高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 4.2-4.3 圓錐曲線的共同特征、直線與圓錐曲線的交點(diǎn)課件 北師大版選修2-1.ppt

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第三章 4 曲線與方程,4.2 圓錐曲線的共同特征 4.3 直線與圓錐曲線的交點(diǎn),1.了解圓錐曲線的共同特征，并會(huì)簡單應(yīng)用. 2.會(huì)判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及求與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 圓錐曲線的共同特征 圓錐曲線上的點(diǎn)到 的距離與它到 的距離之比為定值e. 當(dāng) 時(shí)，該圓錐曲線為橢圓； 當(dāng) 時(shí)，該圓錐曲線為拋物線； 當(dāng) 時(shí)，該圓錐曲線為雙曲線. 知識(shí)點(diǎn)二 曲線的交點(diǎn),,答案,e1,f1(x0，y0)＝0 f2(x0，y0)＝0,一個(gè)定點(diǎn),一條定直線,0e1,e＝1,,答案,知識(shí)點(diǎn)三 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為： 、 、 . 對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是_____； 對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不_____.這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為： (1)Δ＞0? ；(2)Δ＝0? ；(3)Δ＜0? .,相離,相交,相切,相離,相切,相切,相交,相切,,返回,答案,思考 1.圓錐曲線具有什么樣的共同特征？它們的區(qū)別何在？ 答案 圓錐曲線均可定義為平面上到定點(diǎn)距離和到定直線距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；它們的區(qū)別在于這個(gè)比值的范圍不同. 2.直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一定是直線與圓錐曲線相切嗎？ 答案 直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)不一定相切，也可能是相交.如直線與拋物線的對稱軸平行，則直線與該拋物線交點(diǎn)是只有一個(gè)交點(diǎn).,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 圓錐曲線的共同特征及應(yīng)用,,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,,此類問題采用求曲線方程的一般方法，通過題意列出關(guān)于點(diǎn)M(x，y)的等式，化簡得出曲線方程.通過運(yùn)算的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，橢圓是到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)所成的曲線，并且這個(gè)常數(shù)的范圍為(0,1).,,解析答案,,解析答案,反思與感悟,題型二 直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)問題 例2 已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù).,,解析答案,反思與感悟,(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.①,(2)當(dāng)1－k2≠0，即k≠1，此時(shí)有Δ＝4(4－3k2)， 若4－3k2＞0(k2≠1)，,,反思與感悟,反思與感悟,,本題通過方程組解的個(gè)數(shù)來判斷直線與雙曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，具體操作時(shí)，運(yùn)用了重要的數(shù)學(xué)方法——分類討論，而且是“雙向討論”，既要討論首項(xiàng)系數(shù)1－k2是否為0，又要討論Δ的三種情況，為理清討論的思路，可畫“樹枝圖”如圖：從樹枝圖上一看可知，共分四種情況討論，本文要提醒讀者：“樹枝圖”是確定討論思路的一手絕招！ (1)要處理好直線與圓錐曲線的位置關(guān)系與Δ的正負(fù)和交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系.Δ＝0是直線與圓錐曲線相切的充要條件；只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與圓錐曲線相切的必要不充分條件. (2)直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)上是研究它們的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)的問題.,,解析答案,求l的斜率k的取值范圍. (1)相切；,解 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2.,整理得(1＋4k2)x2＋2(1＋8k)x＋13＝0.① ①的判別式Δ＝4(1＋8k)2－413(1＋4k2).,,解析答案,(2)相交；,(3)相離.,,解析答案,題型三 弦長、弦中點(diǎn)問題,(1)求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程；,解 設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)為M(x0，y0)，則有x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.,∴x＋4y＝0. 故所求的軌跡方程為x＋4y＝0(在已知橢圓的內(nèi)部).,,解析答案,(2)過N(1,2)的直線l與橢圓相交，求l被橢圓截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程； 解 不妨設(shè)l交橢圓于A、B，弦中點(diǎn)為M(x，y).,整理得x2＋2y2－x－4y＝0，此式對l的方程為x＝1時(shí)也成立. ∴所求中點(diǎn)軌跡方程是x2＋2y2－x－4y＝0(在已知橢圓的內(nèi)部).,,即2x＋4y－3＝0.,解析答案,反思與感悟,反思與感悟 將圓錐曲線上的兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入圓錐曲線的方程，然后將兩式作差并進(jìn)行變形，可得到弦AB的斜率與弦中點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式.