2019-2020年高中數(shù)學(xué)必修1精講精析2.2.1-2.3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)必修1精講精析2.2.1-2.3.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)必修1精講精析2.2.1-2.3
學(xué)習(xí)目標(biāo)展示
(1)理解對數(shù)的概念、常用對數(shù)及自然對數(shù)的概念;會進(jìn)行對數(shù)式與指數(shù)式的互化;
(2)掌握對數(shù)的運算法則,會進(jìn)行對數(shù)運算;(3)對數(shù)的換底公式;
銜接性知識
1. 已知,求實數(shù)的值
解:由已知,得,所以或
2. 如果,那么實數(shù)的值是多少呢?
基礎(chǔ)知識工具箱
要點
定義
符號
對數(shù)
若,則叫做以為底的對數(shù).
底數(shù),真數(shù)
特殊對數(shù)
常用對數(shù)
以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)
自然對數(shù)
以無理數(shù)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)
指數(shù)式與對數(shù)式的互化
當(dāng),時,
對數(shù)的性質(zhì)
(1)(2)(3)
對數(shù)的運算法則
(1)(2)
(3),(其中>0且≠1,M>0,N>0)
換底公式
logaN=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;N>0)
變形:(1)(2)(3)
例1.用logax,logay,logaz表示:
(1)loga(xy2); (2)loga(x); (3)loga.
解:(1)loga(xy2)=logax+logay2=logax+2logay;
(2)loga(x)=logax+loga=logax+logay;
(3)loga=loga=(logax-loga(yz2))=(logax-logay-2logaz).
例2.計算下列各式的值:
(1);(2);
(3)
解:(1)方法一:原式=
===.
方法二:原式===.
(2)原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2
= 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3.
(3)原式=(lg2)2+2lg2(1+lg5)+(1+lg5)2=(lg2+1+lg5)2=22=4.
【小結(jié)】易犯lg52 = (lg5)2的錯誤.
這類問題一般有兩種處理方法:一種是將式中真數(shù)的積、商、方根運用對數(shù)的運算法則將它們化為對數(shù)的和、差、積、商,然后化簡求值;
另一種方法是將式中的對數(shù)的和、差、積、商運用對數(shù)的運算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪、方根,然后化簡求值. 計算對數(shù)的值時常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.
例3.(1)已知lg2 = m,lg3 = n,用m、n表示lg;
(2)設(shè)logax = m,logay = n,用m、n表示;
(3)已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc,求x.
【分析】由已知式與未知式底數(shù)相同,實現(xiàn)由已知到未知,只須將未知的真數(shù)用已知的真數(shù)的乘、除、冪表示,借助對數(shù)運算法則即可解答.
解:(1)
(2)
(3)由已知得:
,∴.
例4.已知log189 = a,18b = 5,求log3645.
解:方法一:∵log189 = a,18b = 5,∴l(xiāng)og185 = b,
于是==.
方法二:∵log189 = a,18b = 5,∴l(xiāng)g9 = alg18,lg5 = blg8,
∴=.
精練部分
A類試題(普通班用)
1.下列式子中正確的個數(shù)是( )
①loga(b2-c2)=2logab-2logac ②(loga3)2=loga32
③loga(bc)=(logab)(logac) ④logax2=2logax
A.0 B.1 C.2 D.3
[答案] A
2. 計算:
(1)2log210+log20.04 (2) (3)
(4)log8+2log (5)log6-2log63+log627 .
[解析](1)2log210+log20.04=log2(1000.04)=log24=2
(2)===1
(3)===1-lg3=lg
(4)log8+2log=log2+log3=log6=-1
(5)log6-2log63+log627=log6-log69+log63=log6(3)=log6=-2.
3. (1)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值;
(2)已知10a=2,10b=3,求1002a-b的值
解:(1)因為loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,
則a2m+n=(am)2an=43=12.
(2) ∵10a=2,10b=3,∴l(xiāng)g2=a,lg3=b.
則1002a-b=1002lg2-lg3=100lg=(102)lg=(10lg)2=2=
4. 計算:(1)log34log48log8m=log416,求m的值.
(2)log89log2732. (3)(log25+log4125).
解:(1)原方程等價于=2,即log3m=2,∴m=9.
(2)解法一:原式===.
解法二:原式===.
(3)解:原式=(log25+log25)
=log225log52=log25log52=log25log52=
5. 若25a=53b=102c,試求a、b、c之間的關(guān)系.
[解析] 設(shè)25a=53b=102c=k,則
a=log2k,b=log5k,c=lgk.
∴l(xiāng)ogk2=,logk5=,logk10=,
又logk2+logk5=logk10,∴+=.
B類試題(3+3+4)(尖子班用)
1. 下列式子中正確的個數(shù)是( )
①loga(b2-c2)=2logab-2logac ②(loga3)2=loga32
③loga(bc)=(logab)(logac) ④logax2=2logax
A.0 B.1 C.2 D.3
[答案] A
2. 已知a=log32,那么log38-2log36用a表示為( )
A.a(chǎn)-2 B.5a-2 C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-1
[答案] A
[解析] 由log38-2log36=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.
3. 如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的兩根為x1、x2,那么x1x2的值為( )
A.lg2lg3 B.lg2+lg3 C.-6 D.
[答案] D
[解析] 由題意知lgx1和lgx2是一元二次方程u2+(lg2+lg3)u+lg2lg3=0的兩根
∴l(xiāng)gx1+lgx2=-(lg2+lg3),即lg(x1x2)=lg,∴x1x2=.
4. log6[log4(log381)]=________.
[答案] 0
[解析] log6[log4(log381)]=log6(log44)=log61=0
5. 已知lg3=0.4771,lgx=-3.5229,則x=________.
[答案] 0.0003
[解析] ∵lgx=-3.5229=-4+0.4771
=-4+lg3=lg0.0003,∴x=0.0003.
6. 設(shè)log89=a,log35=b,則lg2=________.
[答案]
[解析] 由log89=a得log23=a,∴=,
又∵log35==b,∴=ab,∴=ab,∴l(xiāng)g2=.
7. 計算:
(1)2log210+log20.04 (2) (3)
(4)log8+2log (5)log6-2log63+log627 .
[解析] (1)2log210+log20.04=log2(1000.04)=log24=2
(2)===1
(3)===1-lg3=lg
(4)log8+2log=log2+log3=log6=-1
(5)log6-2log63+log627=log6-log69+log63=log6(3)=log6=-2.
8.(1)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值;
(2)已知10a=2,10b=3,求1002a-b的值
解:(1)因為loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,
則a2m+n=(am)2an=43=12.
(2) ∵10a=2,10b=3,∴l(xiāng)g2=a,lg3=b.
則1002a-b=1002lg2-lg3=100lg=(102)lg=(10lg)2=2=
9. 已知lg(x+2y)+lg(x-y)=lg2+lgx+lgy,求的值.
[解析] 由已知條件得即,
整理得∴x-2y=0,因此=2.
10. 若25a=53b=102c,試求a、b、c之間的關(guān)系.
[解析] 設(shè)25a=53b=102c=k,則
a=log2k,b=log5k,c=lgk.
∴l(xiāng)ogk2=,logk5=,logk10=,
又logk2+logk5=logk10,∴+=.