山西中考數(shù)學(xué)試題[含答案解析]
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1、WORD格式整理 2016年山西省中考數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(本大題共10個小題,每小題3分,共30分,在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,請選出并在答題卡上將該項涂黑) 1.(3分)﹣的相反數(shù)是( ?。? A. B.﹣6 C.6 D.﹣ 【分析】直接利用相反數(shù)的定義分析得出答案. 【解答】解:∵+(﹣)=0, ∴﹣的相反數(shù)是:. 故選:A. 【點評】此題主要考查了相反數(shù),正確把握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵. 2.(3分)不等式組解集是( ) A.x>﹣5 B.x<3 C.﹣5<x<3 D.x<5 【分析】首先解每個不等式,兩個不
2、等式的解集的公共部分就是不等式組的解集. 【解答】解:, 解①得:x>﹣5, 解②得:x<3, 則不等式的解集是:﹣5<x<3. 故選:C. 【點評】本題考查的是解一元一次不等式組,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵. 3.(3分)以下問題不適合全面調(diào)查的是( ?。? A.調(diào)查某班學(xué)生每周課前預(yù)習(xí)的時間 B.調(diào)查某中學(xué)在職教師的身體健康狀況 C.調(diào)查全國中小學(xué)生課外閱讀情況 D.調(diào)查某?;@球隊員的身高 【分析】由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準確,但所費人力、物力和時間較多,而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似. 【解答】解:調(diào)查
3、某班學(xué)生每周課前預(yù)習(xí)的時間適合全面調(diào)查; 調(diào)查某中學(xué)在職教師的身體健康狀況適合全面調(diào)查; 調(diào)查全國中小學(xué)生課外閱讀情況適合抽樣調(diào)查,不適合全面調(diào)查; 調(diào)查某校籃球隊員的身高適合全面調(diào)查, 故選:C. 【點評】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別,選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用,一般來說,對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大,應(yīng)選擇抽樣調(diào)查,對于精確度要求高的調(diào)查,事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查. 4.(3分)如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖,小正方形中數(shù)字表示該位置小正方體的個數(shù),則該幾何體的左視圖是( ?。? A
4、. B. C. D. 【分析】由已知條件可知,左視圖有2列,每列小正方形數(shù)目分別為3,1,據(jù)此可得出圖形,從而求解. 【解答】解:觀察圖形可知,該幾何體的左視圖是. 故選:A. 【點評】本題考查由三視圖判斷幾何體,簡單組合體的三視圖.由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字,可知主視圖的列數(shù)與俯視數(shù)的列數(shù)相同,且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字.左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同,且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字. 5.(3分)我國計劃在2020年左右發(fā)射火星探測衛(wèi)星,據(jù)科學(xué)研究,火星距離地球的最近距離約為5500萬千米,這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)
5、法可表示為( ?。? A.5.5106千米 B.5.5107千米 C.55106千米 D.0.55108千米 【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式.其中1≤|a|<10,n為整數(shù),確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>10時,n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時,n是負數(shù). 【解答】解:5500萬=5.5107. 故選:B. 【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法,表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值. 6.(3分)下列運算正確的是( ?。? A.(﹣)2=﹣ B.(3a2)3=9a6 C.5﹣35﹣5= D.