(這種方法一般稱之為點(diǎn)差法)此關(guān)系式可用于解決如下問題： (1)以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的方程；(2)平行弦中點(diǎn)的軌跡； (3)過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡；(4)對稱問題.,,解析答案,(1)求線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程；,,解析答案,∴a2＝1，b2＝2.,故中點(diǎn)P的軌跡方程為2x2－y2－4x＋y＝0.,①－②得2(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，,,解析答案,(2)過點(diǎn)B(1,1)，能否作直線l′，使l′與已知雙曲線交于Q1、Q2兩點(diǎn)，且B是線段Q1Q2的中點(diǎn)？請說明理由. 解 假設(shè)存在直線l′，同(1)可得l′的斜率為2，l′的方程為y＝2x－1.,∴滿足條件的直線l′不存在.,題型四 對稱問題 例4 已知橢圓3x2＋4y2＝12，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對于直線l：y＝4x＋m，橢圓上總有兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對稱.,,解析答案,反思與感悟,消去y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0，,,解析答案,反思與感悟,,解析答案,反思與感悟,∴3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0. ∵x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，x1≠x2，,,反思與感悟,反思與感悟,,處理圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱題型的兩種方法，方法一稱為點(diǎn)差法，主要用于處理弦的斜率與中點(diǎn)問題，而方法二則將對稱轉(zhuǎn)化為用判別式Δ0求解，利用已知條件，建立一個(gè)等式與一個(gè)不等式，兩種解法都是緊緊抓住兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱所產(chǎn)生的垂直及中點(diǎn)問題.,,解析答案,返回,,解析答案,解 當(dāng)k＝0時(shí)，顯然不成立.∴當(dāng)k≠0時(shí)，由l⊥AB，,代入3x2－y2＝3中， 得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.顯然3k2－1≠0， ∴Δ＝(2kb)2－4(3k2－1)[－(b2＋3)k2]0，即k2b2＋3k2－10.①,∵點(diǎn)M(x0，y0)在直線l上，,,返回,把②代入①得k2b2＋k2b0，解得b0或b－1.,,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,有5x2＋8mx＋4m2－4＝0， Δ＝64m2－80(m2－1)＞0，得m2＜5，,D,,解析答案,2.設(shè)A、B是拋物線x2＝4y上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面積為16，則∠AOB等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90,D,1,2,3,4,5,∴△AOB為等腰直角三角形，∠AOB＝90.,解析 圓M的方程可化為(x＋m)2＋y2＝3＋m2， 則由題意得m2＋3＝4，即m2＝1(m0)， ∴m＝－1，則圓心M的坐標(biāo)為(1,0). 由題意知直線l的方程為x＝－c， 又∵直線l與圓M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.,,解析答案,1,2,3,4,5,C,4.已知直線l1：4x－3y＋11＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是____. 解析 因?yàn)閤＝－1恰為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，所以可畫圖觀察. 如圖，連接PF，d2＝|PF|.,,解析答案,3,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知一條過點(diǎn)P(2,1)的直線與拋物線y2＝2x交于A，B兩點(diǎn)，且P是弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為____________.,x－y－1＝0,,課堂小結(jié),對直線與圓錐曲線位置關(guān)系的進(jìn)一步理解 (1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度看有三種：相離、相交和相切.相離時(shí)，直線與圓錐曲線無公共點(diǎn)；相切時(shí)，直線與圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；相交時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，但直線與雙曲線、拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為一個(gè)(直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與拋物線的對稱軸平行時(shí))或兩個(gè). (2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從代數(shù)角度看來(幾何問題代數(shù)化)是直線方程和圓錐曲線的方程組成的方程組，無解時(shí)必相離；有兩組解必相交；一組解時(shí)，若化為x或y的方程，二次項(xiàng)系數(shù)非零，判別式為零時(shí)必相切，若二次項(xiàng)系數(shù)為零，有一組解時(shí)必相交(代數(shù)結(jié)果幾何化).,(3)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(或x)得一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0. ①當(dāng)a≠0時(shí)，若Δ0，則直線l與曲線C相交；若Δ＝0，則直線l與曲線C相切；若Δ0，直線l與曲線C相離. ②當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn).此時(shí)，若C為雙曲線，則l平行于雙曲線的漸近線；若C為拋物線，則l平行于拋物線的對稱軸. ③當(dāng)直線與雙曲線或拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與雙曲線或拋物線可能相切，也可能相交.,,返回,