高中數學 第一章 導數及其應用 1.3.2 函數的極值與導數課件 新人教版選修2-2.ppt

《高中數學 第一章 導數及其應用 1.3.2 函數的極值與導數課件 新人教版選修2-2.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學 第一章 導數及其應用 1.3.2 函數的極值與導數課件 新人教版選修2-2.ppt（40頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1.3.2 函數的極值與導數,第一章 1.3 導數在研究函數中的應用,1.了解函數極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數的極值與導數的關系，并會靈活應用. 2.掌握函數極值的判定及求法. 3.掌握函數在某一點取得極值的條件.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 函數極值的概念,,答案,f′(x)＜0,1.極小值點與極小值 如圖，函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側 ，右側 ，則把點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值.,f′(x)＞0,,答案,f′(x)＞0,2.極大值點與極大值 如圖，函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b的左側 ，右側 ， 則把點b叫做函數 的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值. 、 統(tǒng)稱為極值點， 和 統(tǒng)稱為極值.,f′(x)＜0,y＝f(x),極大值點,極小值點,極大值,極小值,思考 (1)可導函數f(x)在點x0處取極值的充要條件是什么？,,答案,答案 可導函數的極值點是導數為零的點，但是導數為零的點不一定是極值點， 即“函數y＝f(x)在一點的導數值為零是函數y＝f(x)在這點取極值的必要條件，而非充分條件”. 可導函數f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側和右側f′(x)符號不同. 如果在x0的兩側f′(x)符號相同，則x0不是f(x)的極值點.,(2)函數在某個區(qū)間上有多個極值點，那么一定既有極大值也有極小值嗎？,答案 不一定.,知識點二 求可導函數f(x)的極值方法與步驟,,答案,極大值,1.求函數y＝f(x)的極值的方法 解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時： (1)如果在x0附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，那么f(x0)是 ； (2)如果在x0附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，那么f(x0)是 . 2.求可導函數f(x)的極值的步驟 (1)確定函數的定義區(qū)間，求導數f′(x). (2)求f(x)的拐點，即求方程 的根. (3)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值.,極小值,f′(x)＝0,,思考 可導函數f(x)若存在極值點x0，則x0能否為相應區(qū)間的端點嗎？,答案 不能.,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 求函數的極值,,解析答案,反思與感悟,,,解析答案,反思與感悟,解 由題意可知f′(x)＝x2－4. 解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2. 由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2； 由f′(x)＜0得－2＜x＜2. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：,,反思與感悟,,,反思與感悟,求可導函數 f(x)的極值的步驟： (1)確定函數的定義區(qū)間，求導數 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0的根； (3)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區(qū)間分成若干個小開區(qū)間，并列成表格.檢測 f′(x)在方程根左右兩側的值的符號， 如果左正右負，那么 f(x)在這個根處取得極大值； 如果左負右正，那么 f(x)在這個根處取得極小值； 如果左右不改變符號，那么 f(x)在這個根處無極值.,跟蹤訓練1 求下列函數的極值. (1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；,,解析答案,解 函數的定義域為R. y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)， 令y′＝0，得x＝－3或x＝1. 當x變化時，y′，y的變化情況如下表：,從上表中可以看出，當x＝－3時，函數取得極大值，且y極大值＝57. 當x＝1時，函數取得極小值，且y極小值＝－7.,,解析答案,,解 函數的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，,令y′＝0，得x＝－2或x＝2. 當x＜－2時，y′＞0；當－2＜x＜0時，y′＜0. 即x＝－2時，y取得極大值，且極大值為－8. 當0＜x＜2時，y′＜0；當x＞2時，y′＞0. 即x＝2時，y取得極小值，且極小值為8.,題型二 利用函數極值確定參數的取值范圍(或值),,解析答案,例2 已知函數 f(x)＝6ln x－ax2－8x＋b(a，b為常數)，且x＝3為 f(x)的一個極值點. (1)求a的值；,,,(2)求函數 f(x)的單調區(qū)間；,解 函數 f(x)的定義域為(0，＋∞). 由(1)知 f(x)＝6ln x＋x2－8x＋b.,解析答案,由 f′(x)＞0可得x＞3或0＜x＜1， 由 f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去). ∴函數 f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)和(3，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(1,3).,,(3)若y＝f(x)的圖象與x軸正半軸有且只有3個交點，求實數b的取值范圍.,解析答案,反思與感悟,解 由(2)可知函數 f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，在(3，＋∞)上單調遞增.