高次方程、分式方程、無理方程的解法

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1、高 次 方 程 、 分 式 方 程 、無 理 方 程 的 解 法 內(nèi) 容 概 況 無 理 方 程 高 次 方 程 分 式 方 程 一 次 或 二 次 方 程 整 式 方 程有 理 方 程 因 式 分 解 、 換 元兩 邊 同 乘 以 最 簡 公 分 母 、 換 元兩 邊 平 方 、 換 元 2、 高 次 方 程 的 解 法 我 們 可 通 過 因 式 分 解 和 換 元 將 一 元 高 次 方 程 轉(zhuǎn) 化 為 一 元 一 次 方 程 和 一 元 二 次 方 程 一 、 高 次 方 程 的 解 法 知識要點1、 什 么 是 高 次 方 程 整 式 方 程 中 ， 未 知 數(shù) 的 次 數(shù) 大 于

2、或 等 于 3的 方 程 稱 為 高 次 方 程 典型例題034 23 xxx 0)34( 2 xxx 0)3)(1( xxx所 以例 1（ 1） 解 方 程 解 ： 因 式 分 解 3,1,0 321 xxx 典型例題013 x 043)21(1 22 xxx 0)1)(1(1 23 xxxx因 為 所 以 01x所 以 例 1（ 2） 解 方 程 解 ： 因 式 分 解 1x 典型例題例 1（ 3） 解 方 程 0842 23 xxx解 ： 因 式 分 解 0)2(4)2(2 xxx 0)2)(4( 2 xx 0)2)(2( 2 xx所 以 2,2 321 xxx 典型例題例 2（ 1）

3、解 方 程 024)5(2)5( 222 xxxx解 ： 換 元 令 xxt 52 則 原 方 程 可 以 化 為 0242 2 tt即 0)4)(6( tt 故 6t 或 4t即 652 xx 或 452 xx解 得 ： 4,1,6,1 4321 xxxx 典型例題例 2（ 2） 解 方 程 19)7)(4)(1)(2( xxxx2 2( 5 14)( 5 4) 19x x x x 解 ： 原 方 程 即 換 元 令 2 5 14x x t 原 方 程 可 化 為 19)18( tt解 得 19t 或 1t即 2 5 14 19x x 或 2 5 14 1x x 典型例題解 得 ： 2 55

4、1 x 2 552 x2 855 3 x 2 8554 x 例 2（ 3） 解 方 程解 ： 原 方 程 即 換 元 令 原 方 程 可 化 為 解 得 或 即 12)66)(86()76( 2 xxx 72)176)(176()76( 2 xxx 76 xt 72)1( 22 tt9 2 t 82 t （ 舍 去 ）3t解 得 376 x32x 或 35x解 得 解高次方程的一般步驟 1、 整 理 方 程 ， 右 邊 化 為 0. 2、 將 方 程 左 邊 因 式 分 解 ， 或 者 進 行 換 元 3、 將 方 程 轉(zhuǎn) 化 為 若 干 個 一 次 或 二 次 方 程 4、 寫 出 原 方

5、程 的 根 .解高次方程的思路是：高 次方 程 一 次 或 二 次 方 程因 式 分 解 、 換 元 方法提煉1.可 通 過 因 式 分 解 將 高 次 方 程 轉(zhuǎn) 化 為 一 次 或 二 次 方 程2.可 通 過 換 元 將 高 次 方 程 轉(zhuǎn) 化 為一 次 或 二 次 方 程3. n次 方 程 最 多 有 n個 實 數(shù) 根 二 、 分 式 方 程 的 解 法 知識要點1、 什 么 是 分 式 方 程 分 母 中 含 有 未 知 數(shù) 的 方 程 叫 分 式 方 程 .2、 分 式 方 程 的 解 法我 們 可 通 過 將 方 程 兩 邊 同 乘 以 最 簡 公 分 母 或 者 換 元 將 分

6、 式 方 程 轉(zhuǎn) 化 為 整 式 方 程 . 3、 解 分 式 方 程 的 注 意 點在 解 分 式 方 程 后 都 必 需 檢 驗 ,這 是 因 為 從 分 式 方 程 到 整 式 方 程 的 轉(zhuǎn) 化 有 時 不 是 等 價 的 . 典型例題例 3（ 1） 解 方 程 xx 527 解 ： 兩 邊 同 乘 以 最 簡 公 分 母 )2( xx得 )2(57 xx解 得 5x 經(jīng) 檢 驗 ， 5x 是 原 方 程 的 解 . 典型例題例 3（ 2） 解 方 程化 簡 為 13252 xxxx解 ： 兩 邊 同 乘 以 最 簡 公 分 母 xx 2得 )(3)1)(25( 2 xxxx 0)1(

7、 2 x解 得 1x經(jīng) 檢 驗 1x 是 增 根 ， 原 方 程 無 解 . 為 什 么 會 產(chǎn)生 增 根 ？ 增 根 的 定 義增 根 :在 去 分 母 ,將 分 式 方 程 轉(zhuǎn) 化 為 整 式 方 程的 過 程 中 出 現(xiàn) 的 不 適 合 于 原 方 程 的 根 .產(chǎn) 生 的 原 因 :分 式 方 程 兩 邊 同 乘 以 一 個后 ,所 得 的 根 是 整 式 方 程 的 根 ,而 不 是 分 式 方 程的 根 .所 以 我 們 解 分 式 方 程 時 一 定 要 代 入 最 簡公 分 母 檢 驗 使 最 簡 公 分 母 值 為 零 的 根 解分式方程的一般步驟 1、 在 方 程 的 兩