6、 【分析】分別利用積的乘方運算法則以及二次根式的加減運算法則、同底數(shù)冪的除法運算法則分別化簡求出答案. 【解答】解:A、(﹣)2=,故此選項錯誤; B、(3a2)3=27a6,故此選項錯誤; C、5﹣35﹣5=25,故此選項錯誤; D、﹣=2﹣5=﹣3,正確; 故選:D. 【點評】此題主要考查了積的乘方運算以及二次根式的加減運算、同底數(shù)冪的除法運算等知識,正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵. 7.(3分)甲、乙兩個搬運工搬運某種貨物,已知乙比甲每小時多搬運600kg,甲搬運5000kg所用時間與乙搬運8000kg所用時間相等,求甲、乙兩人每小時分別搬運多少kg貨物,設(shè)甲每小時
7、搬運xkg貨物,則可列方程為( ?。? A. B. C. D. 【分析】設(shè)甲搬運工每小時搬運x千克,則乙搬運工每小時搬運(x+600)千克,根據(jù)甲搬運5000kg所用時間與乙搬運8000kg所用時間相等建立方程求出其解就可以得出結(jié)論. 【解答】解:設(shè)甲搬運工每小時搬運x千克,則乙搬運工每小時搬運(x+600)千克,由題意得 , 故選B 【點評】本題考查了列分時方程解實際問題的運用,分式方程的解法的運用,解答時根據(jù)甲搬運5000kg所用時間與乙搬運8000kg所用時間相等建立方程是關(guān)鍵. 8.(3分)將拋物線y=x2﹣4x﹣4向左平移3個單位,再向上平移5個單位,得到拋物線的
8、函數(shù)表達式為( ?。? A.y=(x+1)2﹣13 B.y=(x﹣5)2﹣3 C.y=(x﹣5)2﹣13 D.y=(x+1)2﹣3 【分析】先把一般式配成頂點式得到拋物線y=x2﹣4x﹣4的頂點坐標為(2,﹣8),再利用點平移的規(guī)律得到把點(2,﹣8)平移后所得對應(yīng)點的坐標為(﹣1,﹣3),然后利用頂點式寫出平移后的拋物線的函數(shù)表達式. 【解答】解:因為y=x2﹣4x﹣4=(x﹣2)2﹣8, 所以拋物線y=x2﹣4x﹣4的頂點坐標為(2,﹣8),把點(2,﹣8)向左平移3個單位,再向上平移5個單位所得對應(yīng)點的坐標為(﹣1,﹣3),所以平移后的拋物線的函數(shù)表達式為y=(x+1)2﹣3.
9、故選D. 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換:由于拋物線平移后的形狀不變,故a不變,所以求平移后的拋物線解析式通??衫脙煞N方法:一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標,利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點坐標,即可求出解析式. 9.(3分)如圖,在?ABCD中,AB為⊙O的直徑,⊙O與DC相切于點E,與AD相交于點F,已知AB=12,∠C=60,則的長為( ?。? A. B. C.π D.2π 【分析】首先求出圓心角∠EOF的度數(shù),再根據(jù)弧長公式l=,即可解決問題. 【解答】解:如圖連接OE、OF, ∵CD是⊙O的切線, ∴OE⊥CD, ∴∠OE
10、D=90, ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠C=60, ∴∠A=∠C=60,∠D=120, ∵OA=OF, ∴∠A=∠OFA=60, ∴∠DFO=120, ∴∠EOF=360﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30, 的長==π. 故選C. 【點評】本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、弧長公式等知識,解題的關(guān)鍵是求出圓心角的度數(shù),記住弧長公式,屬于中考??碱}型. 10.(3分)寬與長的比是(約0.618)的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形蘊藏著豐富的美學(xué)價值,給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形:作正方形ABCD,分別取AD、BC的中點E、F,連接EF:以點
11、F為圓心,以FD為半徑畫弧,交BC的延長線于點G;作GH⊥AD,交AD的延長線于點H,則圖中下列矩形是黃金矩形的是( ) A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH 【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理,求得DF的長,再根據(jù)DF=GF求得CG的長,最后根據(jù)CG與CD的比值為黃金比,判斷矩形DCGH為黃金矩形. 【解答】解:設(shè)正方形的邊長為2,則CD=2,CF=1 在直角三角形DCF中,DF== ∴FG= ∴CG=﹣1 ∴= ∴矩形DCGH為黃金矩形 故選D. 【點評】本題主要考查了黃金分割,解決問題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念.解題時注意,
