2019-2020年高三數學一輪復習講義 正弦定理和余弦定理應用舉例教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數學一輪復習講義 正弦定理和余弦定理應用舉例教案 新人教A版 自主梳理 1.實際問題中的常用角 (1)．仰角和俯角 與目標視線同在一鉛垂平面內的水平視線 和目標視線的夾角，目標視線在水平視線 上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方 時叫俯角．(如圖所示) (2)．方位角 一般指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角， 如方位角45，是指北偏東45，即東北方向． (3)．方向角：相對于某一正方向的水平角．(如圖所示) ①北偏東α即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向． ②北偏西α即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向． ③南偏西等其他方向角類似． (4)．坡度角 坡面與水平面所成的二面角的度數.坡面與 水平面的夾角．(如圖所示) (5)．坡比 坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i＝＝tan α(i為坡比，α為坡角)． 自我檢測 1．如圖某河段的兩岸可視為平行，在河段的一岸邊選取兩點A，B，觀察對岸的點C，測得∠CAB＝75，∠CBA＝45，且 AB＝200 米．則 A，C 兩點的距離為( ) A.米 B．100 米 C.米 D．200 米 2．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10 B．北偏西10 C．南偏東10 D．南偏西10 燈塔A、B的相對位置如圖所示，由已知得∠ACB＝80，∠CAB＝∠CBA＝50， 則α＝60－50＝10，即北偏西10 3．在200 m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60，則塔高為________m. 4．如圖，某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45，沿傾斜角為30的斜坡前進1 000 m后到達D處，又測得山頂的仰角為60，則山的高度BC為________ m. 500(＋1) 5．△ABC中，D為邊BC上的一點，BD＝33， sin B＝，cos∠ADC＝，求AD. 解　由cos∠ADC＝＞0知B＜， 由已知得cos B＝，sin∠ADC＝， 從而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B ＝－＝. 由正弦定理得，＝， 所以AD＝＝＝25. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 　題型一 與距離有關的問題 例1　如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點，現位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達D點需要多長時間？ 實際應用題，實質就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當準確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當． 解　由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90－60＝30，∠DAB＝90－45＝45， ∴∠ADB＝180－(45＋30)＝105. 在△DAB中，由正弦定理，得＝， ∴DB＝＝ ＝＝10(海里)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30＋(90－60)＝60，BC＝20(海里)， 在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1 200－21020 ＝900，∴CD＝30(海里)， ∴需要的時間t＝＝1(小時)． 故救援船到達D點需要1小時． 變式訓練1　 （1）要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距 km的C、D兩點，并測得∠ACB＝75，∠BCD＝45，∠ADC＝30，∠ADB＝45，求A、B之間的距離. 解:在△ACD中，∠ACD＝120，∠CAD＝∠ADC＝30， ∴AC＝CD＝ km. 在△BCD中，∠BCD＝45，∠BDC＝75，∠CBD＝60. ∴BC＝＝. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝()2＋2－2cos 75 ＝3＋2＋－＝5， ∴AB＝ (km)， ∴A、B之間的距離為 km. （2）某觀測站C在目標A的南偏西25方向，從A出發(fā)有一條南 偏東35走向的公路，在C處測得與C相距31千米的公路上B處有 一人正沿此公路向A走去，走20千米到達D，此時測得CD為21 千米，求此人在D處距A還有多少千米？ 解 如圖所示，易知∠CAD＝25＋35＝60，在△BCD中， cos B＝＝， 所以sin B＝. 在△ABC中，AC＝＝24， 由BC2＝AC2＋AB2－2ACABcos A， 得AB2－24AB－385＝0， 解得AB＝35，AB＝－11(舍)， 所以AD＝AB－BD＝15. 故此人在D處距A還有15千米． 點評： (1)實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(或兩個以上)三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解．有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程，解方程得出所要求的解． （3）如圖，在海岸A處發(fā)現北偏東45方向， 距A處(－1)海里的B處有一艘走私船.在A處北 偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船 奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走 私船正以10海里/小時的速度，以B處向北偏東30方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間. 