《高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題2 突破點4 等差數(shù)列、等比數(shù)列 理-人教高三數(shù)學試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題2 突破點4 等差數(shù)列、等比數(shù)列 理-人教高三數(shù)學試題(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題二 數(shù) 列
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高考點撥] 數(shù)列專題是高考的必考專題之一,主要考查等差、等比數(shù)列的基本量運算及數(shù)列求和的能力,該部分即可單獨命題,又可與其他專題綜合命題,考查方式靈活多樣,結(jié)合近幾年高考命題研究,為此本專題我們按照“等差、等比數(shù)列”和“數(shù)列求和”兩條主線展開分析和預測.
突破點4 等差數(shù)列、等比數(shù)列
提煉1
等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算
(1)通項公式
等差數(shù)列:an=a1+(n-1)d;
等比數(shù)列:an=a1·qn-1.
(2)求和公式
等差數(shù)列:Sn==na1+d;
等比數(shù)列:Sn==(q≠1).
(3)性
2、質(zhì)
若m+n=p+q,
在等差數(shù)列中am+an=ap+aq;
在等比數(shù)列中am·an=ap·aq.
提煉2
等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明
數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法:
(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法
①利用定義,證明an+1-an(n∈N*)為一常數(shù);
②利用中項性質(zhì),即證明2an=an-1+an+1(n≥2).
(2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法
①利用定義,證明(n∈N*)為一常數(shù);
②利用等比中項,即證明a=an-1an+1(n≥2).
提煉3
數(shù)列中項的最值的求法
(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應關(guān)系,構(gòu)造相應的函數(shù)
3、f(n)=an,利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進行求解,但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制.
(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解,利用不等式an+1≥an(或an+1≤an)求解出n的取值范圍,從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化,進而確定相應的最值.
(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解,若求數(shù)列{an}的最大項,則可解不等式組若求數(shù)列{an}的最小項,則可解不等式組求出n的取值范圍之后,再確定取得最值的項.
回訪1 等差數(shù)列基本量的運算
1.(2016·全國乙卷)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=( )
A.100 B.99
C.98 D.97
4、
C 法一:∵{an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,
∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
又∵a10=8,∴∴
∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故選C.
法二:∵{an}是等差數(shù)列,
∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
在等差數(shù)列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差數(shù)列,且公差d′=a10-a5=8-3=5.
故a100=a5+(20-1)×5=98.故選C.]
2.(2013·全國卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
5、
C ∵{an}是等差數(shù)列,Sm-1=-2,Sm=0,
∴am=Sm-Sm-1=2.
∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3,
∴d=am+1-am=1.
又Sm===0,
∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2,∴m=5.]
3.(2013·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為________.
-49 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,由等差數(shù)列前n項和可得解得
∴nSn=n2a1+d=-3n2+(n3-n2)=n3-,∴(nSn)′=n2-,
令(nSn)′=0,解得n=0(舍去)或n=.
6、
當n>時,nSn是單調(diào)遞增的;當0<n<時,nSn是單調(diào)遞減的,故當n=7時,nSn取最小值,
∴(nSn)min=×73-=-49.]
回訪2 等比數(shù)列基本量的運算
4.(2015·全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=( )
A.21 B.42
C.63 D.84
B ∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2+3q4=21,
∴1+q2+q4=7,解得q2=2或q2=-3(舍去).
∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故選B.]
5.(2016·全國乙卷)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a
7、1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為________.
64 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,∴a1=8.
故a1a2…an=aq1+2+…+(n-1)=23n·
=23n-+=2-+n.
記t=-+=-(n2-7n),
結(jié)合n∈N*可知n=3或4時,t有最大值6.
又y=2t為增函數(shù),從而a1a2…an的最大值為26=64.]
熱點題型1 等差、等比數(shù)列的基本運算
題型分析:以等差(比)數(shù)列為載體,考查基本量的求解,體現(xiàn)方程思想的應用是近幾年高考命題的一個熱點,題型
8、以客觀題為主,難度較小.
(1)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1+a3=30,S4=120,設(shè)bn=1+log3an,那么數(shù)列{bn}的前15項和為( )
A.152 B.135
C.80 D.16
(2)設(shè){an}是首項為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1=( )
A.2 B.-2
C. D.-
(1)B (2)D (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a1+a3=30,a2+a4=S4-(a1+a3)=90,所以公比q==3,首項a1==3,所以an=3n,bn=1+log33n=1+n,則數(shù)列{
9、bn}是等差數(shù)列,前15項的和為=135,故選B.
(2)由題意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6,因為S1,S2,S4成等比數(shù)列,
所以S=S1·S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-,故選D.]
