2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（含解析）北師大版選修1-1.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（含解析）北師大版選修1-1 一、選擇題 1．以拋物線y2＝2px(p>0)的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為(　　) A．相交　　　　　 B．相離 C．相切 D．不確定 【解析】　設(shè)P(x0，y0)，則以|PF|為直徑的圓半徑r＝.又圓心到y(tǒng)軸的距離d＝，∴該圓與y軸相切． 【答案】　C 2．過(guò)點(diǎn)M(2,4)與拋物線y2＝8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由于M(2,4)在拋物線上，故滿足條件的直線共有2條，一條是與x軸平行的線，另一條是過(guò)M的切線，如果點(diǎn)M不在拋物線上，則有3條直線． 【答案】　B 3．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，拋物線上的點(diǎn)(k，－2)與F的距離為4，則k的值為(　　) A．4 B．－2 C．4或－4 D．2或－2 【解析】　由題意知拋物線方程可設(shè)為x2＝－2py(p>0)，則＋2＝4， ∴p＝4，∴x2＝－8y，將(k，－2)代入得k＝4. 【答案】　C 4．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【解析】　拋物線的焦點(diǎn)F，所以過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－.即x＝y(tǒng)＋，將其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0.所以＝p＝2.所以拋物線的方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1. 【答案】　B 5．已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 【解析】　不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，由于l垂直于對(duì)稱軸且過(guò)焦點(diǎn)，故直線l的方程為x＝.代入y2＝2px得y＝p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－3，故S△ABP＝612＝36. 【答案】　C 二、填空題 6．拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸，過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16，則拋物線方程為_(kāi)_______． 【解析】　過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦是通徑，即2p＝16，所以拋物線的方程為x2＝16y. 【答案】　x2＝16y 7．設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)，若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______. 【解析】　由已知得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，橫坐標(biāo)為，即B將其代入y2＝2px得p＝，則點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為＋＝p＝. 【答案】　 8．對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件： ①焦點(diǎn)在y軸上； ②焦點(diǎn)在x軸上； ③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6； ④拋物線的通徑的長(zhǎng)為5； ⑤由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)． 則使拋物線方程為y2＝10x的必要條件是________(要求填寫(xiě)合適條件的序號(hào))． 【解析】　由拋物線方程y2＝10x，知它的焦點(diǎn)在x軸上，所以②適合． 又∵它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，原點(diǎn)O(0,0)，設(shè)點(diǎn)P(2,1)，可得kPOkPF＝－1，∴⑤也合適． 而①顯然不合適，通過(guò)計(jì)算可知③④不合題意． ∴應(yīng)填序號(hào)為②⑤. 【答案】　②⑤ 三、解答題 9．如圖223所示，過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此拋物線的方程． 圖223 【解】　過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線AA′，BD，垂足為A′，D，則|BF|＝|BD|，又2|BF|＝|BC|. ∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30，又|AF|＝3， ∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3. ∴F到準(zhǔn)線距離p＝|FC|＝，∴y2＝3x. 10．已知過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的弦長(zhǎng)為36，求弦所在的直線的方程． 【解】　∵過(guò)焦點(diǎn)F，垂直于x軸的弦長(zhǎng)為4<36， ∴弦所在直線斜率存在， 設(shè)弦所在的直線的斜率為k，且與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)． ∵拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，∴設(shè)直線方程為y＝k(x－1)． 由整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， ∴x1＋x2＝. ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝＋2. 又|AB|＝36，∴＋2＝36.∴k＝. 故所求直線的方程為y＝(x－1)或y＝－(x－1)． [能力提升] 1．過(guò)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影為A1、B1，則∠A1FB1等于(　　) A．45 B．90 C．60 D．120 【解析】　 如圖，由拋物線定義知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO， 同理∠BFB1＝∠B1FO， 于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1. 故∠A1FB1＝90. 【答案】　B 2．若點(diǎn)P在y2＝x上，點(diǎn)Q在(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為(　　) A.－1 B．－1 C．2 D．－1 【解析】　設(shè)圓(x－3)2＋y2＝1的圓心為Q′(3,0)，要求|PQ|的最小值，只需求|PQ′|的最小值． 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(y，y0)，則|PQ′|＝ ＝＝. ∴|PQ′|的最小值為， 從而|PQ|的最小值為－1. 【答案】　D 3．(xx湖南高考)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和直線x＝－1的距離相等．若機(jī)器人接觸不到過(guò)點(diǎn)P(－1,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是________. 【解析】　依題意可知，機(jī)器人運(yùn)行的軌跡方程為y2＝4x.設(shè)直線l：y＝k(x＋1)，聯(lián)立消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1. 【答案】　{k|k＜－1或k＞1} 4．如圖224，過(guò)拋物線y2＝x上一點(diǎn)A(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值． 圖224 【證明】　設(shè)kAB＝k(k≠0)， ∵直線AB，AC的傾斜角互補(bǔ)， ∴kAC＝－k(k≠0)， ∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2. 由方程組消去y后，整理得 k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0. ∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解． ∴4xB＝，即xB＝. 以－k代換xB中的k，得xC＝， ∴kBC＝＝ ＝＝＝－. ∴直線BC的斜率為定值．