解　設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD＝10t海里，BD＝10t海里， 在△ABC中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos A ＝(－1)2＋22－2(－1)2cos 120＝6. ∴BC＝海里. 又∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45，∴B點在C點的正東方向上， ∴∠CBD＝90＋30＝120， 在△BCD中，由正弦定理，得＝， ∴sin∠BCD＝＝＝. ∴∠BCD＝30，∴緝私船沿北偏東60的方向行駛. 又在△BCD中，∠CBD＝120，∠BCD＝30， ∴∠D＝30，∴BD＝BC，即10t＝. ∴t＝小時≈15分鐘. ∴緝私船應沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘. 　題型二　測量高度問題 例2　如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在 同一水平面內的兩個測點C與D，現測得∠BCD＝α，∠BDC＝β， CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB. 解　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β. 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝， 在Rt△ABC中， AB＝BCtan∠ACB＝ 變式訓練2　(1)某人在塔的正東沿著南偏西60 的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途 測得塔的最大仰角為30，求塔高． 解 由題意可知，在△BCD中，CD＝40， ∠BCD＝30，∠DBC＝135， 由正弦定理得， ＝， ∴BD＝＝20. 過B作BE⊥CD于E，顯然當人在E處時， 測得塔的仰角最大，有∠BEA＝30. 在Rt△BED中， 又∵∠BDE＝180－135－30＝15. ∴BE＝DBsin 15＝20＝10(－1)． 在Rt△ABE中， AB＝BEtan 30＝(3－)(米)． 故所求的塔高為(3－)米． (2) 如圖，某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂 直的水平面內沿南偏西60的方向以每小時6千米的速度 步行了1分鐘以后，在點D處望見塔的底端B在東北方 向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值為60. (1)求該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時，走了幾分鐘； (2)求塔的高AB. 　解　(1)依題意知，在△DBC中，∠BCD＝30，∠DBC＝180－45＝135， CD＝6 000＝100(米)，∠D＝180－135－30＝15， 由正弦定理得＝， ∴BC＝＝＝＝ ＝50(－1)(米). 在Rt△ABE中，tan α＝. ∵AB為定長，∴當BE的長最小時，α取最大值60，這時BE⊥CD. 當BE⊥CD時，在Rt△BEC中， EC＝BCcos∠BCE＝50(－1)＝25(3－)(米). 設該人沿南偏西60的方向走到仰角α最大時，走了t分鐘. 則t＝60＝60＝(分鐘). (2)由(1)知當α取得最大值60時，BE⊥CD， 在Rt△BEC中，BE＝BCsin∠BCD， ∴AB＝BEtan 60＝BCsin∠BCDtan 60 ＝50(－1)＝25(3－)(米). 即所求塔高AB為25(3－)米. 題型三　幾何中的正、余弦定理應用問題 例3　如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30，∠ADB＝45， 求BD的長. 探究提高　要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成若干個三角形.在分割時，要注意有利于應用正、余弦定理. 解　在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30. 由正弦定理，得＝， sin∠ABC＝＝＝. ∵AD∥BC，∴∠BAD＝180－∠ABC， 于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝. 同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝， ∠ADB＝45，由正弦定理： ＝， 解得BD＝.故BD的長為. 變式訓練3　 如圖所示，△ACD是等邊三角形， △ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90，BD交 AC于E，AB＝2. (1)求cos∠CBE的值； (2)求AE. 解: (1)因為∠BCD＝90＋60＝150，CB＝AC＝CD， 所以∠CBE＝15， 所以cos∠CBE＝cos(45－30)＝. (2)在△ABE中，AB＝2， 由正弦定理＝， 故AE＝＝＝－. 四　三角形中最值問題 例4某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標桿BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. (1)該小組已測得一組α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，請據此算出H的值； (2)該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精度．若電視塔實際高度為125 m，試問d為多少時，α－β最大？ 解 (1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD， 得＋＝， 解得H＝＝＝124(m)． 因此，算出的電視塔的高度H是124 m. (2)由題設知d＝AB，得tan α＝. tan β＝. 所以tan(α－β)＝ ＝≤， 當且僅當d＝， 即d＝＝＝55時， 上式取等號，所以當d＝55時，tan(α－β)最大． 因為0<β<α<，則0<α－β<， 所以當d＝55時，α－β最大． 變式訓練4?。?）如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側，求四邊形OPDC面積的最大值． 　