高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4 導(dǎo)數(shù)實(shí)際生活中的應(yīng)用課件 蘇教版選修2-2.ppt

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1.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,第 1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用. 2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中簡(jiǎn)單的優(yōu)化問題. 3.學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，并會(huì)求解數(shù)學(xué)模型.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟 1.分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)； 2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0； 3.比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和在f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.,,思考 (1)什么是優(yōu)化問題？ 答案 在生活中，人們常常遇到求使經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大、用料最省、費(fèi)用最少、生產(chǎn)效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題. (2)優(yōu)化問題的常見類型有哪些？ 答案 費(fèi)用最省問題，利潤(rùn)最大問題，面積、體積最大問題等.,答案,,知識(shí)點(diǎn)二 解決優(yōu)化問題的基本思路,思考 解決生活中優(yōu)化問題應(yīng)注意什么？,答案,返回,答案 (1)當(dāng)問題涉及多個(gè)變量時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，列出變量間的關(guān)系式； (2)在建立函數(shù)模型的同時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題確定出函數(shù)的定義域； (3)在實(shí)際問題中，由f′(x)＝0常常得到定義域內(nèi)的根只有一個(gè)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大值(極小值)，那么不與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，也可以判斷該極值就是最大值(最小值)； (4)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的應(yīng)舍去，例如，長(zhǎng)度、寬度應(yīng)大于0，銷售價(jià)格為正數(shù)等.,,返回,題型探究 重點(diǎn)突破,,解析答案,題型一 利潤(rùn)最大問題 例1 某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件.如果降低售價(jià)，銷售量就會(huì)增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元/件，0≤x≤21)的平方成正比.已知每件商品的售價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件. (1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成關(guān)于x的函數(shù)；,解 若每件商品單價(jià)降低x元，則一個(gè)星期多賣的商品數(shù)為kx2件. 由已知條件得k22＝24，解得k＝6. 若記一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)為f(x)， 則有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].,,解析答案,(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？ 解 對(duì)(1)中函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12). 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：,∴x＝12時(shí)，f(x)取得極大值. ∵f(0)＝9 072，f(12)＝11 664， ∴30－12＝18(元)，故定價(jià)為每件18元能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大.,反思與感悟,,反思與感悟,利潤(rùn)最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤(rùn)＝收入－成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 解此類問題需注意兩點(diǎn)：①價(jià)格要大于或等于成本，否則就會(huì)虧本； ②銷量要大于0，否則不會(huì)獲利.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x噸與每噸產(chǎn)品的價(jià)格p(元/噸)之間的函數(shù)關(guān)系式為p＝24 200－ x2，且生產(chǎn)x噸產(chǎn)品的成本為R＝50 000＋200x(元).問：該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？,解 依題意，知每月生產(chǎn)x噸產(chǎn)品時(shí)的利潤(rùn)為,令f′(x)＝0，得x1＝200，x2＝－200(舍去). ∵在(0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x＝200使f′(x)＝0，且x＝200是極大值點(diǎn)， ∴200就是最大值點(diǎn)，且最大值為,∴每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315萬元.,,解析答案,題型二 面積、容積最值問題 例2 已知一扇窗子的形狀為一個(gè)矩形和一個(gè)半圓相接，其中半圓的直徑為2r，如果窗子的周長(zhǎng)為10，求當(dāng)半徑r取何值時(shí)窗子的面積最大.,解 設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為x，半圓弧長(zhǎng)為πr，,反思與感悟,,反思與感悟,在解決面積、體積的最值問題時(shí)，要正確引入變量，將面積或體積表示為關(guān)于變量的函數(shù)，結(jié)合使實(shí)際問題有意義的變量的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 如圖，將一個(gè)矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對(duì)角線MN過C點(diǎn)，|AB|＝3 m，|AD|＝2 m. (1)要使矩形AMPN的面積大于32 m2，則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ (2)當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最??？