高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.6立體幾何中的向量方法（一）-證明平行與垂直課件 理 蘇教版.ppt

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,,,8.6 立體幾何中的向量方法(一) —證明平行與垂直,第八章 立體幾何,數(shù)學(xué) 蘇（理）,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),題型分類深度剖析,思想方法感悟提高,練出高分,1.直線的方向向量與平面的法向量的確定 (1)直線的方向向量：在直線上任取一 向量作為它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為,非零,2.用向量證明空間中的平行關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)? . (2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α? . (3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α? . (4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β? .,v1∥v2,存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2,v⊥u,u1 ∥u2,3.用向量證明空間中的垂直關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2， 則l1⊥l2? ? . (2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u， 則l⊥α? . (3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2， 則α⊥β? ? .,v1⊥v2,v1v2＝0,v∥u,u1⊥u2,u1u2＝0,思考辨析,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)直線的方向向量是唯一確定的.( ) (2)平面的單位法向量是唯一確定的.( ) (3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.( ) (4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.( ) (5)若a∥b，則a所在直線與b所在直線平行.( ) (6)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行.( ),,,√,√,,,l∥α或l α,①,2∶3∶(－4),,解析,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型一 證明平行問題,例1 (2013浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上， 且AQ＝3QC. 證明：PQ∥平面BCD.,證明線面平行，可以利用判定定理先證線線平行，也可利用平面的法向量.,題型一 證明平行問題,例1 (2013浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上， 且AQ＝3QC. 證明：PQ∥平面BCD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型一 證明平行問題,例1 (2013浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上， 且AQ＝3QC. 證明：PQ∥平面BCD.,證明 方法一 如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)， OD、OP所在射線為y、z軸的正半軸， 建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0,0).,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型一 證明平行問題,例1 (2013浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上， 且AQ＝3QC. 證明：PQ∥平面BCD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型一 證明平行問題,例1 (2013浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上， 且AQ＝3QC. 證明：PQ∥平面BCD.,又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD. 方法二 在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF＝3FC，連結(jié)OF， 同證法一建立空間直角坐標(biāo)系， 寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x0，y0,0).,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型一 證明平行問題,例1 (2013浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上， 且AQ＝3QC. 證明：PQ∥平面BCD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型一 證明平行問題,例1 (2013浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上， 且AQ＝3QC. 證明：PQ∥平面BCD.,又PQ?平面BCD，OF?平面BCD， ∴PQ∥平面BCD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,用向量證明線面平行的方法有 (1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； (2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行； (3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示.,題型一 證明平行問題,例1 (2013浙江改編)如圖，在四面體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上， 且AQ＝3QC. 證明：PQ∥平面BCD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,跟蹤訓(xùn)練1 (2014湖北)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP＝BQ＝λ(0λ2).,(1)當(dāng)λ＝1時(shí)，證明：直線BC1∥平面EFPQ； (2)是否存在λ，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.,,方法一 (1)證明 如圖(1)， 連結(jié)AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體， 知BC1∥AD1. 當(dāng)λ＝1時(shí)，P是DD1的中點(diǎn)， 又F是AD的中點(diǎn)，所以FP∥AD1. 所以BC1∥FP. 而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ， 故直線BC1∥平面EFPQ.,圖(1),,(2)解 如圖(2)，連結(jié)BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，,又DP＝BQ，DP∥BQ，,所以四邊形PQBD是平行四邊形， 故PQ∥BD，且PQ＝BD，,圖(2),,在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因?yàn)锽Q＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝ ，所以四邊形EFPQ是等腰梯形.同理可證四邊形PQMN是等腰梯形. 分別取EF，PQ，MN的中點(diǎn)為H，O，G，連結(jié)OH，OG， 則GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O， 故∠GOH是平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角的平面角. 若存在λ，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角，則∠GOH＝90.,,連結(jié)EM，F(xiàn)N，則由EF∥MN，且EF＝MN，知四邊形EFNM是平行四邊形. 連結(jié)GH，因?yàn)镠，G分別是EF，MN的中點(diǎn)， 所以GH＝ME＝2.,由OG2＋OH2＝GH2，,,方法二 以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖(3)所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz.,圖(3),,由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,0,0)，P(0,0，λ)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，,,而FP?平面EFPQ， 且BC1?平面EFPQ， 故直線BC1∥平面EFPQ.,,(2)解 設(shè)平面EFPQ的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，,于是可取n＝(λ，－λ，1). 