2019年高中數(shù)學 課后提升訓練三 1.2.1 幾個常用函數(shù)的導數(shù)與基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 新人教A版選修2-2.doc

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2019年高中數(shù)學 課后提升訓練三 1.2.1 幾個常用函數(shù)的導數(shù)與基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 新人教A版選修2-2 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.已知直線y=kx是y=lnx的切線,則k的值為　(　　) A. B.- C. D.- 【解析】選C.y′==k,所以x=,切點坐標為,又切點在曲線y=lnx上,所以ln=1,所以=e,k=. 2.下列命題中正確的是　(　　) ①若f′(x)=cosx,則f(x)=sinx ②若f′(x)=0,則f(x)=1 ③若f(x)=sinx,則f′(x)=cosx ④若f(x)=,則f′(x)= A.① B.①② C.③ D.①②③④ 【解析】選C.①當f(x)=sinx+1時,f′(x)=cosx; ②當f(x)=2時,f′(x)=0;④若f(x)=,則f′(x)=-. 3.(xx南寧高二檢測)質(zhì)點沿直線運動的路程s與時間t的關系是s=,則質(zhì)點在t=4時的速度為　(　　) A. B. C. D. 【解析】選B.s′=. 當t=4時,s′==. 4.若曲線y=在點(a,)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18,則a等于　(　　) A.64 B.32 C.16 D.8 【解題指南】先根據(jù)導數(shù)求出切線的斜率,利用點斜式寫出切線的方程,再求出切線與兩坐標軸的交點,然后根據(jù)三角形的面積公式列方程求a的值. 【解析】選A.因為y′=-, 所以當x=a時,y′=-, 所以在點(a,)處的切線方程為y-=-(x-a), 令x=0,得y=,令y=0,得x=3a. 所以3a=18,解得a=64. 【補償訓練】函數(shù)y=ex在點(2,e2)處的切線與坐標軸圍成三角形的面積為 　(　　) A.e2　　　 B.2e2　　　 C.e2　　　 D. 【解析】選D.因為當x=2時,y′=e2, 所以切線方程為y-e2=e2(x-2). 當x=0時,y=-e2,當y=0時,x=1. 故切線與坐標軸圍成三角形的面積為|-e2|1=. 5.(xx天津高二檢測)已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,則a的值為　(　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 【解析】選A.求導得f′(x)=axa-1, 因為f′(-1)=-4, 所以a(-1)a-1=-4, 所以a=4. 6.函數(shù)y=2x-x2的圖象大致是　(　　) 【解析】選A.分別畫出函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x2的圖象,如圖所示, 由圖可知,f(x)與g(x)有3個交點, 所以y=2x-x2=0,有3個解, 即函數(shù)y=2x-x2的圖象與x軸有三個交點,故排除B,C, 當x=-3時,y=2-3-(-3)2<0,故排除D. 7.設曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,則x1x2…xn的值為　(　　) A. B. C. D.1 【解析】選B.對y=xn+1(n∈N*)求導,得y′=(n+1)xn. 令x=1,得在點(1,1)處切線的斜率k=n+1. 在點(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1), 令y=0,則xn=,故x1x2…xn=…=. 8.(xx山東高考)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是 　(　　) A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3 【解題指南】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,求導后,表示出兩“切線”的斜率,判斷它們的乘積是否為-1. 【解析】選A.