2021國開大學(xué)電大本科《復(fù)變函數(shù)》期末試題及答案（試卷號：1078）

國家開放大學(xué)電大本科《復(fù)變函數(shù)》期末試題及答案（試卷號：1078 ） 盜傳必究 得分 評卷人 1. 一、單項選擇題（本題共20分，每小題4分） 若 Z] =(a ,b) ,Z2=(c ,d) 乂 0,則 Zi z2 ). A.(”) c a ac + bd be—ad ?應(yīng)+小字+刁2) D? 2 .若集Ef山＜1},則點寸$+*為集的（）. A.孤立點 C?邊界點 B.外點 D.內(nèi)點 3. (z? + 3z — 2)dz = ( ). 5=4 A. 0 C. 2 B. 1 D. 3 4.將函數(shù)/（z） 孑在點Z =2的去心鄰域內(nèi)展成羅朗級數(shù)，即是將/（Z）在 ( )展開. A. | z — 2 | V 1 C. 0 <| Z -2 |< 2 B. 1 VI z — 2 | V 2 D. 0<| z-2 |< 1 5.若 /(z) = 1 + z ，則點z = i為f(z)的( ). 得分 評卷人 A.可去奇點 c.本性奇點 二、填空題(本題共20分，每小題4分) B.非孤立奇點 D.極點 6. 稱復(fù)平面添加 后所成平面為擴充復(fù)平面? 7. 若函數(shù)/(z)與g(z)均在區(qū)域G內(nèi)解析，則[/(z) ?g(z)j= 8. 設(shè)Z尹0,8,稱滿足 的S為Z的對數(shù)函數(shù)，記作3 =Lnz? 5z — 2 9. Res( ,0) = . z(z — I) 10. 設(shè)3 =/(z)為分式線性變換，若擴充復(fù)平面上兩點羽，吻關(guān)于圓周 則叫=/( Z ])與W2 = f(Z2)兩點關(guān)于圓周C，= f(C) ? 評卷人 三、計算題(本題共45分，每小題15分) 11. 設(shè)v =y + bsiny,試求解析函數(shù)/(z)= 〃十2,滿足/(0)=】. 12. 將函數(shù)/(z) —一-在點Z=0的鄰域內(nèi)展成寤級數(shù). + z — 2 13. 得分 評卷人 計算積分 四、證明題(本題15分) 14.設(shè)m=a2 +b2 ,n=cz ^d2,其中a,b,c,d均為整數(shù)?試證:m ? 〃仍為兩個整數(shù)的平 試題答案及評分標準： 一、 單項選擇題(本題共20分，每小題4分) I. B 2. C 3. A 4. D 5. D 二、 填空題(本題共20分，每小題4分) 6. 無窮遠點 7. /( z) g ( z) + /( z) g 7 z) 8. cw = z 9. 2 10. 對稱 三、 計算題(本題共45分，每小題15分) II. 設(shè) p=;y + eFin,試求解析函數(shù) /(Q = u + is 滿足 /(())=]. 解：由C R條件有".< = % = 1 + c‘cosy,所以 U = X I c cosy + ?( )1) 乂因為— Vr，所以甲(、) (6分) 由此得 /( z)=飛十 c"cosy - c i(_y - csiny) (12 分) 由 f(0) =1 得 c=0 經(jīng)驗 i正 fCz) = x e" cosy + i(+ e^siny) 或 .「( z) = b 即為所求 (15分) 12. 將函數(shù)了(z)= 一 在點之=0的鄰域內(nèi)展成暴級數(shù). W 十 z — 2 解：因為f(z)的有限奇點只有％ =1與玄=一2,所以，/(z)在點z = 0可展成慕級數(shù). 且f(z)在| z |V 1內(nèi)可展開，有 z" + z — 2 ( z — l)(z + 2) =T(_ A)-仕(- QC 以計算積分J妒― z\-7 解：令 因為f（z）在積分路徑| z 1 z" ( Z — 1)(之+1) 故得 （10 分） 2 = 1)「 2 hi （15 分） E = l)(z 十 1) 1 = 7的內(nèi)部含7ff三個奇點z = 0. z = 1與z = — 1,所以 d z = 2m - [Res(/,0) + Res(，，1) + Res(J, — D] (Z — 1) ( z — 1)_ 1 （6分） RcsM，l)=既(z_l) Y 1 Res(A-l)=lim(.+ l) yd i)= 7 f 1 （12 分） 7 營(z-l)(z+1)k = （15 分） 四、證明題（本題15分） 14.設(shè)m = a2-^b\n = c2 + d2,其中a.b.c.d均為整數(shù).試證：m?”仍為兩個整數(shù)的平 方和. 證：因 m = a~ "/廠=(u + \h) ( a — \b) 〃 = U=((+id)3-id) m ? ?? = ( + ib) ( a ib) ( c id)(. c id) =L(& — ib)(c+id)」? L(a—ib)(c—id)」 =|_( ac — bd ) \(ad I 6c) J ?[(貝,一 bd) — ad 卜 6c) J =(ac — bd) + ( ad + be) 由于a.b.cd均為整數(shù)，故結(jié)論得證. （7分） 所以 （15 分）