線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,AUTOMATIC CONTROL,自動控制原理,2.1,數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ),控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念,描述控制系統(tǒng),輸入,、,輸出變量,以及,內(nèi)部各變量,之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為系統(tǒng)的,數(shù)學(xué)模型,。,建立數(shù)學(xué)模型的目的,建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是,分析,和,設(shè)計,控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。,建立數(shù)學(xué)模型的方法,建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型簡稱為,建模,，系統(tǒng)建模有,兩大類方法,，或者說有,兩種不同的途徑,：,一類是機(jī)理分析建模方法

2、，稱為分析法；,另一類是實驗建模方法，通常稱為系統(tǒng)辨識。,常用數(shù)學(xué)模型,1.,外部描述模型,微分方程、傳遞函數(shù),2.,內(nèi)部描述模型,狀態(tài)空間法,3.,信號流圖模型,2.2,線性系統(tǒng)的,時域數(shù)學(xué)模型,微分方程,是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型，要研究系統(tǒng)的運動，必須列寫系統(tǒng)的,微分方程,。,對于單輸入、單輸出,線性定常系統(tǒng),，采用下列,微分方程,來描述：,式中，,r,(,t,),和,c,(,t,),分別是系統(tǒng)的,輸入信號,和,輸出信號,；,是 對時間,t,的,n,階導(dǎo)數(shù)；,和,是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù),決定的系數(shù)。,一個控制系統(tǒng)由若干具有不同功能的元件組成，首先要根據(jù)各個元件的,物理規(guī)律,，列寫各個元件的微

3、分方程，得到一個微分方程組，然后消去中間變量，即得控制系統(tǒng)總的,輸入,和,輸出,的,微分方程,。,1,、電氣系統(tǒng),例,1,由電阻,R,、電感,L,和電容,C,組成的無源網(wǎng)絡(luò)，試寫出以 為輸入量，以 為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。,R,L,C,i(t),u,r,(t),u,c,(t),解 設(shè)回路電流為 ，由基爾霍夫電壓定律可寫出回路方程為,消去中間變量 ，得系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程,2,、機(jī)械系統(tǒng),例,2,圖示為一個含有彈簧、運動部件、阻尼器的機(jī)械位移裝置。其中 是彈簧系數(shù)，是運動部件質(zhì)量，是阻尼系數(shù)；外力 是系統(tǒng)的輸入量，位移 是系統(tǒng)的輸出量。試確定系統(tǒng)的微分方程。,F,y(t),k,f,m,解,

4、:,阻尼器的阻尼力,:,彈簧彈性力,:,整理得：,注：,比較兩個例子可以發(fā)現(xiàn)，這兩個不同的物理系統(tǒng)具有相同形式的,運動方程,，即具有,相同的數(shù)學(xué)模型。,例,1,數(shù)學(xué)描述：,例,2,數(shù)學(xué)描述：,注：,許多表面上完全不同的系統(tǒng)（如機(jī)械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)和經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)）有時卻可能具有完全相同的,數(shù)學(xué)模型,。,從這個意義上講，數(shù)學(xué)模型表達(dá)了這些系統(tǒng)的共性，所以只要研究透了一種數(shù)學(xué)模型，也就完全了解具有這種數(shù)學(xué)模型形式的各式各樣系統(tǒng)的,本質(zhì)特征,。,因此數(shù)學(xué)模型建立以后，研究系統(tǒng)主要是以,數(shù)學(xué)模型,為基礎(chǔ)，分析并綜合系統(tǒng)的各項性能，而不再涉及實際系統(tǒng)的物理性質(zhì)和具體特點。,2.1,控制系統(tǒng)的微分方程,

5、解析法建立微分方程的一般步驟是,根據(jù)實際工作情況，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；,標(biāo)準(zhǔn)化工作,:,將與輸入有關(guān)的各項放在等號的右側(cè)，即將與輸出有關(guān)的各項放在等號的左側(cè)，并按照降冪排列。,從輸入端開始，按照信號的傳遞時序及方向，根據(jù)各變量所遵循的物理、化學(xué)定律，列寫出變化（運動）過程中的微分方程組；,消去中間變量，得到只包含輸入、輸出量的微分方程；,最后將系數(shù)歸化為具有一定物理意義的形式。,1,2,3,4,5,控制系統(tǒng)的,微分方程,是在,時間域,描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在,給定外部作用和初始條件下,，,求解微分方程,可以得到系統(tǒng)的,輸出響應(yīng),。這種方法比較直觀,。,拉普拉斯變換,是,求解線