12、寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形,圖中的矩形ABGH也為黃金矩形. 二、填空題(本大題共5個小題,每小題3分,共15分) 11.(3分)如圖是利用網(wǎng)格畫出的太原市地鐵1,2,3號線路部分規(guī)劃示意圖,若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,表示雙塔西街點的坐標為(0,﹣1),表示桃園路的點的坐標為(﹣1,0),則表示太原火車站的點(正好在網(wǎng)格點上)的坐標是?。?,0) . 【分析】根據(jù)雙塔西街點的坐標可知:1號線起點所在的直線為x軸,根據(jù)桃園路的點的坐標可知:2號線起點所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系,確定太原火車站的點的坐標. 【解答】解:由雙塔西街點的坐標為(0,﹣1)與桃園路的點的
13、坐標為(﹣1,0)得:平面直角坐標系, 可知:太原火車站的點的坐標是(3,0); 故答案為:(3,0) 【點評】本題考查了利用坐標確定位置,解題的關(guān)鍵就是確定坐標原點和x、y軸的位置. 12.(3分)已知點(m﹣1,y1),(m﹣3,y2)是反比例函數(shù)y=(m<0)圖象上的兩點,則y1 > y2(填“>”或“=”或“<”) 【分析】由反比例函數(shù)系數(shù)小于0,可得出該反比例函數(shù)在第二象限單增,結(jié)合m﹣1、m﹣3之間的大小關(guān)系即可得出結(jié)論. 【解答】解:∵在反比例函數(shù)y=(m<0)中,k=m<0, ∴該反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)y隨x的增大而增大, ∵m﹣3<m﹣1<0, ∴
14、y1>y2. 故答案為:>. 【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及反比例函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是找出函數(shù)的單調(diào)性.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)找出其單調(diào)性是關(guān)鍵. 13.(3分)如圖是一組有規(guī)律的圖案,它們是由邊長相同的小正方形組成,其中部分小正方形涂有陰影,依此規(guī)律,第n個圖案中有 4n+1 個涂有陰影的小正方形(用含有n的代數(shù)式表示). 【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn),后一個圖案比前一個圖案多4個涂有陰影的小正方形,然后寫出第n個圖案的涂有陰影的小正方形的個數(shù)即可. 【解答】解:由圖可得,第1個圖案涂有陰影的小
15、正方形的個數(shù)為5, 第2個圖案涂有陰影的小正方形的個數(shù)為52﹣1=9, 第3個圖案涂有陰影的小正方形的個數(shù)為53﹣2=13, …, 第n個圖案涂有陰影的小正方形的個數(shù)為5n﹣(n﹣1)=4n+1. 故答案為:4n+1. 【點評】本題是對圖形變化規(guī)律的考查,觀察出“后一個圖案比前一個圖案多4個基礎(chǔ)圖形”是解題的關(guān)鍵. 14.(3分)如圖是一個能自由轉(zhuǎn)動的正六邊形轉(zhuǎn)盤,這個轉(zhuǎn)盤被三條分割線分成形狀相同,面積相等的三部分,且分別標有“1”、“2”、“3”三個數(shù)字,指針的位置固定不動,讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動兩次,當(dāng)每次轉(zhuǎn)盤停止后,記錄指針指向的數(shù)(當(dāng)指針指向分割線時,視其指向分割線左邊的區(qū)
16、域),則兩次指針指向的數(shù)都是奇數(shù)的概率為 ?。? 【分析】首先根據(jù)題意列出表格,然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與兩次指針指向的數(shù)都是奇數(shù)的情況,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解:列表得如下: 1 2 3 1 1、1 1、2 1、3 2 2、1 2、2 2、3 3 3、1 3、2 3、3 ∵由表可知共有9種等可能結(jié)果,其中兩次指針指向的數(shù)都是奇數(shù)的有4種結(jié)果, ∴兩次指針指向的數(shù)都是奇數(shù)的概率為, 故答案為:. 【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,列表法適合于兩步完成的事
17、件,樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比. 15.(3分)如圖,已知點C為線段AB的中點,CD⊥AB且CD=AB=4,連接AD,BE⊥AB,AE是∠DAB的平分線,與DC相交于點F,EH⊥DC于點G,交AD于點H,則HG的長為 3﹣?。? 【分析】根據(jù)AB=CD=4、C為線段AB的中點可得BC=AC=2、AD=2,再根據(jù)EH⊥DC、CD⊥AB、BE⊥AB得EH∥AC、四邊形BCGE為矩形,BC=GE=2,繼而由AE是∠DAB的平分線可得∠DAE=∠HEA即HA=HE,設(shè)GH=x得HA=2+x,由△DHG∽△DAC得=,列式即可求得x. 【解答】
18、解:∵AB=CD=4,C為線段AB的中點, ∴BC=AC=2, ∴AD=2, ∵EH⊥DC,CD⊥AB,BE⊥AB, ∴EH∥AC,四邊形BCGE為矩形, ∴∠HEA=∠EAB,BC=GE=2, 又∵AE是∠DAB的平分線, ∴∠EAB=∠DAE, ∴∠DAE=∠HEA, ∴HA=HE, 設(shè)GH=x, 則HA=HE=HG+GE=2+x, ∵EH∥AC, ∴△DHG∽△DAC, ∴=,即=, 解得:x=3﹣, 即HG=3﹣, 故答案為:3﹣. 【點評】本題主要考查勾股定理、平行線的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知
