高中數學 第一章 導數及其應用 1.1.1-1.1.2 變化率問題、導數的概念課件 新人教版選修2-2.ppt

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1.1.1 變化率問題 1.1.2 導數的概念,第一章 1.1 變化率與導數,1.理解函數平均變化率、瞬時變化率的概念. 2.掌握函數平均變化率的求法. 3.掌握導數的概念，會用導數的定義求簡單函數在某點處的導數.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 函數的平均變化率,,答案,平均變化率,1.平均變化率的概念 設函數y＝f(x)，x1，x2是其定義域內不同的兩個點，那么函數的變化率可用式子 表示，我們把這個式子稱為函數y＝f(x)從x1到x2的 ，習慣上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相對于x1的一個“增量”，可用x1＋Δx代替x2；類似地，Δy＝ .于是，平均變化率可以表示為 .,f(x2)－f(x1),,答案,x2－x1,2.求平均變化率 求函數y＝f(x)在[x1，x2]上平均變化率的步驟如下： (1)求自變量的增量Δx＝ ； (2)求函數值的增量Δy＝ ； (3)求平均變化率 ＝ ＝ .,f(x2)－f(x1),思考 (1)如何正確理解Δx，Δy?,,答案,答案 Δx是一個整體符號，而不是Δ與x相乘，其值可取正值、負值， 但Δx≠0；Δy也是一個整體符號，若Δx＝x1－x2， 則Δy＝f(x1)－f(x2)，而不是Δy＝f(x2)－f(x1)，Δy可為正數、負數，亦可取零.,,(2)平均變化率的幾何意義是什么？,答案 如圖所示：y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均 變化率是曲線y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上陡峭程度的 “數量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視 覺化”， 越大，曲線y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然.,平均變化率的幾何意義是函數曲線上過兩點的割線的斜率， 若函數y＝f(x)圖象上有兩點A(x1，f(x1)) ，B(x2，f(x2)) ，,答案,知識點二 瞬時速度與瞬時變化率,,答案,瞬時速度,把物體在某一時刻的速度稱為 .做直線運動的物體，它的運動規(guī)律可以用函數s＝s(t)描述，設Δt為時間改變量，在t0＋Δt這段時間內，物體的位移(即位置)改變量是Δs＝ ，那么位移改變量Δs與時間改變量Δt的比就是這段時間內物體的平均速度 ，即 ＝ .,s(t0＋Δt)－s(t0),,答案,瞬時變化率,物理學里，我們學習過非勻速直線運動的物體在某一時刻t0的速度，即t0時刻的瞬時速度，用v表示，物體在t0時刻的瞬時速度v就是運動物體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均變化率 在Δt→0時的極限，即 .瞬時速度就是位移函數對時間的 .,,思考 (1)瞬時變化率的實質是什么？,答案 其實質是當平均變化率中自變量的改變量趨于0時的值，它是刻畫函數值在某處變化的快慢.,答案 ①區(qū)別：平均變化率刻畫函數值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢，瞬時變化率刻畫函數值在x0點處變化的快慢； ②聯(lián)系：當Δx趨于0時，平均變化率 趨于一個常數，這個常數即為函數在x0處的瞬時變化率，它是一個固定值.,(2)平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系是什么？,答案,知識點三 導數的概念,,答案,導數,,思考 (1)函數f(x)在x0處的導數滿足什么條件時存在？,,答案 求解函數f(x)在x0處導數的步驟如下： ①求函數值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；,(2)求解函數f(x)在x0處導數的步驟是什么？,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 求平均變化率,,解析答案,反思與感悟,,解 當自變量從x0變化到x0＋Δx時，函數的平均變化率為,,反思與感悟,,,解析答案,2Δx＋4,解析 因為Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(Δx)2＋4Δx，,,解析答案,,題型二 實際問題中的瞬時速度,,解析答案,例2 一作直線運動的物體，其位移s與時間t的關系是s＝3t－t2(位移單位：m，時間單位：s). (1)求此物體的初速度；,即物體的初速度為3 m/s.,,(2)求此物體在t＝2時的瞬時速度；,即此物體在t＝2時的瞬時速度為1 m/s，方向與初速度方向相反.,解析答案,,(3)求t＝0到t＝2時的平均速度.,即t＝0到t＝2時的平均速度為1 m/s.,解析答案,反思與感悟,,作變速直線運動的物體在不同時刻的速度是不同的，Δt趨近于0，指時間間隔Δt越來越小，但不能為0，Δt，Δs在變化中都趨近于0，但它們的比值趨近于一個確定的常數.,反思與感悟,,,,解析答案,,解析答案,(2)求t＝3秒時的瞬時速度.,所以t＝3秒時的瞬時速度約為29.4米/秒.,題型三 函數在某點處的導數,,解析答案,反思與感悟,,從而y′|x＝1＝2.,,求函數在x＝x0處的導數的步驟： (1)求函數值的增量，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；,反思與感悟,,解析答案,,,解析答案,因對導數的概念理解不到位致誤,例4 設函數f(x)在x0處可導，且f′(x0)已知，求下列各式的極限值.,返回,,易錯易混,防范措施,,錯因分析 在導數的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx是哪種形式，Δy必須選擇相對應的形式.如(1)中Δx的改變量為Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改變量為2h＝(x0＋h)－(x0－h(huán)).,解析答案,防范措施,,防范措施,,,自變量的改變量Δx的值為變后量與變前量之差.,返回,防范措施,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.在求解平均變化率時，自變量的變化量Δx應滿足( ) A.Δx＞0 B.Δx＜0 C.Δx≠0 D.Δx可為任意實數,,C,解析答案,1,2,3,4,5,,A.從時間t到t＋Δt時物體的平均速度 B.t時刻物體的瞬時速度 C.當時間為Δt時物體的速度 D.從時間t到t＋Δt時位移的平均變化率,B,解析答案,1,2,3,4,5,,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,,,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,∴物體在t0時刻的瞬時速度為v0－gt0. 由此，類似地可得到物體運動的速度函數為 v(t)＝v0－gt，,故物體在t0時刻的瞬時加速度為－g.,,課堂小結,,返回,