高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法課件 新人教版選修2-2.ppt

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2.3 數(shù)學(xué)歸納法,第二章 推理與證明,1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理. 2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.,,學(xué)習(xí)目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點一 歸納法及分類,,答案,由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方法，通常叫歸納法，歸納法可以分為 歸納法和 歸納法， 完全歸納法所得出的結(jié)論是完全可靠的，因為它考察了問題涉及的所有對象； 不完全歸納法得出的結(jié)論不一定可靠，因為它只考察了某件事情的部分對象，但它是一種重要的思考問題的方法，是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段.用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用完全歸納法證明，是解決問題的一種重要途徑.,完全,不完全,完全歸納法是一種在研究了解事物的所有(有限種)特殊情況后，得出一般結(jié)論的推理方法，又叫枚舉法. 與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的. 通常在事物包括的特殊情況不多時，采用完全歸納法.,思考 下面的各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，請在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù). (1)1,5,9,13,17，( )；,,答案,21,8,21,知識點二 數(shù)學(xué)歸納法,,答案,1.數(shù)學(xué)歸納法 證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行： ①(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立； ②(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立. 2.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時注意幾點： (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與 有關(guān)的命題. (2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可. (3)步驟②的證明必須以“假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立”為條件.,正整數(shù)n,,答案,不能保證猜想一定正確，需要嚴密的證明.,,(2)多米諾骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件？,答案 ①第一塊骨牌倒下； ②任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下. 條件②事實上給出了一個遞推關(guān)系， 換言之就是假設(shè)第K塊倒下， 則相鄰的第K＋1塊也倒下.,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒成立,,解析答案,反思與感悟,例1 求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*).,,反思與感悟,證明 (1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1＋1＝2，右邊＝211＝2，左邊＝右邊，等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時等式成立， 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k13…(2k－1)，那么，當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2),＝2k13…(2k－1)(2k＋1)2 ＝2k＋113…(2k－1)[2(k＋1)－1]＝右邊. ∴當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立. 由(1)(2)可知，對一切n∈N*，原等式均成立.,,反思與感悟,用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式問題，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由n＝k到n＝k＋1時，等式兩邊會增加多少項，增加怎樣的項.,,,解析答案,,解析答案,,,題型二 證明不等式問題,,解析答案,反思與感悟,,解析答案,證明 由已知條件可得bn＝2n(n∈N*)，,∴不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，不等式成立.,則當(dāng)n＝k＋1時，,反思與感悟,,要證當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立，,反思與感悟,∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立. 由(1)(2)可知，對一切n∈N*，原不等式均成立.,,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊證明目標，在湊證明目標時，比較法、綜合法、分析法都適用.,反思與感悟,,解析答案,,解析答案,(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，不等式成立，,則當(dāng)n＝k＋1時，,,解析答案,所以當(dāng)n＝k＋1時不等式成立. 由(1)(2)知，不等式對一切n∈N*都成立.,題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,,解析答案,反思與感悟,例3 求證n∈N*時，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除.,,反思與感悟,證明 (1)當(dāng)n＝1時，a1＋1＋(a＋1)21－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除， 則當(dāng)n＝k＋1時， ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝aak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由歸納假設(shè)，上式中的兩項均能被a2＋a＋1整除， 故當(dāng)n＝k＋1時命題成立. 由(1)(2)知，對任意n∈N*，命題成立.,,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)的整除性問題時，關(guān)鍵是從當(dāng)n＝k＋1時的式子中拼湊出當(dāng)n＝k時能被某數(shù)整除的式子，并將剩余式子轉(zhuǎn)化為能被該數(shù)整除的式子.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任意非負整數(shù)n，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除.,證明 (1)當(dāng)n＝0時，A0＝112＋12＝133，能被133整除. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥0)時，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除， 那么當(dāng)n＝k＋1時， Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝1111k＋2＋122122k＋1 ＝1111k＋2＋11122k＋1＋(122－11)122k＋1 ＝11(11k＋2＋122k＋1)＋133122k＋1， 能被133整除. 由(1)(2)可知，對于任意非負整數(shù)n，An都能被133整除.,題型四 用數(shù)學(xué)歸納法解決平面幾何問題,,解析答案,反思與感悟,例4 已知n個平面都過同一點，但其中任何三個平面都不經(jīng)過同一直線，求證：這n個平面把空間分成f(n)＝n(n－1)＋2部分.,,反思與感悟,證明 (1)當(dāng)n＝1時，1個平面把空間分成2部分， 而f(1)＝1(1－1)＋2＝2(部分)，所以命題正確. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，命題成立， 即k個符合條件的平面把空間分為f(k)＝k(k－1)＋2(部分)， 當(dāng)n＝k＋1時，第k＋1個平面和其他每一個平面相交，使其所分成的空間都增加2部分，所以共增加2k部分， 故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k ＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)， 即當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立. 根據(jù)(1)(2)，知n個符合條件的平面把空間分成f(n)＝n(n－1)＋2部分.,,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k增加到k＋1時，所證的幾何量增加多少，同時要善于利用幾何圖形的直觀性，建立k與k＋1之間的遞推關(guān)系.,反思與感悟,,解析答案,,解析答案,證明 (1)當(dāng)n＝2時，兩條直線的交點只有一個，,∴當(dāng)n＝2時，命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥2)時命題成立，,那么，當(dāng)n＝k＋1時，,l與其他k條直線的交點個數(shù)為k， 從而k＋1條直線共有f(k)＋k個交點，,∴當(dāng)n＝k＋1時，命題成立. 由(1)(2)可知，對任意n∈N*(n≥2)命題都成立.,,解析答案,因弄錯從n＝k到n＝k＋1的增加項致誤,防范措施,返回,,易錯易混,,錯解 ①當(dāng)n＝1時，,解析答案,防范措施,即n＝1時不等式成立. ②假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N*)時不等式成立，,那么，當(dāng)n＝k＋1時，,,即n＝k＋1時，不等式成立.,正解 ①當(dāng)n＝1時，,即n＝1時不等式成立.,解析答案,防范措施,,防范措施,②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時不等式成立，,那么，當(dāng)n＝k＋1時，,所以n＝k＋1時，不等式成立.,,,防范措施,,當(dāng)n＝k＋1時，可以寫出相應(yīng)增加的項，然后再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明.,返回,,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,A.1 B.1＋a C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a4,B,解析答案,解析 當(dāng)n＝1時，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項為a，左邊是1＋a，故選B.,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,答案 C,比較①②可知C正確.,1,2,3,4,5,,解析答案,2k,解析 觀察f(n)的表達式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，,因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k項.,1,2,3,4,5,,解析答案,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步應(yīng)驗證______________.,n＝3時是否成立,解析 n的最小值為3，所以第一步驗證n＝3時是否成立.,1,2,3,4,5,,解析答案,5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次計算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達式為________.,,課堂小結(jié),1.數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟相互依存，缺一不可. 有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ). 2.歸納假設(shè)的作用. 在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，對于歸納假設(shè)要注意以下兩點： (1)歸納假設(shè)就是已知條件； (2)在推證n＝k＋1時，必須用上歸納假設(shè).,,返回,3.利用歸納假設(shè)的技巧. 在推證n＝k＋1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設(shè). 此時既要看準目標，又要掌握n＝k與n＝k＋1之間的關(guān)系. 在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用. 4.數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍. 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、幾何問題、探求數(shù)列的通項及前n項和等問題中.,