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1、國家開放大學電大本科《復變函數(shù)》期末試題及答案（試卷號：1078 ）
盜傳必究
得分
評卷人
1.
一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分）
若 Z] =(a ,b) ,Z2=(c ,d) 乂 0,則 Zi z2
).
A.(”)
c a
ac + bd be—ad
?應(yīng)+小字+刁2)
D?
2 .若集Ef山＜1},則點寸$+*為集的（）.
A.孤立點
C?邊界點
B.外點
D.內(nèi)點
3. (z? + 3z — 2)dz = ( ).
5=4
A. 0
C. 2
B. 1
D. 3
4.將函數(shù)/（z） 孑在點Z =2的去
2、心鄰域內(nèi)展成羅朗級數(shù)，即是將/（Z）在
( )展開.
A. | z — 2 | V 1
C. 0 <| Z -2 |< 2
B. 1 VI z — 2 | V 2
D. 0<| z-2 |< 1
5.若 /(z) =
1 + z
，則點z = i為f(z)的(
).
得分
評卷人
A.可去奇點
c.本性奇點
二、填空題(本題共20分，每小題4分)
B.非孤立奇點
D.極點
6.
3、稱復平面添加 后所成平面為擴充復平面?
7. 若函數(shù)/(z)與g(z)均在區(qū)域G內(nèi)解析，則[/(z) ?g(z)j=
8. 設(shè)Z尹0,8,稱滿足 的S為Z的對數(shù)函數(shù)，記作3 =Lnz?
5z — 2
9. Res( ,0) = .
z(z — I)
10. 設(shè)3 =/(z)為分式線性變換，若擴充復平面上兩點羽，吻關(guān)于圓周
則叫=/( Z ])與W2 = f(Z2)兩點關(guān)于圓周C，= f(C) ?
評卷人
三、計算題(本題共45分，每小題15分)
11.
設(shè)v =y + bsiny,試求解析函數(shù)/(z)= 〃十2,滿足/(0)=】.
12.
將函數(shù)/(z)
4、—一-在點Z=0的鄰域內(nèi)展成寤級數(shù).
+ z — 2
13.
得分
評卷人
計算積分
四、證明題(本題15分)
14.設(shè)m=a2 +b2 ,n=cz ^d2,其中a,b,c,d均為整數(shù)?試證:m ? 〃仍為兩個整數(shù)的平
試題答案及評分標準：
一、 單項選擇題(本題共20分，每小題4分)
I. B 2. C 3. A 4. D 5. D
二、 填空題(本題共20分，每小題4分)
6. 無窮遠點
7. /( z) g ( z) + /( z) g 7 z)
8. cw =
5、 z
9. 2
10. 對稱
三、 計算題(本題共45分，每小題15分)
II. 設(shè) p=;y + eFin,試求解析函數(shù) /(Q = u + is 滿足 /(())=].
解：由C R條件有".< = % = 1 + c‘cosy,所以
U = X I c cosy + ?( )1)
乂因為— Vr，所以甲(、) (6分)
由此得 /( z)=飛十 c"cosy - c i(_y - csiny) (12 分)
由 f(0) =1 得 c=0
經(jīng)驗 i正 fCz) = x e" cosy + i(+ e^siny)
或 .「( z) = b
即為所求 (15
6、分)
12. 將函數(shù)了(z)= 一 在點之=0的鄰域內(nèi)展成暴級數(shù). W 十 z — 2
解：因為f(z)的有限奇點只有％ =1與玄=一2,所以，/(z)在點z = 0可展成慕級數(shù).
且f(z)在| z |V 1內(nèi)可展開，有
z" + z — 2 ( z — l)(z + 2)
=T(_ A)-仕(-
QC
以計算積分J妒―
z\-7
解：令
因為f（z）在積分路徑| z
1
z" ( Z — 1)(之+1)
故得
（10 分）
2 =
1)「
2 hi
（15 分）
E = l)(z 十 1)
1 = 7的內(nèi)部含7ff三個奇點z = 0. z = 1與
7、z = — 1,所以
d z = 2m - [Res(/,0) + Res(，，1) + Res(J, — D]
(Z — 1) ( z — 1)_
1
（6分）
RcsM，l)=既(z_l) Y
1
Res(A-l)=lim(.+ l) yd i)= 7
f 1
（12 分）
7 營(z-l)(z+1)k =
（15 分）
四、證明題（本題15分）
14.設(shè)m = a2-^b\n = c2 + d2,其中a.b.c.d均為整數(shù).試證：m?”仍為兩個整數(shù)的平 方和.
證：因
m = a~ "/廠=(u + \h) ( a — \b)
〃 = U=((+id)3
8、-id)
m ? ?? = ( + ib) ( a ib) ( c id)(. c id)
=L(& — ib)(c+id)」? L(a—ib)(c—id)」
=|_( ac — bd ) \(ad I 6c) J ?[(貝,一 bd) — ad 卜 6c) J =(ac — bd) + ( ad + be)
由于a.b.cd均為整數(shù)，故結(jié)論得證.
（7分）
所以
（15 分）
2021國開大學電大本科《復變函數(shù)》期末試題及答案（試卷號：1078）