6、性微分方程,的有力工具，它可以將,時域的微分方程,轉(zhuǎn)化為,復(fù)頻域,中的,代數(shù)方程,，并且可以得到,控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中,的,數(shù)學(xué)模型,傳遞函數(shù)。,2.3,傳遞函數(shù),設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為：,則其傳遞函數(shù)為,傳遞函數(shù)：,線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,在零初始條件下，令,對上式求拉斯變換，可得,例,3,試確定例,1,所示的,RLC,無源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的,傳遞函數(shù),。,解 由例,1,可知，網(wǎng)絡(luò)的微分方程為,則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,例,4,試確定例,2,所示的機(jī)械阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,在零初始條件下，對上式進(jìn)行拉斯變換，得,所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,解 由例,2,可知，該系

7、統(tǒng)的運動方程為,傳遞函數(shù)的幾點說明,1,、作為一種數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)只,適用于線性定常系統(tǒng),，這是由于傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運算。,2,、線性定常系統(tǒng)或元件的,線性定常微分,方程與傳遞函數(shù),一一對應(yīng)，它們是在,不同域,對同一系統(tǒng)或元件的描述。,4,、傳遞函數(shù)是復(fù)變量,S,的有理分式，且分子、分母多項式的各項系數(shù)均為實數(shù)，分母多項式的次數(shù),N,大于等于分子多項式的次數(shù),M,，。,3,、傳遞函數(shù)是表征線性定常系統(tǒng)或元件自身的固有特性，它與其,輸入信號的形式無關(guān),，但和,輸入信號,的,作用位置,及,輸出信號的取出位置,有關(guān)。所以談到傳遞函數(shù)，必須,指明輸入量,和,輸

8、出量,。,5,、,傳遞函數(shù)是在,零初始條件,下定義的?？刂葡到y(tǒng)的零初始條件有兩層含義：,一是指輸入量在時 才起作用；,二是指輸入量加于系統(tǒng)前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)。,6,、,傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出,(SISO),之間的關(guān)系，對多輸入多輸出,(MIMO),系統(tǒng)，可用,傳遞函數(shù)陣,表示。,7,、傳遞函數(shù)式可表示成,式中,p,1,，,p,2,p,n,為分母多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點；,z,1,、,z,2,、,z,n,為分子多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點；,K,稱為傳遞函數(shù)的,增益,。,8,、傳遞函數(shù)的,分母多項式,稱為特征多項式，記為,而,D,(,s,)=0,稱為,特征方程,。,傳遞函數(shù)分

9、母多項式的階次總是大于或等于分子多項式的階次，即,n,m,。這是由于,實際系統(tǒng)的慣性,所造成的。,9,、實際工程中，許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)，所以傳遞函數(shù)只描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，并不提供任何有關(guān)該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。,10,、一個傳遞函數(shù)只適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)，因而信號在傳遞過程中的,中間變量,是無法反映出來的。,11,、對于系統(tǒng)未知的傳遞函數(shù)，可通過給系統(tǒng)加上已知特性的輸入，再對其輸出進(jìn)行研究，就可以得到該系統(tǒng),傳遞函數(shù),，并可以給出其,動態(tài)特性的完整描述,。,2.2,傳遞函數(shù),12,、傳遞函數(shù)的拉氏反變換,是系統(tǒng)對應(yīng)的,脈沖響應(yīng),典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),控制系統(tǒng)由許多元件組

10、合而成，這些元件的物理,結(jié)構(gòu),和,作用原理,是多種多樣的，但拋開具體結(jié)構(gòu)和物理特點，從,傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,來看，可以劃分成幾種典型環(huán)節(jié)。,常用的典型環(huán)節(jié)有,比例環(huán)節(jié),、,慣性環(huán)節(jié),、,積分環(huán)節(jié),、,微分環(huán)節(jié),、,振蕩環(huán)節(jié),、,延遲環(huán)節(jié),等。,比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),r(t),c(t),t,0,比例環(huán)節(jié)（無慣性環(huán)節(jié)）：,c,(,t,)=,kr,(,t,),傳遞函數(shù)：,G,(,S,)=C(S)/R(S)=,k,階躍響應(yīng)：,R,(,S,)=1/,S,C,(,S,)=,kR,(,S,)=,k,/,S,方框圖：,C(t)=k,k,R(S),C(S),1,測速發(fā)電機(jī)：,U(t)=K,t,d,(t)/dt=k

11、,t,(t),G(S)=U(S)/,(S)=K,t,R,2,R,1,R,C(t),r(t),運算放大器：,C(t)=R,2,/R,1,r(t),G(S)=C(S)/R(S)=R,2,/R,1,=,K,2.2,傳遞函數(shù),慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),慣性環(huán)節(jié),：,Tdc,(t)/,dt,+,c,(t)=,kr,(t),傳遞函數(shù)：,G,(,S,)=,C,(,S,)/,R,(,S,)=,k,/(,TS,+1),階躍響應(yīng)：,R,(,S,)=1/,S,C,(,S,)=,kR,(,S,)/(,TS,+1),方框圖：,C,(,t,)=,k,(1-e,-1,/T),2,k,/(,TS,+1),R,(,S,),C,(,S

