2019年高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線及其標準方程學業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1.doc

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2019年高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線及其標準方程學業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1 一、選擇題 1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，則動點P的軌跡是(　　) A．雙曲線　　　　 B．雙曲線的左支 C．一條射線 D．雙曲線的右支 【解析】　本題容易犯片面性錯誤，從而根據雙曲線的定義而得出錯誤結果．由于|PM|－|PN|＝4，恰好等于這兩個定點間的距離，故其軌跡是一條射線． 【答案】　C 2．已知雙曲線中心在原點且一個焦點F2(－，0)，點P位于該雙曲線上，線段PF2的中點坐標為(0,2)，則該雙曲線方程為(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D．－＝1 【解析】　易知點P的坐標為(，4)，把點P的坐標代入選項中的方程只有B適合． 【答案】　B 3．已知P是雙曲線－＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．1或5 B．6 C．7 D．9 【解析】　由題意a＝2，∴||PF1|－|PF2||＝4.∴|PF2|＝7. 【答案】　C 4．與橢圓＋y2＝1共焦點且過點Q(2,1)的雙曲線方程是(　　) A.－y2＝1 B．－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 【解析】　∵c2＝4－1＝3，∴共同焦點坐標為(，0)， 設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則由 解得 ∴雙曲線方程為－y2＝1. 【答案】　A 5．F1，F2是橢圓＋＝1和雙曲線－y2＝1的公共焦點，P是兩曲線的一個公共點，則cos∠F1PF2等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【解析】　不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，|PF1|－|PF2|＝2，　 ① 由橢圓的定義，|PF1|＋|PF2|＝2.　 ② 由①②可得，|PF1|＝＋，|PF2|＝－， ∵|F1F2|＝4， ∴cos∠F1PF2＝＝. 【答案】　B 二、填空題 6．雙曲線5x2＋ky2＝5的一個焦點是(2,0)，那么k＝________. 【解析】　方程可化為x2－＝1， ∴＝2，解得k＝－. 【答案】?。? 7．(xx北京高考)設雙曲線C的兩個焦點為(－，0)，(，0)，一個頂點是(1,0)，則C的方程為________． 【解析】　由題意，設雙曲線的方程為x2－＝1(b＞0)，又∵1＋b2＝()2，∴b2＝1，即雙曲線C的方程為x2－y2＝1. 【答案】　x2－y2＝1 8．已知F是雙曲線－＝1的左焦點，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為______． 【解析】　設右焦點為F′，由題意知F′(4,0)，根據雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，即需滿足P、F′、A三點共線，最小值為4＋|F′A|＝4＋＝9. 【答案】　9 三、解答題 9．若雙曲線－＝1的兩個焦點為F1、F2，|F1F2|＝10，P為雙曲線上一點，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此雙曲線的方程． 【解】　∵|F1F2|＝10， ∴2c＝10，c＝5. 又∵|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a. 在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴4a2＋16a2＝100. ∴a2＝5.則b2＝c2－a2＝20. 故所求的雙曲線方程為－＝1. 10．已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內切，求動圓圓心的軌跡方程． 【解】　設動圓M的半徑為r，由于動圓與圓C1相外切，所以|MC1|＝r＋，又動圓與圓C2相內切，所以有|MC2|＝r－，于是|MC1|－|MC2|＝(r＋)－(r－)＝2，且2<|C1C2|，因此動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的右支． 設其方程為－＝1，則有2a＝2，即a＝， 又c＝4，∴b2＝c2－a2＝16－2＝14， 于是動圓圓心的軌跡方程為－＝1(x≥)． 1．已知F1、F2為雙曲線－＝1的左、右焦點，P(3,1)為雙曲線內一點，點A在雙曲線的右支上，則|AP|＋|AF2|的最小值為(　　) A.＋4 B．－4 C.－2 D．＋2 【解析】　如圖所示，連接F1P交雙曲線右支于點A0. ∵|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2， ∴要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值． 當A落在A0處時，|AP|＋|AF1|＝|PF1|最小，最小值為，∴|AP|＋|AF2|的最小值為－2. 【答案】　C 2．若點O和點F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為(　　) A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞) C. D． 【解析】　由a2＋1＝4，得a＝，則雙曲線方程為 －y2＝1. 設點P(x0，y0)，則－y＝1，即y＝－1. ＝x0(x0＋2)＋y＝x＋2x0＋－1 ＝－，∵x0≥， 故的取值范圍是[3＋2，＋∞)，故選B. 【答案】　B 3．與橢圓＋y2＝1共焦點且過點Q(2,1)的雙曲線方程是________. 【解析】　∵c2＝4－1＝3，∴共同焦點坐標為(，0)，設雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，則由 解得 ∴雙曲線方程為－y2＝1. 【答案】?。瓂2＝1 4．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，試就k的不同取值討論方程所表示的曲線類型． 【解】　(1)當k＝0時，方程變?yōu)閥＝2，表示兩條與x軸平行的直線； (2)當k＝1時，方程變?yōu)閤2＋y2＝4，表示圓心在原點，半徑為2的圓； (3)當k<0時，方程變?yōu)椋?，表示焦點在y軸上的雙曲線． (4)當01時，方程變?yōu)椋?，表示焦點在y軸上的橢圓.