同理可得平面PQMN的一個(gè)法向量為m＝(λ－2,2－λ，1).,,若存在λ，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角， 則mn＝(λ－2,2－λ，1)(λ，－λ，1)＝0，,題型二 證明垂直問題,例2 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,證明線面垂直可以利用線面垂直的定義，即證線與平面內(nèi)的任意一條直線垂直；也可以證線與面的法向量平行.,題型二 證明垂直問題,例2 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型二 證明垂直問題,例2 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.,證明 方法一 設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.,并且|a|＝|b|＝|c|＝2，,ab＝ac＝0，bc＝2，以它們?yōu)榭臻g的一個(gè)基底，,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型二 證明垂直問題,例2 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型二 證明垂直問題,例2 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.,方法二 如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO. 因?yàn)椤鰽BC為正三角形， 所以AO⊥BC. 因?yàn)樵谡庵鵄BC—A1B1C1中， 平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型二 證明垂直問題,例2 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.,取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，,y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型二 證明垂直問題,例2 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,題型二 證明垂直問題,例2 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.,故AB1⊥平面A1BD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,用向量證明垂直的方法： (1)線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零. (2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.,題型二 證明垂直問題,例2 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,(3)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?,題型二 證明垂直問題,例2 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30角. (1)求證：CM∥平面PAD；,,證明 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz， ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30.,,令n＝(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量，,,∴CM∥平面PAD.,(2)求證：平面PAB⊥平面PAD.,,∵PB＝AB，∴BE⊥PA.,又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD， 又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.,題型三 解決探索性問題,例3 如圖， 棱柱ABCD－ A1B1C1D1的所 有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求證：BD⊥AA1；,思維點(diǎn)撥,解析,題型三 解決探索性問題,例3 如圖， 棱柱ABCD－ A1B1C1D1的所 有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求證：BD⊥AA1；,思維點(diǎn)撥,解析,題型三 解決探索性問題,例3 如圖， 棱柱ABCD－ A1B1C1D1的所 有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求證：BD⊥AA1；,解 設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O， 則BD⊥AC，連結(jié)A1O，在△AA1O中， AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60，,∴A1O⊥AO.,思維點(diǎn)撥,解析,思維點(diǎn)撥,解析,題型三 解決探索性問題,例3 如圖， 棱柱ABCD－ A1B1C1D1的所 有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求證：BD⊥AA1；,由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD. 以O(shè)B，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,思維點(diǎn)撥,解析,題型三 解決探索性問題,例3 如圖， 棱柱ABCD－ A1B1C1D1的所 有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求證：BD⊥AA1；,思維點(diǎn)撥,解析,例3 (2)求二面角D－A1A－C的余弦值；,例3 (2)求二面角D－A1A－C的余弦值；,思維點(diǎn)撥,解析,例3 (2)求二面角D－A1A－C的余弦值；,解 由于OB⊥平面AA1C1C， ∴平面AA1C1C的一個(gè)法向量為n1＝(1,0,0). 設(shè)n2＝(x，y，z)為平面DAA1D1的一個(gè)法向量，,思維點(diǎn)撥,解析,思維點(diǎn)撥,解析,例3 (2)求二面角D－A1A－C的余弦值；,取n2＝(1， ，－1)，則〈n1，n2〉即為二面角D－A1A－C的平面角，,思維點(diǎn)撥,解析,例3 (2)求二面角D－A1A－C的余弦值；,所以，二面角D－A1A－C的余弦值為 .,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 (3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.,例3 (3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 (3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,解 假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，,例3 (3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 (3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.,設(shè)n3⊥平面DA1C1，,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 (3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.,取n3＝(1,0，－1)， 因?yàn)锽P∥平面DA1C1，,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 (3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.,即點(diǎn)P在C1C的延長線上， 且C1C＝CP.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 (3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.,對(duì)于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證.另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn). (1)求證：AC⊥SD.,,證明 連結(jié)BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD. 由題意知SO⊥平面ABCD.,跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn). (1)求證：AC⊥SD.,,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.,跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn). (1)求證：AC⊥SD.,,跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn). (1)求證：AC⊥SD.,,故OC⊥SD.從而AC⊥SD.,(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由.,(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由.,,(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由.,,而BE不在平面PAC內(nèi)， 故BE∥平面PAC.,,思想與方法系列14 利用向量法解決立體幾何問題,典例：(14分)(2014課標(biāo)全國Ⅱ)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn). (1)證明：PB∥平面AEC；,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,證明 連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO. 因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn). 又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB. 因?yàn)镋O?平面AEC，PB?