并求出最小面積； (3)若AN的長(zhǎng)度不少于6 m，則當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)， 矩形AMPN的面積最小？并求出最小面積.,∵x＞2，∴3x2－32x＋64＞0，即(3x－8)(x－8)＞0，,,解析答案,,即當(dāng)AN的長(zhǎng)度為4 m時(shí)，S矩形AMPN取得最小值24 m2.,解析答案,即當(dāng)AN的長(zhǎng)度為6 m時(shí)，S矩形AMPN取得最小值27 m2.,,解析答案,題型三 成本最省問題 例3 甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b(b＞0)；固定部分為a元. (1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；,,解析答案,(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 解 由題意，s、a、b、v均為正數(shù).,所以當(dāng)v＝c時(shí)，y最小.,綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，,反思與感悟,,反思與感悟,選取合適的量做自變量，并根據(jù)實(shí)際確定其取值范圍，正確列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.其中把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 工廠A到鐵路的垂直距離為20 km，垂足為B，鐵路線上距離B處100 km的地方有一個(gè)原料供應(yīng)站C，現(xiàn)在要從BC段上的D處向工廠修一條公路，使得從原料供應(yīng)站C到工廠A所需的運(yùn)費(fèi)最省，已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3∶5，則D點(diǎn)應(yīng)選在何處？,于是從原料供應(yīng)站C途中經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運(yùn)費(fèi)為,由實(shí)際問題可知，運(yùn)輸費(fèi)用一定有最小值，而此函數(shù)有唯一極值點(diǎn)， 故x＝15時(shí)取最小值，故D點(diǎn)在距B點(diǎn)15 km處最好.,,例4 某船由甲地逆水行駛到乙地，甲、乙兩地相距s(km)，水的流速為常量a(km/h)，船在靜水中的最大速度為b(km/h)(b＞a)，已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(以元為單位)與船在靜水中的速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，則船在靜水中的航行速度為多少時(shí)，其全程的燃料費(fèi)用最??？,易錯(cuò)易混,因沒有注意問題的實(shí)際意義而出錯(cuò),解析答案,返回,防范措施,,錯(cuò)解 設(shè)船在靜水中的航行速度為x km/h，全程的燃料費(fèi)用為y元，,解析答案,防范措施,令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍)，所以f(2a)＝4ask， 即當(dāng)x＝2a時(shí)，ymin＝4ask. 故當(dāng)船在靜水中的航行速度為2a km/h時(shí)，燃料費(fèi)用最省. 錯(cuò)因分析 這個(gè)實(shí)際問題的定義域?yàn)?a，b]，而x＝2a為函數(shù)的極值點(diǎn)，是否在(a，b]內(nèi)不確定，所以需要分類討論，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.,,正解 設(shè)船在靜水中的航行速度為x km/h，全程的燃料費(fèi)用為y元，,解析答案,防范措施,令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍). (1)當(dāng)2a≤b時(shí)，若x∈(a,2a)，y′＜0，f(x)為減函數(shù)， 若x∈(2a，b]時(shí)，y′＞0，f(x)為增函數(shù)， 所以當(dāng)x＝2a時(shí)，ymin＝4ask.,,防范措施,當(dāng)x∈(a，b]時(shí)，y′＜0， 所以f(x)在(a，b]上是減函數(shù)，,綜上可知，若b＜2a，則當(dāng)船在靜水中的速度為b km/h時(shí)，燃料費(fèi)用最省； 若b≥2a，則當(dāng)船在靜水中的速度為2a km/h時(shí)，燃料費(fèi)用最省.,,在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程中，正確建立數(shù)學(xué)模型，找到實(shí)際問題中函數(shù)定義域的取值范圍.,,返回,防范措施,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,解析答案,1.內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)為____________.,解析 設(shè)矩形與半圓直徑垂直的一邊的長(zhǎng)為x，,,解析答案,2.要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20 cm，要使其體積最大，則高 為________ cm.,1,2,3,4,,3.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為1 000元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去，月租金每增加50元，就會(huì)多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元維修費(fèi)，則月租金定為_____元時(shí)可獲得最大收入.,解析 設(shè)x套為沒有租出去的公寓數(shù)， 則收入函數(shù)f(x)＝(1 000＋50x)(50－x)－100(50－x)， ∴f′(x)＝1 600－100x， ∴當(dāng)x＝16時(shí)，f(x)取最大值，故把月租金定為1 800元時(shí)收入最大.,1 800,解析答案,1,2,3,4,,解析答案,4.制作容積為256的方底無蓋水箱，它的高為___時(shí)最省材料.,解析 設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，高為h，則V(x)＝x2h＝256，,4,1,2,3,4,,課堂小結(jié),,返回,1.解應(yīng)用題的思路方法：(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；(4)對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評(píng)估，定性定量分析，做出正確的判斷，確定答案. 2.解決最優(yōu)化問題首先要確定變量之間的函數(shù)關(guān)系，建立函數(shù)模型.要熟記常見函數(shù)模型，如二次函數(shù)模型、三次函數(shù)模型、分式函數(shù)模型、冪指對(duì)模型、三角函數(shù)模型等. 3.除了變量之間的函數(shù)關(guān)系式外，實(shí)際問題中的定義域也很關(guān)鍵，一定要結(jié)合實(shí)際問題的意義確定定義域.,