《2021國(guó)開(kāi)大學(xué)電大本科《復(fù)變函數(shù)》期末試題及答案(試卷號(hào):1078)》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2021國(guó)開(kāi)大學(xué)電大本科《復(fù)變函數(shù)》期末試題及答案(試卷號(hào):1078)(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、國(guó)家開(kāi)放大學(xué)電大本科《復(fù)變函數(shù)》期末試題及答案(試卷號(hào):1078 )
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得分
評(píng)卷人
1.
一、單項(xiàng)選擇題(本題共20分,每小題4分)
若 Z] =(a ,b) ,Z2=(c ,d) 乂 0,則 Zi z2
).
A.(”)
c a
ac + bd be—ad
?應(yīng)+小字+刁2)
D?
2 .若集Ef山<1},則點(diǎn)寸$+*為集的().
A.孤立點(diǎn)
C?邊界點(diǎn)
B.外點(diǎn)
D.內(nèi)點(diǎn)
3. (z? + 3z — 2)dz = ( ).
5=4
A. 0
C. 2
B. 1
D. 3
4.將函數(shù)/(z) 孑在點(diǎn)Z =2的去
2、心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù),即是將/(Z)在
( )展開(kāi).
A. | z — 2 | V 1
C. 0 <| Z -2 |< 2
B. 1 VI z — 2 | V 2
D. 0<| z-2 |< 1
5.若 /(z) =
1 + z
,則點(diǎn)z = i為f(z)的(
).
得分
評(píng)卷人
A.可去奇點(diǎn)
c.本性奇點(diǎn)
二、填空題(本題共20分,每小題4分)
B.非孤立奇點(diǎn)
D.極點(diǎn)
6.
3、稱(chēng)復(fù)平面添加 后所成平面為擴(kuò)充復(fù)平面?
7. 若函數(shù)/(z)與g(z)均在區(qū)域G內(nèi)解析,則[/(z) ?g(z)j=
8. 設(shè)Z尹0,8,稱(chēng)滿(mǎn)足 的S為Z的對(duì)數(shù)函數(shù),記作3 =Lnz?
5z — 2
9. Res( ,0) = .
z(z — I)
10. 設(shè)3 =/(z)為分式線(xiàn)性變換,若擴(kuò)充復(fù)平面上兩點(diǎn)羽,吻關(guān)于圓周
則叫=/( Z ])與W2 = f(Z2)兩點(diǎn)關(guān)于圓周C,= f(C) ?
評(píng)卷人
三、計(jì)算題(本題共45分,每小題15分)
11.
設(shè)v =y + bsiny,試求解析函數(shù)/(z)= 〃十2,滿(mǎn)足/(0)=】.
12.
將函數(shù)/(z)
4、—一-在點(diǎn)Z=0的鄰域內(nèi)展成寤級(jí)數(shù).
+ z — 2
13.
得分
評(píng)卷人
計(jì)算積分
四、證明題(本題15分)
14.設(shè)m=a2 +b2 ,n=cz ^d2,其中a,b,c,d均為整數(shù)?試證:m ? 〃仍為兩個(gè)整數(shù)的平
試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):
一、 單項(xiàng)選擇題(本題共20分,每小題4分)
I. B 2. C 3. A 4. D 5. D
二、 填空題(本題共20分,每小題4分)
6. 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)
7. /( z) g ( z) + /( z) g 7 z)
8. cw =
5、 z
9. 2
10. 對(duì)稱(chēng)
三、 計(jì)算題(本題共45分,每小題15分)
II. 設(shè) p=;y + eFin,試求解析函數(shù) /(Q = u + is 滿(mǎn)足 /(())=].
解:由C R條件有".< = % = 1 + c‘cosy,所以
U = X I c cosy + ?( )1)
乂因?yàn)椤?Vr,所以甲(、) (6分)
由此得 /( z)=飛十 c"cosy - c i(_y - csiny) (12 分)
由 f(0) =1 得 c=0
經(jīng)驗(yàn) i正 fCz) = x e" cosy + i(+ e^siny)
或 .「( z) = b
即為所求 (15
6、分)
12. 將函數(shù)了(z)= 一 在點(diǎn)之=0的鄰域內(nèi)展成暴級(jí)數(shù). W 十 z — 2
解:因?yàn)閒(z)的有限奇點(diǎn)只有% =1與玄=一2,所以,/(z)在點(diǎn)z = 0可展成慕級(jí)數(shù).
且f(z)在| z |V 1內(nèi)可展開(kāi),有
z" + z — 2 ( z — l)(z + 2)
=T(_ A)-仕(-
QC
以計(jì)算積分J妒―
z\-7
解:令
因?yàn)閒(z)在積分路徑| z
1
z" ( Z — 1)(之+1)
故得
(10 分)
2 =
1)「
2 hi
(15 分)
E = l)(z 十 1)
1 = 7的內(nèi)部含7ff三個(gè)奇點(diǎn)z = 0. z = 1與
7、z = — 1,所以
d z = 2m - [Res(/,0) + Res(,,1) + Res(J, — D]
(Z — 1) ( z — 1)_
1
(6分)
RcsM,l)=既(z_l) Y
1
Res(A-l)=lim(.+ l) yd i)= 7
f 1
(12 分)
7 營(yíng)(z-l)(z+1)k =
(15 分)
四、證明題(本題15分)
14.設(shè)m = a2-^b\n = c2 + d2,其中a.b.c.d均為整數(shù).試證:m?”仍為兩個(gè)整數(shù)的平 方和.
證:因
m = a~ "/廠=(u + \h) ( a — \b)
〃 = U=((+id)3
8、-id)
m ? ?? = ( + ib) ( a ib) ( c id)(. c id)
=L(& — ib)(c+id)」? L(a—ib)(c—id)」
=|_( ac — bd ) \(ad I 6c) J ?[(貝,一 bd) — ad 卜 6c) J =(ac — bd) + ( ad + be)
由于a.b.cd均為整數(shù),故結(jié)論得證.
(7分)
所以
(15 分)