高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差課件 理 新人教A版.ppt

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第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差,Ⅰ.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性． Ⅱ.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用． Ⅲ.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念． Ⅳ.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題．,,,整合主干知識(shí),1．離散型隨機(jī)變量 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為_(kāi)___________，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．,隨機(jī)變量,2．離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)定義 一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率為P(X＝xi)＝pi，則表,稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列，有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性質(zhì) ①pi≥0，i＝1,2，…，n；,(3)常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列 ①兩點(diǎn)分布 若隨機(jī)變量X的分布列為 則稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，并稱(chēng)p＝P(X＝1)為成功概率． ②超幾何分布,3.均值與方差 (1)均值 稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或_________．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_________． (2)方差,數(shù)學(xué)期望,平均水平,平均偏離程度,(3)均值與方差的性質(zhì) ①E(aX＋b)＝________. ②D(aX＋b)＝_______.(a，b為常數(shù)) 質(zhì)疑探究：隨機(jī)變量的均值、方差與樣本的均值、方差的關(guān)系是怎樣的？ 提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本的均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差．,aE(X)＋b,a2D(X),解析：設(shè)失敗率為p，則成功率為2p.X的分布列為,答案：C,答案：A,3．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于( ) 答案：A,4．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)＝________.,5．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是________． 解析：E(X)＝10.7＋00.3＝0.7. 答案：0.7,,聚集熱點(diǎn)題型,[典例賞析1] (2015廣州市調(diào)研)某市A，B，C，D四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示： 為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問(wèn)卷調(diào)查．,離散型隨機(jī)變量的分布列,(1)問(wèn)A，B，C，D四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？ (2)從參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的概率； (3)在參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中，從來(lái)自A，C兩所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用ξ表示抽得A中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列．,[拓展提高] 求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟： ①理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值；②求X取每個(gè)值的概率；③寫(xiě)出X的分布列． [提醒] 求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí)．,[變式訓(xùn)練] 1．(2015濟(jì)南調(diào)研)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和． (1)求X的分布列； (2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)．,[典例賞析2] 一個(gè)盒子里裝有7張卡片， 其中有紅色卡片4張， 編號(hào)分別為1, 2, 3, 4; 白色卡片3張， 編號(hào)分別為2, 3, 4. 從盒子中任取4張卡片 (假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)． (1) 求取出的4張卡片中， 含有編號(hào)為3的卡片的概率. (2) 在取出的4張卡片中， 紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X, 求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．,離散型隨機(jī)變量的期望與方差,所以隨機(jī)變量X的分布列是,[拓展提高] 求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的方法 (1)理解ξ的意義，寫(xiě)出ξ可能取的全部值； (2)求ξ取每個(gè)值的概率； (3)寫(xiě)出ξ的分布列； (4)由均值的定義求E(ξ)； (5)由方差的定義求D(ξ)．,,[變式訓(xùn)練] 2．(2015溫州市調(diào)研)從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸出的球中有紅球(不放回)，則試驗(yàn)結(jié)束． (1)求第一次試驗(yàn)恰好摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率； (2)記試驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．,X的分布列為,[典例賞析3] 近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重．大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病．為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院的50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：,超幾何分布,(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整； (2)是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)，說(shuō)明你的理由； (3)已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進(jìn)行其他方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為ξ，求ξ的分布列，數(shù)學(xué)期望以及方差．,下面的臨界值表供參考：,[思路索引](1)先根據(jù)已知概率求出患心肺疾病的人數(shù)，從而得出表格中的各個(gè)數(shù)據(jù)；(2)利用22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式求K2，然后利用臨界值表進(jìn)行判斷； (3)先確定ξ的取值，利用超幾何分布的概率公式求其每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，最后代入期望與方差的計(jì)算公式求解．,[解析] (1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下,[拓展提高] 1.超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn) (1)超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題． (2)隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)． 2．超幾何分布的應(yīng)用 超幾何分布是一個(gè)重要分布，其理論基礎(chǔ)是古典概型，主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品，摸不同類(lèi)別的小球等概率模型．,,[變式訓(xùn)練] 3．某校高一年級(jí)共有學(xué)生320人．為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間(指除了完成老師布置的作業(yè)后學(xué)生根據(jù)自己的需要進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間)情況，學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．根據(jù)問(wèn)卷得到了這n名學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間的數(shù)據(jù)(單位：分鐘)，按照以下區(qū)間分為7組：①[0,10)，②[10,20)，③[20,30)，④[30,40)，⑤[40,50)，⑥[50,60)，⑦[60,70]，得到頻率分布直方圖如圖．已知抽取的學(xué)生中每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間低于20分鐘的有4人．,,(1)求n的值； (2)若高一全體學(xué)生平均每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間少于45分鐘，則學(xué)校需要減少作業(yè)量．根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，學(xué)校是否需要減少作業(yè)量？(注：統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表) (3)問(wèn)卷調(diào)查完成后，學(xué)校從第3組和第4組學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生進(jìn)行座談，了解各學(xué)科的作業(yè)布置情況，并從這7人中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人．設(shè)第3組中學(xué)生被聘的人數(shù)是X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．,解：(1)由題圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06， 則n(0.02＋0.06)＝4，解得n＝50. (2)設(shè)第i組的頻率和頻數(shù)分別是pi和xi， 由題圖知p1＝0.02，p2＝0.06，p3＝0.3，p4＝0.4， p5＝0.12，p6＝0.08，p7＝0.02， 則由xi＝50pi可得x1＝1，x2＝3，x3＝15，x4＝20，x5＝6，x6＝4，x7＝1.,[備課札記](méi) ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________,,提升學(xué)科素養(yǎng),(理)離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差,(本題滿(mǎn)分12分)(2013高考湖南)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線(xiàn)的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：,,這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線(xiàn)距離不超過(guò)1米． (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率； (2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望．,故所求Y的分布列為 (10分),[答題模板] 第一步：弄清題目意思，找到內(nèi)部及邊界各個(gè)點(diǎn)； 第二步：計(jì)算出從三角形地塊內(nèi)部及邊界各取一株作物結(jié)果種數(shù)及相近的種數(shù)； 第三步：數(shù)出各點(diǎn)相近點(diǎn)的株數(shù)，分類(lèi)； 第四步：求每類(lèi)的概率； 第五步：列出分布列； 第六步：計(jì)算期望．,(2015北京東城模擬)為迎接6月6日的“全國(guó)愛(ài)眼日”，某高中學(xué)校學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對(duì)數(shù)視力表檢查得到每個(gè)學(xué)生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)如圖，若視力測(cè)試結(jié)果不低于5.0，則稱(chēng)為“好視力”．,(1)寫(xiě)出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； (2)求從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人是“好視力”的概率； (3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．,X的分布列為,1．兩點(diǎn)注意 (1)求分布列的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的所有可能值及對(duì)應(yīng)的概率．要注意分類(lèi)不全面或計(jì)算錯(cuò)誤． (2)注意運(yùn)用分布列的兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)求得分布列的正誤. 2．三條性質(zhì) (1)E(ax＋b)＝aE(x)＋b(a，b為常數(shù))． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(ax＋b)＝a2D(x)(a，b為常數(shù))．,,3．三種方法 (1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； (2)已知隨機(jī)變量ξ的均值、方差，求ξ的線(xiàn)性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．,