在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項a1和公差d(公比q),在解題時往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個量的方程組,從而求出這兩個量,那么其他問題也就會迎刃而解.這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法,這其中蘊含著方程思想的運用.
提醒:應用等比數(shù)列前n項和公式時,務必注意公比q的取值范圍.
變式訓練1] (1)已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+
10、1=an+3,Sn為{an}的前n項和,若Sn=51,則n=__________.
(2)(名師押題)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1+a3=,a2+a4=,則=________.
(1)6 (2)2n-1 (1)由a1=1,an+1=an+3,得an+1-an=3,
所以數(shù)列{an}是首項為1,公差為3的等差數(shù)列.
由Sn=n+×3=51,即(3n+17)(n-6)=0,
解得n=6或n=-(舍).
(2)∵q===,
∴a1+a3=a1+a1×=,
解得a1=2,
∴an=2×n-1=,
∴Sn==4,
∴==2n-1.]
熱點題型2 等差、等比數(shù)列的基
11、本性質(zhì)
題型分析:該熱點常與數(shù)列中基本量的運算綜合考查,熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì),可以大大提高解題效率.
(1)(2016·南昌一模)若等比數(shù)列的各項均為正數(shù),前4項的和為9,積為,則前4項倒數(shù)的和為( )
【導學號:85952020】
A. B.
C.1 D.2
(2)(2015·東北三校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足S15>0,S16<0,則,,,…,中最大的項為( )
A. B.
C. D.
(1)D (2)C (1)由題意得
S4==9,所以=.由a1·a1q·a1q2·a1q3=(aq3)2=得aq3=.由等比數(shù)列的性質(zhì)知該數(shù)
12、列前4項倒數(shù)的和為==·==2,故選D.
(2)由S15===15a8>0,S16==16×<0,可得a8>0,a9<0,d<0,故Sn最大為S8.又d<0,所以{an}單調(diào)遞減,因為前8項中Sn遞增,所以Sn最大且an取最小正值時有最大值,即最大,故選C.]
1.若{an},{bn}均是等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,則{man+kbn},仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù).
2.若{an},{bn}均是等比數(shù)列,則{can}(c≠0),{|an|},{an·bn},{manbn}(m為常數(shù)),{a},仍為等比數(shù)列.
3.公比不為1的等比數(shù)列,其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列,
13、且公比不變,即a2-a1,a3-a2,a4-a3,…成等比數(shù)列,且公比為==q.
4.(1)等比數(shù)列(q≠-1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比數(shù)列,其公比為qk.
(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列,公差為k2d.
5.若A2n-1,B2n-1分別為等差數(shù)列{an},{bn}的前2n-1項的和,則=.
變式訓練2] (1)(2016·沈陽模擬)已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足2a2-a+2a12=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b3b11等于( )
A.16 B.8
14、
C.4 D.2
(2)在等比數(shù)列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,則a9+a11+a13+a15=( )
A.1 B.2
C.3 D.2或4
(1)A (2)C (1)∵{an}是等差數(shù)列,∴a2+a12=2a7,
∴2a2-a+2a12=4a7-a=0.
又a7≠0,∴a7=4.
又{bn}是等比數(shù)列,∴b3b11=b=a=16.
(2)∵{an}為等比數(shù)列,∴a5+a7是a1+a3與a9+a11的等比中項,∴(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11===2.
同理a9+a11是a5+a7與a13+a15的等比中項,
∴
15、(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15===1.
∴a9+a11+a13+a15=2+1=3.]
熱點題型3 等差、等比數(shù)列的證明
(2016·全國丙卷)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(2)若S5=,求λ.
解] (1)證明:由題意得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=,故a1≠0.1分
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan.2分
由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.3分
因此{an
16、}是首項為,公比為的等比數(shù)列,4分
于是an=n-1.6分
(2)由(1)得Sn=1-n.8分
由S5=得1-5=,即5=.10分
解得λ=-1.12分
判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列,一般是依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義,或利用等差中項、等比中項進行判斷.
提醒:利用a=an+1·an-1(n≥2)來證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時,要注意數(shù)列中的各項均不為0.
變式訓練3] (2014·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).
(1)證明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說
17、明理由.
解] (1)證明:由題設(shè)知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,
兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1,2分
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.4分
(2)由題設(shè)知a1=1,a1a2=λS1-1,
可得a2=λ-1.5分
由(1)知,a3=λ+1.6分
令2a2=a1+a3,解得λ=4.7分
故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3.9分
{a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.11分
所以an=2n-1,an+1-an=2,
因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.12分