12、,),電樞控制他勵直流電動機(jī)：,T,d,T,m,d,2,n(t)/dt,2,+T,m,dn(t)/dt+n(t),U,a,(t)/C,e,若初值為,0,，上式的拉氏變換為：,(T,d,T,m,S,2,+T,m,S+1)N(S)=U,a,(S)/C,e,傳遞函數(shù)為：,1,G(S)=N(S)/U,a,(S)=,C,e,(T,d,T,m,S,2,+T,m,S+1),若電樞電感忽略不計，上式可以化簡為：,1,G(S)=N(S)/Ua(S)=,Ce(TmS+1),運算放大器：,R,2,R,1,R,C(t),r(t),C,i,1,i,2,A,傳遞函數(shù)為：,G(S)=,（,R,2,/R,1,)/(R,2,C

13、S+1),=K/(TS+1),2.2,傳遞函數(shù),當(dāng),T=,時，慣性環(huán)節(jié)近似為積分環(huán)節(jié)；當(dāng),T=0,時，慣性環(huán)節(jié)近似為比例環(huán)節(jié)。,積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),3,積分環(huán)節(jié)：,dc,(,t,)/,dt,=,kr,(,t,),傳遞函數(shù)：,G,(S)=,C,(S)/,R,(S)=,k,/,S,階躍響應(yīng)：,R,(,S,)=1/S,，,C,(S)=,kR,(S),C,(t)=,kt,方框圖：,k/s,R(S),C(S),積分調(diào)節(jié)器：,C,U,c,(t),R,U,r,(t),i,1,i,2,A,在,A,點列方程可得：,i,2,=i,1,i,1,=U,c,(t)/R,U,c,(t)=1/Ci,2,(t)dt=1/(R

14、C)U,c,(t)dt,設(shè),RC,T,（積分時間常數(shù)），則有：,U,c,(t)=1/TU,c,(t)dt,拉氏變換后為：,U,c,(S)=1/(TS)U,c,(S),傳遞函數(shù)為：,G(S)=U,c,(S)/U,c,(S)=1/(TS),k/S,2.2,傳遞函數(shù),微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),微分環(huán)節(jié)：,c,(,t,)=,dr,(t)/,dt,傳遞函數(shù)：,G,(S)=,C,(S)/,R,(S)=,S,方框圖：,S,R,(,S,),C,(,S,),4,由于微分環(huán)節(jié)具有慣性實際常常以,G(S)=kTS/(TS+1),形式出現(xiàn)。其中,T,為時間常數(shù)，,T,越小微分作用越強(qiáng)，當(dāng),T,0,而,KT,保持有限值時，方

15、,程變?yōu)榧兾⒎汁h(huán)節(jié)了。,輸入量取角度時的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。,表示電機(jī)單位角速度的輸出電壓。則測速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角速度之間的關(guān)系為,進(jìn)行拉氏變換得到,那么該元件的傳遞函數(shù)為,測速發(fā)電機(jī)：,2.2,傳遞函數(shù),微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),一階微分環(huán)節(jié),：,c(t)=,dr(t),/dt+r(t),傳遞函數(shù)：,G(S)=C(S)/R(S)=S+1,方框圖：,S,+1,R,(S),C,(S),5,比例微分調(diào)節(jié)器：,根據(jù)電路的基本定律得到以下方程組,那么該元件的傳遞函數(shù)為,消去中間變量得到輸出、輸入電壓之間的關(guān)系,振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),振蕩環(huán)節(jié)：,T,2,d,2,r,(t)/,dt,2,+2,Tdr,(,

16、t,)/,dt,+,r,(,t,),r,(,t,),傳遞函數(shù)：,G,(,S,)=,C,(,S,)/,R(S,)=1/(,T,2,S,2,+2,TS,+1),方框圖：,6,RLC,振蕩電路：,Uc,R,Ur,i,c,L,電路的微分方程為：,LCd,2,Uc/dt,2,+RCdUc/dt+Uc=Ur,d,2,Uc/dt,2,+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr,令,n,=1/,LC,，,=0.5 R,C/L,則上式的拉氏變換為：,(S,2,+2,n,S+,n,2,)Uc(S)=,n,2,Ur(S),n,2,S,2,+2,n,S+,n,2,傳遞函數(shù)為：,G(S)=Uc(S)/Ur(S),1,T,2,S,2,+2,TS,+1,R,(,S,),C(S),延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),延遲環(huán)節(jié)：,c,(,t,)=,r(t-,),傳遞函數(shù)：,G,(,S,)=,C,(,S,)/,R,(,S,)=,e,-s,方框圖：,7,e,-s,R(S),C(S),軋鋼廠帶厚度檢測元件,:,則滯后時間為：,l,/,v,（,S),測厚信號,c(t),與厚差信號,r(t),之間的關(guān)系為：,c(t),r(t-,),在零初始條件下