19、識點,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例且表示出各邊長度是關(guān)鍵. 三、解答題(本大題共8個小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16.(10分)(1)計算:(﹣3)2﹣()﹣1﹣+(﹣2)0 (2)先化簡,再求值:﹣,其中x=﹣2. 【分析】(1)根據(jù)實數(shù)的運算順序,首先計算乘方和乘法,然后從左到右依次計算,求出算式(﹣3)2﹣()﹣1﹣+(﹣2)0的值是多少即可. (2)先把﹣化簡為最簡分式,再把x=﹣2代入求值即可. 【解答】解:(1)(﹣3)2﹣()﹣1﹣+(﹣2)0 =9﹣5﹣4+1 =1 (2)x=﹣2時, ﹣ =﹣ =﹣ =
20、 = =2 【點評】(1)此題主要考查了實數(shù)的運算,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:在進行實數(shù)運算時,和有理數(shù)運算一樣,要從高級到低級,即先算乘方、開方,再算乘除,最后算加減,有括號的要先算括號里面的,同級運算要按照從左到右的順序進行.另外,有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用. (2)此題還考查了零指數(shù)冪的運算,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:①a0=1(a≠0);②00≠1. (3)此題還考查了分式的化簡求值,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:一般是先化簡為最簡分式或整式,再代入求值.化簡時不能跨度太大,而缺少必要的步驟. (4)此題還考查了負整數(shù)指數(shù)冪的運算,要熟練掌
21、握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:①a﹣p=(a≠0,p為正整數(shù));②計算負整數(shù)指數(shù)冪時,一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算;③當(dāng)?shù)讛?shù)是分數(shù)時,只要把分子、分母顛倒,負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù). 17.(7分)解方程:2(x﹣3)2=x2﹣9. 【分析】方程移項后,提取公因式化為積的形式,然后利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解. 【解答】解:方程變形得:2(x﹣3)2﹣(x+3)(x﹣3)=0, 分解因式得:(x﹣3)(2x﹣6﹣x﹣3)=0, 解得:x1=3,x2=9. 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵.
22、 18.(8分)每年5月的第二周為“職業(yè)教育活動周”,今年我省開展了以“弘揚工匠精神,打造技能強國”為主題的系列活動.活動期間某職業(yè)中學(xué)組織全校師生并邀請學(xué)生家長和社區(qū)居民參加“職教體驗觀摩”活動,相關(guān)職業(yè)技術(shù)人員進行了現(xiàn)場演示,活動后該校教務(wù)處隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查:“你最感興趣的一種職業(yè)技能是什么?”并對此進行了統(tǒng)計,繪制了統(tǒng)計圖(均不完整).請解答以下問題: (1)補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖; (2)若該校共有1800名學(xué)生,請估計該校對“工業(yè)設(shè)計”最感興趣的學(xué)生有多少人? (3)要從這些被調(diào)查的學(xué)生中,隨機抽取一人進行訪談,那么正好抽到對“機電維修”最感興趣的學(xué)生的概率
23、是 0.13?。? 【分析】(1)根據(jù)喜歡其它累的人數(shù)是18,所占的百分比是9%,據(jù)此即可求的調(diào)查的總?cè)藬?shù),進而根據(jù)百分比的意義求得扇形統(tǒng)計圖中每部分的百分比,補全統(tǒng)計圖; (2)利用總?cè)藬?shù)乘以對應(yīng)的百分比即可; (3)概率約等于對應(yīng)的百分比. 【解答】解:(1)調(diào)查的總?cè)藬?shù)是189%=200(人), 則喜歡工業(yè)設(shè)計的人數(shù)是200﹣16﹣26﹣80﹣18=60(人). 喜歡工業(yè)設(shè)計的所占的百分比是=30%; 喜歡機電維修的所占的百分比是=13%. ; (2)估計該校對“工業(yè)設(shè)計”最感興趣的學(xué)生數(shù)是:180030%=540(人); (3)正好抽到對“機電維修”最感興趣的學(xué)生