(1)對于函數(shù)y=sinx,y′=cosx,設圖象上存在這樣兩點(x1,sinx1), (x2,sinx2),那么兩切線的斜率k1=cosx1,k2=cosx2,令k1k2=cosx1cosx2=-1,則x1=2kπ,x2=2kπ+π(x2=2kπ,x1=2kπ+π),k∈Z,即存在這樣的兩點,所以具有T性質(zhì). (2)對于函數(shù)y=lnx,y′=,k1k2=,而x1>0,x2>0,所以k1k2≠-1,所以函數(shù)y=lnx不具有T性質(zhì). (3)對于函數(shù)y=ex,y′=ex,k1=,k2=,顯然均大于0.所以函數(shù)y=ex不具有T性質(zhì). (4)對于函數(shù)y=x3,y′=3x2,k1=3,k2=3,顯然k1k2≠-1,所以函數(shù)y=x3不具有T性質(zhì). 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.函數(shù)y=x2(x>0)的圖象在點(ak,)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1,其中 k∈N*,若a1=16,則a1+a3+a5的值是________. 【解題指南】利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程,再求其與x軸的交點橫坐標. 【解析】因為y′=2x,所以過點(ak,)的切線方程為y-=2ak(x-ak),又該切線與x軸的交點為(ak+1,0),所以ak+1=ak,即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列,首項a1=16,其公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21. 答案:21 【補償訓練】(xx廣州高二檢測)在平面直角坐標系xOy中,若曲線y=lnx在x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線與直線ax-y+3=0垂直,則實數(shù)a的值為 __________. 【解析】因為y=lnx的導數(shù)為y′=,即有曲線y=lnx在x=e處的切線斜率為k=,由于切線與直線ax-y+3=0垂直,則a=-1,解得a=-e. 答案:-e 10.過曲線y=cosx上點P且與過這點的切線垂直的直線方程為_________. 【解析】因為y=cosx,所以y′=-sinx, 曲線在點P處的切線斜率是 -sin=-, 所以過點P且與切線垂直的直線的斜率為, 所以所求的直線方程為y-=, 即2x-y-+=0. 答案:2x-y-+=0 三、解答題 11.(10分)(xx濟寧高二檢測)已知曲線y=5,求: (1)這條曲線與直線y=2x-4平行的切線方程. (2)過點P(0,5)且與曲線相切的切線方程. 【解析】(1)設切點為(x0,y0),由y=5, 得y′=,所以切線斜率為, 因為切線與直線y=2x-4平行,所以=2. 所以x0=,所以y0=. 則所求切線方程為y-=2, 即16x-8y+25=0. (2)因為點P(0,5)不在曲線y=5上, 設切點坐標為M(t,u),則切線斜率為, 又切線斜率為,所以==. 所以2t-2=t,又t≠0,解得t=4. 所以切點為M(4,10),斜率為. 所以切線方程為y-10=(x-4), 即5x-4y+20=0. 【補償訓練】設拋物線y=x2與直線y=x+a (a是常數(shù))有兩個不同的交點,記拋物線在兩交點處切線分別為l1,l2,求a值變化時l1與l2交點的軌跡. 【解析】將y=x+a代入y=x2整理得x2-x-a=0,① 因為直線與拋物線有兩個不同的交點,所以Δ=(-1)2+4a>0,得a>-. 設兩交點為(α,α2),(β,β2),α<β,由y=x2知y′=2x,則切線l1, l2的方程分別為y=2αx-α2,y=2βx-β2.設兩切線交點為(x,y), 則?、? 因為α,β是①的解,由根與系數(shù)的關系, 可知α+β=1,αβ=-a. 代入②可得x=,y=-a<. 從而,所求的軌跡方程為直線x=上的y<的部分. 【能力挑戰(zhàn)題】 已知曲線y=f(x)=. (1)求曲線在點P(1,1)處的切線方程. (2)求曲線過點Q(1,0)的切線方程. (3)求滿足斜率為-的曲線的切線方程. 【解析】因為y=,所以y′=f′(x)=-. (1)顯然P(1,1)是曲線上的點.所以P為切點,所求切線斜率為函數(shù)y=在P(1,1)點的導數(shù). 即k=f′(1)=-1. 所以曲線在P(1,1)處的切線方程為 y-1=-(x-1),即為y=-x+2. (2)顯然Q(1,0)不在曲線y=上. 則可設過該點的切線的切點為A, 那么該切線斜率為k=f′(a)=. 則切線方程為y-=-(x-a).① 將Q(1,0)代入方程得:0-=(1-a). 解得a=,代回方程①整理可得: 切線方程為y=-4x+4. (3)設切點坐標為B(b,),則切線斜率為k=-=-,解得b=,那么B(,),B′(-,-).代入點斜式方程得y-=-(x-)或y+=-(x+).整理得切線方程為y=-x+或y=-x-.