東南大學(xué)幾何與代數(shù)第四章習(xí)題講解.ppt

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,幾代習(xí)題（第四章）,王小 六,東 南 大 學(xué) 線 性 代 數(shù) 課 程,關(guān)于作業(yè),第四章的習(xí)題解析參見筆記,錯誤的說法： 線性有關(guān) （應(yīng)該是線性相關(guān)） 不線性相關(guān)（應(yīng)該是線性無關(guān)）,習(xí)題四(B) 10,?1, ?2, …, ?t 線性無關(guān),?1, ?2, …, ?s 線性無關(guān),,?1, ?2, …, ?t 線性無關(guān),?1, ?2, …, ?s 線性無關(guān),,“當(dāng)且僅當(dāng)” 其實就是 “充要條件”,要證兩個方向,習(xí)題四(B) 10,?1, ?2, …, ?t 線性無關(guān),?1, ?2, …, ?s 線性無關(guān),,錯誤的證法：,?1, ?2, …, ?t 線性無關(guān),,由k1 ? 1+k2 ? 2+…+ks ? s = θ ，可得 k1=k2=…=ks = 0 .,,k1?1+k2 (?1+?2)+ …+ks (?1+?2+… +?s ) = θ,,(k1+k2+…+ks)?1+ (k2+…+ks)?2+ …+ks?s = θ,,?1, ?2,…, ?s 的系數(shù)全為0,,?1, ?2,…, ?s 線性無關(guān),習(xí)題四(B) 12,要求的是“充要條件”,向量組? 1, ? 2, ? 3線性無關(guān),?由k1 ? 1 + k2 ? 2 + ks ? 3 = ? 可推出,k1=k2 =k3 = 0.,?k1 ? 1 + k2 ? 2 + ks ? 3 = ? 只有零解,? (? 1 , ? 2 , ? 3),k1 k2 k3,= ?,只有零解,? (a?1 + b?2 , a?2 +b?3 , a?3 + b?1),k1 k2 k3,= ?,只有零解,習(xí)題四(B) 12,? (a?1 + b?2 , a?2 +b?3 , a?3 + b?1),k1 k2 k3,= ?,只有零解,? (?1, ?2, ?3 ),k1 k2 k3,= ?,只有零解,a 0 b b a 0 0 b a,k1 k2 k3,= ?,只有零解,a 0 b b a 0 0 b a,?,由?1, ?2, ?3 的線性無關(guān),? …,習(xí)題四(B) 17,與第12題類似,習(xí)題四(B) 19,求極大無關(guān)組，兩種方法 (1) 先求秩 r，找r個無關(guān)向量 (2) 將向量以列向量形式構(gòu)成矩陣， 做初等行變換…,習(xí)題四(B) 20(1),,x y z,=,2y-3z y z,,=,,2 1 0,,-3 0 1,y,+ z,基向量: (2 1 0), (-3, 0, 1),習(xí)題四(B) 20(2),,2 3 6 9 2 4 5,,2 0 0 0 1 0 0 0,,,,,基向量,行變換,,2 3 6 9 2 4 5,,0 0 3 0 0 2 0 -1,,,是基向量(參見引理4.1和例4.15),列變換,不是基向量,習(xí)題四(B) 23,?1T ?2T,,?1T ?2T,,=,C,?1= c11?1+ c21?2 , ?2 =c12?1+ c22?2.,C =,c11 c12 c21 c22,,因為此時?1 , ?2 , ?1 , ?2是行向量，所以,?1 ?2,?1 ?2,=,,CT,,或者等價地，,25（1）向量組正交化后還需單位化,27,29 注意兩點 : (AB)T=BTAT; 矩陣乘法不能隨意交換,31 有兩種角度：化成階梯形；行列式,35 其實只需證向量組線性無關(guān)（因為已知解空間的維數(shù)是3）； 如果要說明向量組可以線性表示任一個解向量，請把系數(shù)求出來。,注：在此題的證明過程中，有些同學(xué)似乎 用了這樣的錯誤結(jié)論：設(shè)k0,k1,…,kt不全為零， 然后得到k0+k1+…+kt不等于零.,方法一：令線性組合等于零，然后證系數(shù)全為零； 方法二：先證ξ與Ax=θ的線性無關(guān)的解向量所構(gòu)成的向量組是線性無關(guān)的（需證明），然后再證題中的向量組是無關(guān)的,36（2）要說明η構(gòu)成基礎(chǔ)解系，前提是η不為零向量,37 在求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系時，一定要利用導(dǎo)出 組的通解來求,40（1）與32題是一樣的； （2）線性表示的系數(shù)最好要具體寫出來.,有的書中此題答案有誤：第一行第二個元素 應(yīng)該為-1+2t,本門課程的內(nèi)容體系,本門課程：研究矩陣的理論,第二章 矩陣 矩陣的定義和運算； 可逆矩陣:特殊矩陣; 分塊矩陣:為了更方便的運算; 初等變換:矩陣之間的一種變換；,第五章：相似變換(方陣),第六章：可逆變換(實對稱陣),特征值,慣性指數(shù),矩陣世界， 紛繁復(fù)雜， 如何找到不變的永恒,秩,第四章：向量空間是一種特殊的矩陣空間,尋找向量空間的極小生成元(基),尋找向量組的極大無關(guān)組,研究向量組中向量間的關(guān)系（線性相關(guān)性）,有了基, 就有了坐標(biāo)；,定義內(nèi)積,引入正交的概念,構(gòu)造一組標(biāo)準(zhǔn)正交生成元,兩個 應(yīng)用,刻畫矩陣A的列空間(列向量生成的子空間),刻畫Ax=b的解空間，即尋找基礎(chǔ)解系等,第三章 幾何空間(R3): 可看作是第四章的鋪墊，也可看作一種特殊的向量空間。,第一章 行列式和方程組: 它們是研究矩陣的工具。很多問題會被轉(zhuǎn)化為求行列式(特別是遇到方陣時)或求解方程組的問題。,