24、的概率是0.13. 故答案是:0.13. 【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖,從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù). 19.(7分)請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù): 阿基米德折弦定理 阿基米德(archimedes,公元前287﹣公元前212年,古希臘)是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一,他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子. 阿拉伯Al﹣Binmi(973﹣1050年)的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容,蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一題就是阿基米德折弦定理. 阿基米德折弦定
25、理:如圖1,AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是的中點,則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點,即CD=AB+BD.下面是運用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程.證明:如圖2,在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG. ∵M是的中點, ∴MA=MC. … 任務(wù): (1)請按照上面的證明思路,寫出該證明的剩余部分; (2)填空:如圖3,已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=2,D為上一點,∠ABD=45,AE⊥BD于點E,則△BDC的周長是 2+2 . 【分析】(1)首先證明△MBA≌△MGC(SAS),進而得出MB=
26、MG,再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD,即可得出答案; (2)首先證明△ABF≌ACD(SAS),進而得出AF=AD,以及CD+DE=BE,進而求出DE的長即可得出答案. 【解答】(1)證明:如圖2,在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG. ∵M是的中點, ∴MA=MC. 在△MBA和△MGC中 ∵, ∴△MBA≌△MGC(SAS), ∴MB=MG, 又∵MD⊥BC, ∴BD=GD, ∴DC=GC+GD=AB+BD; (2)解:如圖3,截取BF=CD,連接AF,AD,CD, 由題意可得:AB=AC,∠ABF=∠ACD, 在△ABF和△ACD中
27、∵, ∴△ABF≌ACD(SAS), ∴AF=AD, ∵AE⊥BD, ∴FE=DE,則CD+DE=BE, ∵∠ABD=45, ∴BE==, 則△BDC的周長是2+2. 故答案為:2+2. 【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì),正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵. 20.(7分)我省某蘋果基地銷售優(yōu)質(zhì)蘋果,該基地對需要送貨且購買量在2000kg﹣5000kg(含2000kg和5000kg)的客戶有兩種銷售方案(客戶只能選擇其中一種方案): 方案A:每千克5.8元,由基地免費送貨. 方案B:每千克5
28、元,客戶需支付運費2000元. (1)請分別寫出按方案A,方案B購買這種蘋果的應(yīng)付款y(元)與購買量x(kg)之間的函數(shù)表達式; (2)求購買量x在什么范圍時,選用方案A比方案B付款少; (3)某水果批發(fā)商計劃用20000元,選用這兩種方案中的一種,購買盡可能多的這種蘋果,請直接寫出他應(yīng)選擇哪種方案. 【分析】(1)根據(jù)題意確定出兩種方案應(yīng)付款y與購買量x之間的函數(shù)表達式即可; (2)根據(jù)A付款比B付款少列出不等式,求出不等式的解集確定出x的范圍即可; (3)根據(jù)題意列出算式,計算比較即可得到結(jié)果. 【解答】解:(1)方案A:函數(shù)表達式為y=5.8x; 方案B:函數(shù)表達式為
29、y=5x+2000; (2)由題意得:5.8x<5x+2000, 解得:x<2500, 則當(dāng)購買量x的范圍是2000≤x<2500時,選用方案A比方案B付款少; (3)他應(yīng)選擇方案B,理由為: 方案A:蘋果數(shù)量為200005.8≈3448(kg); 方案B:蘋果數(shù)量為(20000﹣2000)5=3600(kg), ∵3600>3448, ∴方案B買的蘋果多. 【點評】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,弄清題中的兩種方案是解本題的關(guān)鍵. 21.(10分)太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點,已成為世界各國普遍關(guān)注和重點發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè).如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖,
