高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 2.3 充要條件課件 北師大版選修2-1.ppt

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第一章 2 充分條件與必要條件,2.3 充要條件,1.理解充要條件的意義. 2.會判斷、證明充要條件. 3.通過學(xué)習(xí)，明白對充要條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點一 充要條件 一般地，如果既有p?q，又有q?p 就記作 . 此時，我們說，p是q的 ，簡稱 .顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件. 概括地說，如果p?q，那么p與q .,,答案,互為充要條件,p?q,充分必要條件,充要條件,,答案,思考 (1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題.這種說法對嗎？ 答案 正確.若p是q的充要條件，則p?q，即p等價于q，故此說法正確. (2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？ 答案 ①p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論. ②p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論.,知識點二 常見的四種條件與命題真假的關(guān)系 如果原命題為“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，那么p與q的關(guān)系有以下四種情形：,,返回,知識點三 從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件,其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.,題型探究 重點突破,題型一 充要條件的判斷 例1 (1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( ) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析 解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要條件.,,解析答案,A,,解析答案,反思與感悟,(2)判斷下列各題中，p是否為q的充要條件？ ①在△ABC中，p：∠A∠B，q：sin Asin B； 解 在△ABC中，顯然有∠A∠B?sin Asin B， 所以p是q的充要條件. ②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； 解 若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，即p?q；若a＝b＝0， 則a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，所以p是q的充要條件. ③p：|x|3，q：x29. 解 由于p：|x|3?q：x29，所以p是q的充要條件.,,判斷p是q的充分必要條件的兩種思路 (1)命題角度：判斷p是q的充分必要條件，主要是判斷p?q及q?p這兩個命題是否成立.若p?q成立，則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；若q?p成立，則p是q的必要條件，同時q是p的充分條件；若二者都成立，則p與q互為充要條件. (2)集合角度：關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件，當(dāng)不容易判斷p?q及q?p的真假時，也可以從集合角度去判斷，結(jié)合集合中“小集合?大集合”的關(guān)系來理解，這對解決與邏輯有關(guān)的問題是大有益處的.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 (1)a，b中至少有一個不為零的充要條件是( ) A.ab＝0 B.ab0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b20 解析 a2＋b20，則a、b不同時為零；a，b中至少有一個不為零，則a2＋b20.,D,,解析答案,(2)“函數(shù)y＝x2－2x－a沒有零點”的充要條件是________. 解析 函數(shù)沒有零點，即方程x2－2x－a＝0無實根，所以有Δ＝4＋4a0，解得a－1.反之，若a－1，則Δ0，方程x2－2x－a＝0無實根，即函數(shù)沒有零點.故“函數(shù)y＝x2－2x－a沒有零點”的充要條件是a－1.,a－1,,解析答案,反思與感悟,題型二 充要條件的證明 例2 求證：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根均大于1的充要條件是k－2.,,解析答案,反思與感悟,證明 ①必要性： 若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的根，不妨設(shè)兩個根為x1，x2，則,解得k0. 設(shè)方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根為x1，x2. 則(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1 ＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)0.,,反思與感悟,又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2 ＝－(2k－1)－2＝－2k－10， ∴x1－10，x2－10. ∴x11，x21. 綜上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的根的充要條件為k－2.,反思與感悟,,一般地，證明“p成立的充要條件為q”時，在證充分性時應(yīng)以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結(jié)論”，即q?p；證明必要性時則是以p為“已知條件”，q為該步中要證明的“結(jié)論”，即p?q.,,解析答案,返回,跟蹤訓(xùn)練2 求證：一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)的充要條件是b＝0. 證明 ①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx， 因為f(－x)＝k(－x)＝－kx， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)為奇函數(shù). ②必要性：因為f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)， 所以f(－x)＝－f(x)對任意x均成立， 即k(－x)＋b＝－(kx＋b)， 所以b＝0. 綜上，一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)的充要條件是b＝0.,,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 當(dāng)a＋b＝0時，得a＝－b，所以a∥b， 但若a∥b，不一定有a＋b＝0.,A,1,2,3,4,5,,解析答案,2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 a＝3時，A＝{1,3}，A?B，當(dāng)A?B時，a＝2或3.,A,1,2,3,4,5,,3.已知α：“a＝2”；β：“直線x－y＝0與圓x2＋(y－a)2＝2相切”，則α是β的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 a＝2時，直線x－y＝0與圓x2＋(y2)2＝2相切；,解析答案,C,∴α是β的充要條件,1,2,3,4,5,,解析答案,4.已知直線l1：x＋ay＋6＝0和直線l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a＝______. 解析 由13－a(a－2)＝0得a＝3或－1， 而a＝3時，兩條直線重合，所以a＝－1.,－1,1,2,3,4,5,,解析答案,所以p是q的充要條件.,充要,,課堂小結(jié),,返回,1.充要條件的判斷有三種方法：定義法、等價命題法、集合法. 2.充要條件的證明與探求 (1)充要條件的證明分充分性的證明和必要性的證明.在證明時要注意兩種敘述方式的區(qū)別： ①p是q的充要條件，則由p?q證的是充分性，由q?p證的是必要性； ②p的充要條件是q，則由p?q證的是必要性，由q?p證的是充分性. (2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變形轉(zhuǎn)化過程都可逆，也可以直接求出充要條件.,