平面AEC， 所以PB∥平面AEC.,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,(1)利用向量法證明立體幾何問題，可以建坐標(biāo)系或利用基底表示向量； (2)建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要根據(jù)題中條件找出三條互相垂直的直線； (3)利用向量除了可以證明線線平行、垂直，線面、面面平行、垂直外，還可以利用向量求夾角、距離，從而解決線段長度問題、體積問題等.,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,(2)設(shè)二面角D－AE－C為60，AP＝1，AD＝ ，求三棱錐E－ACD的體積.,,解 因?yàn)镻A⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形， 所以AB，AD，AP兩兩垂直.,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,設(shè)B(m,0,0)(m0)，,設(shè)n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,又n2＝(1,0,0)為平面DAE的一個(gè)法向量，,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，,三棱錐E－ACD的體積,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,(1)利用向量法證明立體幾何問題，可以建坐標(biāo)系或利用基底表示向量； (2)建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要根據(jù)題中條件找出三條互相垂直的直線； (3)利用向量除了可以證明線線平行、垂直，線面、面面平行、垂直外，還可以利用向量求夾角、距離，從而解決線段長度問題、體積問題等.,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,方 法 與 技 巧,1.用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.,,2.兩種思路：(1)選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關(guān)定理與向量的線性運(yùn)算進(jìn)行判斷.(2)建立空間坐標(biāo)系，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問題.,失 誤 與 防 范,用向量知識(shí)證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線a∥b，只需證明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.設(shè)平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，h，k)，若α∥β，則h＋k的值為________.,∴h＝－4，k＝4，∴h＋k＝0.,0,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,∴AB與平面CDE平行或在平面CDE內(nèi).,平行或在平面內(nèi),,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，則平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是___________.,所以x＝5，y＝13，z＝－3，即D(5,13，－3).,(5,13，－3),,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ＝________.,解析 由題意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,5.如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝ ，AD＝2 ，P為C1D1的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn).則AM與PM所成的角為________.,解析 以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,答案 90,,,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6.已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個(gè)法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個(gè)平面α與β的位置關(guān)系是________. 解析 設(shè)平面α的法向量為m＝(x，y，z)，,∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.,平行,,,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,7.設(shè)點(diǎn)C(2a＋1，a＋1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1，4)確定的平面上，則a＝________.,則(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4),＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，,,,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,答案 16,,,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,8.設(shè)u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量，若α⊥β，則t＝________. 解析 ∵α⊥β，∴u⊥v，∴uv＝0， ∴－12－8＋4t＝0，t＝5.,5,,,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,9.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ PD.證明：平面PQC⊥平面DCQ.,,,證明 如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA、DP、DC分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.,,,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ， 又PQ?平面PQC， ∴平面PQC⊥平面DCQ.,10.如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求證：EF∥平面PAB；,,,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,證明 以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,,,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，,,,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又AB?平面PAB，EF?平面PAB， ∴EF∥平面PAB.,,,,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)求證：平面PAD⊥平面PDC.,又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD. ∵DC?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.,,,,1.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為________.,解析 設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y,1)，AC∩BD＝O，,2,3,4,5,1,,,,2,3,4,5,1,,,15,,2.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝ ，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是________.,2,3,4,5,1,,,,2,3,4,5,1,,,,∴MN∥平面B1BCC1.,答案 平行,2,3,4,5,1,,,,3.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn)，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，線段D1Q與OP互相平分，則滿足 的實(shí)數(shù)λ有________個(gè).,2,3,4,5,1,,,,解析 建立如圖的坐標(biāo)系， 設(shè)正方體的邊長為2，則P(x，y,2)，O(1,1,0)，,又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上， ∴xQ＋yQ＝3，∴x＋y＝1，即點(diǎn)P坐標(biāo)滿足x＋y＝1. ∴有2個(gè)符合題意的點(diǎn)P，即對(duì)應(yīng)有2個(gè)λ.,答案 2,2,3,4,5,1,,,,4.如圖所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn).求證： (1)DE∥平面ABC；,證明 如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，,令A(yù)B＝AA1＝4，,2,3,4,5,1,,,,則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4). 取AB中點(diǎn)為N，連結(jié)CN， 則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，,又∵NC?平面ABC，DE?平面ABC. 故DE∥平面ABC.,2,3,4,5,1,,,,(2)B1F⊥平面AEF.,又∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.,2,3,4,5,1,,,,5.在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn). (1)求證：EF⊥CD； 證明 如圖，分別以DA、DC、DP所在直線為 x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)、 A(a,0,0)、B(a，a,0)、,2,3,4,5,1,,,,2,3,4,5,1,,,,(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.,若使GF⊥平面PCB，則,2,3,4,5,1,,,,2,3,4,5,1,