30、其中的粗線表示支撐角鋼,太陽能電池板與支撐角鋼AB的長度相同,均為300cm,AB的傾斜角為30,BE=CA=50cm,支撐角鋼CD,EF與底座地基臺面接觸點分別為D、F,CD垂直于地面,F(xiàn)E⊥AB于點E.兩個底座地基高度相同(即點D,F(xiàn)到地面的垂直距離相同),均為30cm,點A到地面的垂直距離為50cm,求支撐角鋼CD和EF的長度各是多少cm(結(jié)果保留根號). 【分析】過A作AG⊥CD于G,在Rt△ACG中,求得CG=25,連接FD并延長與BA的延長線交于H,在Rt△CDH中,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CH=90,在Rt△EFH中,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論. 【解答】解:過A作AG
31、⊥CD于G,則∠CAG=30, 在Rt△ACG中,CG=ACsin30=50=25, ∵GD=50﹣30=20,∴CD=CG+GD=25+20=45, 連接FD并延長與BA的延長線交于H,則∠H=30, 在Rt△CDH中,CH==2CD=90, ∴EH=EC+CH=AB﹣BE﹣AC+CH=300﹣50﹣50+90=290, 在Rt△EFH中,EF=EH?tan30=290=, 答:支撐角鋼CD和EF的長度各是45cm,cm. 【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,構(gòu)造直角三角形并解直角三角形,難度適中. 22.(12分)綜合與實
32、踐 問題情境 在綜合與實踐課上,老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動,如圖1,將一張菱形紙片ABCD(∠BAD>90)沿對角線AC剪開,得到△ABC和△ACD. 操作發(fā)現(xiàn) (1)將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α,使α=∠BAC,得到如圖2所示的△AC′D,分別延長BC和DC′交于點E,則四邊形ACEC′的形狀是 菱形 ; (2)創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α,使α=2∠BAC,得到如圖3所示的△AC′D,連接DB,C′C,得到四邊形BCC′D,發(fā)現(xiàn)它是矩形,請你證明這個結(jié)論; 實踐探究 (3)縝密小組在創(chuàng)新
33、小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上,量得圖3中BC=13cm,AC=10cm,然后提出一個問題:將△AC′D沿著射線DB方向平移acm,得到△A′C′D′,連接BD′,CC′,使四邊形BCC′D恰好為正方形,求a的值,請你解答此問題; (4)請你參照以上操作,將圖1中的△ACD在同一平面內(nèi)進行一次平移,得到△A′C′D,在圖4中畫出平移后構(gòu)造出的新圖形,標明字母,說明平移及構(gòu)圖方法,寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,不必證明. 【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)得出:∠1=∠2,∠2=∠3,∠1=∠4,AC=AC′,進而利用菱形的判定方法得出答案; (2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)得出,四邊形BCC′D
34、是平行四邊形,進而得出四邊形BCC′D是矩形; (3)首先求出CC′的長,分別利用①點C″在邊C′C上,②點C″在C′C的延長線上,求出a的值; (4)利用平移的性質(zhì)以及平行四邊形的判定方法得出答案. 【解答】解:(1)如圖2,由題意可得:∠1=∠2,∠2=∠3,∠1=∠4,AC=AC′, 故AC′∥EC,AC∥C′E, 則四邊形ACEC′是平行四邊形, 故四邊形ACEC′的形狀是菱形; 故答案為:菱形; (2)證明:如圖3,作AE⊥CC′于點E, 由旋轉(zhuǎn)得:AC′=AC, 則∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC, ∵四邊形ABCD是菱形, ∴BA=BC, ∴∠BC
35、A=∠BAC, ∴∠CAE=∠BCA, ∴AE∥BC,同理可得:AE∥DC′, ∴BC∥DC′,則∠BCC′=90, 又∵BC=DC′, ∴四邊形BCC′D是平行四邊形, ∵∠BCC′=90, ∴四邊形BCC′D是矩形; (3)如圖3,過點B作BF⊥AC,垂足為F, ∵BA=BC, ∴CF=AF=AC=10=5, 在Rt△BCF中,BF===12, 在△ACE和△CBF中, ∵∠CAE=∠BCF,∠CEA=∠BFC=90, ∴△ACE∽△CBF, ∴=,即=, 解得:EC=, ∵AC=AC′,AE⊥CC′, ∴CC′=2CE=2=, 當(dāng)四邊形BCC′D
36、′恰好為正方形時,分兩種情況: ①點C″在邊C′C上,a=C′C﹣13=﹣13=, ②點C″在C′C的延長線上,a=C′C+13=+13=, 綜上所述:a的值為:或; (4)答案不唯一, 例:如圖4,畫出正確圖形,平移及構(gòu)圖方法:將△ACD沿著射線CA方向平移,平移距離為AC的長度, 得到△A′C′D′,連接A′B,D′C, 結(jié)論:∵BC=A′D′,BC∥A′D′, ∴四邊形A′BCD′是平行四邊形. 【點評】此題主要考查了幾何變換綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定方法等知識,正確利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出CC′的長是解題關(guān)鍵.
