FEAD, 即H∈平面FEBC∩平面FEAD=EF, ∴DA,F(xiàn)E,CB交于一點(diǎn)H,且HE=EF=1.8分 V三棱錐F-CDH=V三棱錐C-HFD=·S△HFD·CF=, 又由平面幾何知識(shí)得=,10分 則=, ∴V三棱錐A-MNF=V三棱錐F-AMN=·V三棱錐F-CDH=×=1.12分 法二:V三棱臺(tái)BEA-CDF=×EF×(S△BEA++S△CDF)=×2×=, V四棱錐A-BEFM=×AE×S四邊形BEFM=, V三棱錐N-ADF=×2×S△ADF=2, V三棱錐N-CFM=×1×S△CFM=,10分 V三棱錐A-MNF=V三棱臺(tái)BEA-CDF-V三棱錐N-CFM-V四棱錐A-BEFM-V三棱錐N-ADF =---2=1.12分
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