且當x＝1和x＝3時，f′(x)＝0. ∴f(x)的極大值為 f(1)＝6ln 1＋1－8＋b＝b－7， f(x)的極小值為 f(3)＝6ln 3＋9－24＋b＝6ln 3＋b－15. ∵當x充分接近0時，f(x)＜0，當x充分大時，f(x)＞0， ∴要使 f(x)的圖象與x軸正半軸有且僅有三個不同的交點，,∴b的取值范圍是7＜b＜15－6ln 3.,,解決參數問題時，要結合函數的圖象，同時準確理解函數極值的應用.,反思與感悟,,,解析答案,解 因為a＞0，所以“f(x)＝ x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內無極值點”等價于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內恒成立”. 由f′(x)－9x＝0(即ax2＋(2b－9)x＋c＝0)的兩實數根分別為1,4，,所以對于一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0，Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9). 不等式ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內恒成立,易驗證a＝1與a＝9均滿足題意，故a的取值范圍是[1,9].,題型三 函數極值的綜合應用,,解析答案,反思與感悟,,解析答案,反思與感悟,,,反思與感悟,則函數y＝g(t)的圖象與坐標軸橫軸有三個不同的交點.,即a＞2，使函數圖象與坐標軸橫軸有三個不同的交點. 所以實數a的取值范圍為(2，＋∞).,,求出函數的所有極值，有利于我們整體把握函數圖象的特征，也就為我們證明有關不等式、解決某些方程根的個數等問題提供了有力的依據，因而函數的極值在中學數學中應用廣泛，是高考命題的熱點.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練3 已知函數 f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R). (1)求函數 f(x)的單調遞增區(qū)間；,,,解析答案,(2)若對任意a∈[3,4]，函數 f(x)在R上都有三個零點，求實數b的取值范圍.,,解析答案,,,所以實數b的取值范圍為(－4,0).,,解析答案,因忽視對所得參數進行檢驗而致誤,例4 若函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，試求a，b的值.,返回,防范措施,,易錯易混,,錯解 由導數公式表和求導法則得， f′(x)＝3x2＋2ax＋b，,解析答案,錯因分析 由于函數在一點的導數值為0是函數在這點取得極值的必要條件，而非充分條件. 因此，本題在解答時很容易忽略對得出的兩組解進行檢驗而出錯.,防范措施,,正解 由導數公式表和求導法則得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，,但由于當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0， 故 f(x)在R上單調遞增，不可能在x＝1處取得極值，,解析答案,防范措施,,故a，b的值分別為4，－11.,防范措施,,,根據極值條件求參數的值的問題中，在得到參數的兩組解后，應按照函數在這一點處取得極值所對應的條件進行檢驗，考查每一組解所對應的函數在該點處是否能取得極值，從而進行取舍.,返回,防范措施,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.已知函數 f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數的一個遞增區(qū)間是( ) A.(2,3) B.(3，＋∞) C.(2，＋∞) D.(－∞，3),B,解析答案,解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2處有極值， ∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15， ∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)， 由 f′(x)＞0得x＜2或x＞3.,1,2,3,4,5,,2.下列關于函數的極值的說法正確的是( ) A.導數值為0的點一定是函數的極值點 B.函數的極小值一定小于它的極大值 C.函數在定義域內有一個極大值和一個極小值 D.若 f(x)在(a，b)內有極值，那么 f(x)在(a，b)內不是單調函數,D,解析答案,解析 由極值的概念可知只有D正確.,1,2,3,4,5,,3.函數 f(x)的定義域為R，導函數 f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)( ) A.無極大值點，有四個極小值點 B.有三個極大值點，兩個極小值點 C.有兩個極大值點，兩個極小值點 D.有四個極大值點，無極小值點,解析答案,C,解析 在x＝x0的兩側，f′(x)的符號由正變負，則 f(x0)是極大值； f′(x)的符號由負變正，則 f(x0)是極小值， 由圖象易知有兩個極大值點，兩個極小值點.,1,2,3,4,5,,解析答案,4.已知 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為( ) A.－1＜a＜2 B.－3＜a＜6 C.a＜－1或a＞2 D.a＜－3或a＞6,D,解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)， 因為 f(x)既有極大值又有極小值，那么Δ＝(2a)2－43(a＋6)＞0， 解得a＞6或a＜－3.,1,2,3,4,5,,解析答案,5.設函數 f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若 f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x2＝1，則實數a的值為_____.,9,,,課堂小結,,返回,1.求函數極值的基本步驟： (1)求函數定義域；(2)求 f′(x)；(3)解 f′(x)＝0；(4)列表( f′(x)，f(x)隨x的變化情況)；(5)下結論. 2.函數的極值的應用： (1)確定參數的值，一般用待定系數法； (2)判斷方程根的情況時，利用導數研究函數單調性、極值，畫出函數大致圖象，利用數形結合思想來討論根的情況.,