37、 23.(14分)綜合與探究 如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣8與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,直線l經(jīng)過坐標原點O,與拋物線的一個交點為D,與拋物線的對稱軸交于點E,連接CE,已知點A,D的坐標分別為(﹣2,0),(6,﹣8). (1)求拋物線的函數(shù)表達式,并分別求出點B和點E的坐標; (2)試探究拋物線上是否存在點F,使△FOE≌△FCE?若存在,請直接寫出點F的坐標;若不存在,請說明理由; (3)若點P是y軸負半軸上的一個動點,設(shè)其坐標為(0,m),直線PB與直線l交于點Q,試探究:當(dāng)m為何值時,△OPQ是等腰三角形. 【分析】(1)根據(jù)
38、待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可求出點B坐標,求出直線OD解析式即可解決點E坐標. (2)拋物線上存在點F使得△FOE≌△FCE,此時點F縱坐標為﹣4,令y=﹣4即可解決問題. (3))①如圖1中,當(dāng)OP=OQ時,△OPQ是等腰三角形,過點E作直線ME∥PB,交y軸于點M,交x軸于點H,求出點M、H的坐標即可解決問題.②如圖2中,當(dāng)QO=QP時,△POQ是等腰三角形,先證明CE∥PQ,根據(jù)平行線的性質(zhì)列出方程即可解決問題. 【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣8經(jīng)過點A(﹣2,0),D(6,﹣8), ∴,解得, ∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣8, ∵y=x2﹣3x﹣8=(x
39、﹣3)2﹣, ∴拋物線對稱軸為直線x=3, 又∵拋物線與x軸交于點A、B兩點,點A坐標(﹣2,0), ∴點B坐標(8,0). 設(shè)直線l的解析式為y=kx, ∵經(jīng)過點D(6,﹣8), ∴6k=﹣8, ∴k=﹣, ∴直線l的解析式為y=﹣x, ∵點E為直線l與拋物線的交點, ∴點E的橫坐標為3,縱坐標為﹣3=﹣4, ∴點E坐標(3,﹣4). (2)拋物線上存在點F使得△FOE≌△FCE, 此時點F縱坐標為﹣4, ∴x2﹣3x﹣8=﹣4, ∴x2﹣6x﹣8=0, x=3, ∴點F坐標(3+,﹣4)或(3﹣,﹣4). (3)①如圖1 中,當(dāng)OP=OQ時,△OP
40、Q是等腰三角形. ∵點E坐標(3,﹣4), ∴OE==5,過點E作直線ME∥PB,交y軸于點M,交x軸于點H.則=, ∴OM=OE=5, ∴點M坐標(0,﹣5). 設(shè)直線ME的解析式為y=k1x﹣5, ∴3k1﹣5=﹣4, ∴k1=, ∴直線ME解析式為y=x﹣5, 令y=0,得x﹣5=0,解得x=15, ∴點H坐標(15,0), ∵MH∥PB, ∴=,即=, ∴m=﹣, ②如圖2 中,當(dāng)QO=QP時,△POQ是等腰三角形. ∵當(dāng)x=0時,y=x2﹣3x﹣8=﹣8, ∴點C坐標(0,﹣8), ∴CE==5, ∴OE=CE, ∴∠1=∠2, ∵QO=QP
41、, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∴CE∥PB, 設(shè)直線CE交x軸于N,解析式為y=k2x﹣8, ∴3k2﹣8=﹣4, ∴k2=, ∴直線CE解析式為y=x﹣8, 令y=0,得x﹣8=0, ∴x=6, ∴點N坐標(6,0), ∵CN∥PB, ∴=, ∴=, ∴m=﹣. ③OP=PQ時,顯然不可能,理由, ∵D(6,﹣8), ∴∠1<∠BOD, ∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP, ∴∠PQO>∠1, ∴OP≠PQ, 綜上所述,當(dāng)m=﹣或﹣時,△OPQ是等腰三角形. 【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法,等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論,不能漏解,學(xué)會用方程的思想思考問題,屬于中考壓軸題. 專業(yè)技術(shù)參考資料
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