8、邊 都 乘 以 最 簡 公 分 母 ， 約 去 分 母 ，化 成 整 式 方 程 . 2、 解 這 個 整 式 方 程 . 3、 把 整 式 方 程 的 解 代 入 最 簡 公 分 母 ， 如 果 最 簡 公分 母 的 值 不 為 0， 則 整 式 方 程 的 解 是 原 分 式 方 程 的 解 ；否 則 ， 這 個 解 不 是 原 分 式 方 程 的 解 ， 必 須 舍 去 . 4、 寫 出 原 方 程 的 根 .解分式方程的思路是：分 式方 程 整 式方 程去 分 母 一 化 二 解 三 檢 驗 典型例題例 4 解 方 程 22 )12(312 2 2 222 xxxx解 ： 令 txx

9、12 222原 方 程 可 化 為 23 tt即 032 2 tt解 得 1,3 21 tt所 以 312 222 xx 或 112 222 xx 典型例題即 017 2 x 或 032 x解 得 3,3,77,77 4321 xxxx經(jīng) 檢 驗 以 上 均 為 原 方 程 的 根 .換 元 可 以 使 運 算 變 得 簡 便 典型例題x )1)(2( 21221 xx axxxxx a已 知 關(guān) 于 的 方 程 的 解 為 負 數(shù)的 范 圍 .例 5 求 實 數(shù) 解 ： 左 邊 通 分 )1)(2( 2)1)(2( 54 xx axxx x所 以 所 以 axx 254 ax 52， 25

10、ax 且 125 a解 得 5a 且 7a0 方法提煉 在 分 式 方 程 兩 邊 同 乘 以 最 簡 公 分 母 ， 可 把 分 式 方 程 化 為 整 式 方 程 2.換 元 可 以 使 解 方 程 的 過 程 變 得 簡 便3. 解 分 式 方 程 時 應 注 意 檢 驗一 化 二 解 三 檢 驗 三 、 無 理 方 程 的 解 法 知識要點1、 什 么 是 無 理 方 程 根 號 內(nèi) 含 有 未 知 數(shù) 的 方 程 叫 無 理 方 程 .2、 無 理 方 程 的 解 法我 們 可 通 過 將 方 程 兩 邊 平 方 或 者 換 元 將 無 理 方 程 轉(zhuǎn) 化 為 有 理 方 程 . 3

11、、 解 無 理 方 程 的 注 意 點在 解 無 理 方 程 后 必 需 檢 驗 ,這 是 因 為 從 無 理 方 程 到 有 理 方 程 的 轉(zhuǎn) 化 有 時 不 是 等 價 的 . 典型例題例 6（ 1） 解 方 程 解 ： 17 xx 01 07 *)1(7 2xx xx解 得 2x 3x 為 增 根 （ ）此 題 也 可 先 解 出 方 程 *的 根 ， 再 代 回 原 方 程 檢 驗 . 為 什 么 會 產(chǎn)生 增 根 ？ 典型例題例 6（ 2） 解 方 程解 ： 5122 xx移 項 ， 5212 xx兩 邊 平 方 ， 化 簡 得 012112 2 xx解 得 4x 或 23x經(jīng) 檢

12、 驗 ， 4x 是 原 方 程 的 根 ， 23x 是 增 根 . 典型例題例 6（ 2） 解 方 程 5122 xx此 題 也 可 令 tx 12轉(zhuǎn) 化 為 t 的 一 元 二 次 方 程 512 tt 求 解 . 即 062 tt解 得 )0( t3t 或 2t （ 舍 去 ）即 312 x解 得 4x 典型例題例 7 解 方 程解 ： 3323 xx移 項 得 3323 xx兩 邊 平 方 ， 整 理 得 xx 733再 兩 邊 平 方 ， 化 簡 得 022232 xx解 得 22,1 21 xx經(jīng) 檢 驗 11 x 為 原 方 程 的 根 ， 222 x 是 增 根 . 方 程 一

13、邊 出 現(xiàn) 兩 個 根 號 時 要 先 移 項 . 解無理方程的一般步驟 1、 將 方 程 的 兩 邊 平 方 ， 化 成 有 理 方 程 .有 時 要 先移 項 ， 再 平 方 2、 解 這 個 有 理 方 程 . 3、 把 有 理 方 程 的 解 代 入 原 方 程 檢 驗 4、 寫 出 原 方 程 的 根 .解無理方程的思路是：無 理方 程 有 理方 程去 根 號 一 化 二 解 三 檢 驗 典型例題例 8 解 方 程解 ： 2152153 22 xxxx令 txx 152則 原 方 程 化 為 )0( t 0523 2 tt解 得 35,1 21 tt （ 舍 去 ） 所 以 115 2 xx解 得 0,5 21 xx經(jīng) 檢 驗 0,5 21 xx 都 是 原 方 程 的 根 .通 過 換 元 可 將 原 方 程 化 為 關(guān) 于 t 的 一 元 二 次 方 程 . 方法提煉 移 項 ， 平 方 可 把 無 理 方 程 化 為 有 理 方 程 2.換 元 可 以 使 解 方 程 的 過 程 變 得 簡 便3.解 無 理 方 程 時 應 注 意 檢 驗一 化 二 解 三 檢 驗 課堂小結(jié) 三 種 方 程 高 次 、 分 式 、 無 理 方 程 的 解 法 3.一 個 思 想 等 價 轉(zhuǎn) 化 的 數(shù) 學 思 想2.一 個 方 法 換 元