高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理課件 蘇教版選修2-2.ppt

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2.1.1 合情推理,第 2章 2.1 合情推理與演繹推理,1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理. 2.了解合情推理在數(shù)學發(fā)展中的作用.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 推理的定義與結(jié)構(gòu)形式 1.定義：從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理. 2.結(jié)構(gòu)形式：從結(jié)構(gòu)上來說，推理一般分為兩部分，一部分是已知的事實(或假設(shè))，叫做 ，另一部分是由已知判斷推出的新的判斷，叫做 . 思考 (1)依據(jù)部分對象得到的推理結(jié)論可靠嗎？ 答案 不一定完全可靠. (2)推理一般用哪些關(guān)聯(lián)詞？ 答案 推理一般可用關(guān)聯(lián)詞將“前提”和“結(jié)論”聯(lián)結(jié)，常用的關(guān)聯(lián)詞有“因為……所以……”“根據(jù)……可知……”“如果……那么……” “若……則……”.,,答案,前提,結(jié)論,,知識點二 歸納推理與類比推理,答案,部分到整體,個別到一般,,答案,特殊到特殊,,思考 歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？ 答案 歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確.類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠.,答案,,知識點三 合情推理 1.合情推理的含義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.歸納推理和類比推理都是數(shù)學活動中常用的合情推理. 2.合情推理的過程,思考 由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎？ 答案 一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費馬猜想就被數(shù)學家歐拉推翻了.,答案,返回,題型探究 重點突破,,解析答案,題型一 歸納推理的應用 例1 已知數(shù)列{an}的第1項a1＝2，且an＋1＝ (n＝1,2，…)，試歸納出這個數(shù)列的通項公式.,由此發(fā)現(xiàn)分母依次為1,3,5,7，…，分子都是2.,反思與感悟,,反思與感悟,求數(shù)列{an}的通項公式的一般方法：(1)根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(有時題目已給出)，如a1，a2，a3等；(2)通過這些項找出項與序號之間的一般規(guī)律，歸納出數(shù)列的一個通項公式.,,解析答案,(1)求出S1，S2，S3，S4；,,解析答案,(2)猜想該數(shù)列的前n項和Sn并證明.,,解析答案,題型二 類比推理的應用 例2 在矩形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊AB，BC所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1.在立體幾何中，通過類比，給出猜想并證明.,反思與感悟,,于是類比到長方體中，猜想若其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 證明如下：如圖(2)，,反思與感悟,,反思與感悟,類比推理是一種主觀的不充分的推理，因此，要確認其猜想的正確性，還必須經(jīng)過嚴格的邏輯論證.一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)越相關(guān)，那么類比得到的命題就越可靠. 類比的關(guān)鍵是能把兩個系統(tǒng)之間的某種一致性或相似性確切地表述出來，也就是要把相關(guān)對象在某些方面一致性的含糊認識說清楚.,,解析答案,跟蹤訓練2 “若直角三角形兩直角邊的長分別為a，b，將其補成一個矩形，則根據(jù)矩形的對角線長可求得該直角三角形外接圓的半徑r＝ ”.對于“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長分別為a，b，c”，類比上述處理 方法，可得該三棱錐的外接球的半徑R＝____________. 解析 由求直角三角形外接圓的半徑的方法，通過類比得出求三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐外接球的半徑的方法為：首先將該三棱錐補全為長方體，而長方體的體對角線長就是三棱錐的外接球的直徑，從而得出該三棱錐的外接球的半徑R＝ .,,歸納推理、類比推理都是合情推理，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理；而類比推理則是通過某兩類對象在對比中啟發(fā)猜想結(jié)論.這些結(jié)論未必正確，要進一步驗證(或證明)其正確性. 例3 設(shè)f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，計算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n＝40驗證猜想是否正確.,易錯易混,合情推理的應用,解析答案,返回,解 f(1)＝12＋1＋41＝43， f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53， f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71， f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97， f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131， f(10)＝102＋10＋41＝151.,,解析答案,∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是質(zhì)數(shù)， ∴歸納猜想：當n∈N*時，f(n)＝n2＋n＋41的值都為質(zhì)數(shù). 驗證：當n＝40時，f(40)＝402＋40＋41＝40(40＋1)＋41＝4141. ∴f(40)是合數(shù)， ∴由上面歸納推理得到的猜想不正確.,,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,而分母b則為該數(shù)的平方減1.,6,35,,解析答案,1,2,3,4,5,類比正切的和角公式，,,1,2,3,4,5,,nn,解析答案,,1,2,3,4,5,答案,,解析答案,1,2,3,4,5,5.根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項，并歸納猜想它的通項公式. (1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；,解 由已知可得a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝23＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝27＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝215＋1＝31＝25－1. 猜想an＝2n＋1－1 (n∈N*).,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,∵對一切的n∈N*，an0，∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7，猜想出an＝2n－1(n∈N*).,,課堂小結(jié),,返回,1.歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想). 2.類比推理的一般步驟：(1)找出兩類對象之間的相似性或一致性；(2)用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想).,