2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《空間向量與立體幾何》單元檢測(cè) 蘇教版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《空間向量與立體幾何》單元檢測(cè) 蘇教版選修2-1 一、知識(shí)點(diǎn)梳理 設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則： 1．設(shè)直線所成的角為，則： 2．設(shè)直線與平面所成的角為，則： 3．設(shè)平面所成的二面角的大小為則： ①若， ②若， 二、學(xué)法指導(dǎo) 1． 平面法向量的基本概念．法向量是指與已知平面垂直的向量，它可以根據(jù)選取的坐標(biāo)不同有無數(shù)多個(gè)，但一般取其中較為方便計(jì)算的． 2． 平面法向量的基本計(jì)算．根據(jù)圖形建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)出已知平面的法向量為(x，y，z)，在已知平面內(nèi)尋找兩條相交直線a，b，并用向量表示它們．由于法向量垂直于平面，則必然垂直這兩條直線，利用垂直向量點(diǎn)乘為零列出方程組．由于有三個(gè)未知數(shù)x，y，z，一般是設(shè)其中一個(gè)為特殊值，求出另外兩個(gè)． 3． 平面法向量的基本應(yīng)用．在求出法向量后，如要證明線面垂直，只需證明要證明的直線平行于該平面的法向量；如要證明面面垂直，只需證明兩個(gè)平面的法向量垂直；如要求直線和平面所成的角，只需求出直線和法向量所成的角(利用向量點(diǎn)乘公式求出這個(gè)家教的余弦值，它和所求的線面角互余)；如要求二面角大小，只需求出兩個(gè)平面的法向量所成的角(同樣利用點(diǎn)乘公式求出這個(gè)角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互補(bǔ)，然后只需簡(jiǎn)單判斷二面角是銳角還是鈍角即可)． 4． 關(guān)于空間向量在立體幾何中的應(yīng)用問題，其中最主要的計(jì)算都是圍繞平面的法向量展開的．在絕大部分題目中，空間向量是作為數(shù)學(xué)工具來解決兩類問題：一、垂直問題，尤其是線面垂直問題(面面垂直基本類似)；二、角度問題，主要講二面角的平面角通過兩個(gè)平面法向量所稱的角來進(jìn)行轉(zhuǎn)化(線面角與此類似)．而立體幾何中的平行問題一般是用基本定理來進(jìn)行解決的． 三、單元檢測(cè) (一)填空題(每小題5分，共70分) 1．已知向量，且與互相垂直，則的值是 ． 2．已知，則與的數(shù)量積等于 ． 3．已知向量，則與的夾角為 ． 4．在下列命題中：①若共線，則所在的直線平行；②若所在的直線是異面直線，則一定不共面；③若三向量?jī)蓛晒裁?，則三向量一定也共面；④已知三向量，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為．其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ． 5．直三棱柱中，若，，， 則 ． 6．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，則△BCD是 三角形． 7．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，和分別為和的中點(diǎn)，那么直線與所成角的余弦值是 ． 8．已知向量，若∥，則與的值分別是 ． 9．(如圖)一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于1，且它們彼此的夾角都是，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)為 ． 10．已知為夾角，則=　　?。? 11．在棱長(zhǎng)為的正方體中，向量與向量所成的角為　　　?。? 12．如圖，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若與平面所成的角為，則　　　　?。? 13．如圖4，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在棱上移動(dòng)，則當(dāng)?shù)扔凇　　　r(shí)，二面角的大小為． 14．已知正方形的邊長(zhǎng)為4，分別是的中點(diǎn)，平面，且，則點(diǎn)到平面的距離為 ． (二)解答題(共90分) 15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． (1)寫出的坐標(biāo)； (2)求與所成的角的余弦值． 16．在正方體中，如圖分別是的中點(diǎn)， (1)求證：平面； (2)． 17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形， 側(cè)棱底面， ，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)． (1)證明平面； (2)證明平面． 18．如圖，四邊形是直角梯形， ， 平面，． (1)求與平面所成的角余弦； (2)求平面和平面所成角的余弦． 19．如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，底面． (1)求證：平面； (2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大??； (3)當(dāng)為何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心? 20．是平面外的點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，． (1)求證：平面; (2)對(duì)于向量，定義一種運(yùn)算： ， 試計(jì)算的絕對(duì)值;說明其與幾何體的體積關(guān)系，并由此猜想向量這種運(yùn)算的絕對(duì)值的幾何意義． 單元檢測(cè) 8、、；9、；10、；11、；12、；13、 ；14、 15、解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) ------4分 (2)∵ ＝(0, -2, 2)，＝(0, 1, 2) ∴ ||＝2，||＝， ＝0－2＋4＝2, ∴ cos ， ＝ ＝ ＝ ． ∴ AB1與ED1所成的角的余弦值為． ------14分 16、解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，（1）不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1， 則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1）， E（1，1，），F(xiàn)（0，，0）， 則＝（0，，－1），＝（1，0，0）， ＝（0，1，）， 則＝0， ＝0， ，. 平面ADE. ------8分 （２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－）， ＝－1＋0－＝－， ，， 則cos. ------14分 17、解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè) (1)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G.連結(jié)EG. 依題意得 底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且 . 這表明. 而平面EDB且平面EDB，平面EDB。 ------6分 (2)證明：依題意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD. ------14分 18、（1） ------8分 （2） ----- -16分 19、（1）證明：平面， ． 以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則． 設(shè)，則． 為的中點(diǎn)，．，． ，平面． ------6分 （2），即，， 可求得平面的法向量．． 設(shè)與平面所成的角為， 則． 與平面所成的角為． - -----12分 （3）的重心，， 平面，． 又，．． ，即．反之，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐． 在平面內(nèi)的射影為的重心． ------18分 20、解：（1） ------6分 （2） V＝ 猜測(cè)：在幾何上可表示以AB,AD,AP為棱的平等六面體的體積（或以AB,AD,AP為棱的四棱柱的體積） ------14分