解　設∠POB＝θ，四邊形面積為y， 則在△POC中，由余弦定理得 PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcos θ＝5－4cos θ. ∴y＝S△OPC＋S△PCD＝12sin θ＋(5－4cos θ) ＝2sin(θ－)＋. ∴當θ－＝，即θ＝時，ymax＝2＋. 所以四邊形OPDC面積的最大值為2＋. （2）．線段AB外有一點C，∠ABC＝60，AB＝200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運動開始________h后，兩車的距離最?。? 解析　如圖所示：設t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t. 因為AB＝200，所以BD＝200－80t， 問題就是求DE最小時t的值． 由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BDBEcos 60 ＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)50t＝12900t2－4xxt＋40000. ∴當t＝時，DE最小． （3）．如圖，某市擬在長為8 km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120. (1)求A，ω的值和M，P兩點間的距離； (2)應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？ 解 方法一　(1)依題意，有A＝2，＝3，又T＝，∴ω＝.∴y＝2sinx. 當x＝4時，y＝2sin＝3，∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝＝5 (2)如圖，連接MP，在△MNP中，∠MNP＝120，MP＝5. 設∠PMN＝θ，則0<θ<60. 由正弦定理得＝＝， ∴NP＝sin θ，MN＝sin(60－θ)， ∴NP＋MN＝sin θ＋sin(60－θ) ＝＝sin(θ＋60)． ∵0<θ<60，∴當θ＝30時，折線段賽道MNP最長． 即將∠PMN設計為30時，折線段賽道MNP最長． 1．解三角形的一般步驟 (1)分析題意，準確理解題意． 分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)根據題意畫出示意圖． (3)將需求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求解．演算過程中，要算法簡練，計算正確，并作答． (4)檢驗解出的答案是否具有實際意義，對解進行取舍． 2．應用舉例中常見幾種題型 測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等． 練習一 一、選擇題 1．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為 (　　) A. B. C. D. 2．如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后， 就可以計算出A、B兩點的距離為 (　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 3．△ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為 (　　) A. B. C. D．9 4．某人向正東方向走x km后，向右轉150，然后朝新方向走3 km，結果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為 (　　) A. B．2 C.或2 D．3 5．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是每小時 (　　) A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里 二、填空題 6．把一根長為30cm的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形的兩邊和，且，則第三條邊的最小值是____________cm． 7．一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東，這時船與燈塔的距離為 km．30 km 8．某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上．若國歌長度約為50秒，升旗手應以____0.6____米/秒的速度勻速升旗． 三、解答題 9.如圖，在△ABC中，已知∠B＝45， D是BC邊上的一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 求AB的長. 解　在△ADC中，AD＝10， AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－， ∴∠ADC＝120，∴∠ADB＝60. 在△ABD中，AD＝10，∠B＝45，∠ADB＝60， 由正弦定理得＝，∴AB＝＝ ＝＝5. 10.已知圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積 S=S△ABD+S△CDB=ABADsinA+BCCDsinC ∵A+C=180，∴sinA=sinC 故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA 由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2ABADcosA=20－16cosA 在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CBCDcosC=52－48cosC ∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA， ∴64cosA=－32，cosA=－， 又0＜A＜180，∴A=120故S=16sin120=8 11．如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75、30，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60，AC＝0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結果精確到0.01 km，≈1.414，≈2.449)． 解　在△ACD中，∠DAC＝30，∠ADC＝60－∠DAC＝30， 所以CD＝AC＝0.1又∠BCD＝180－60－60＝60， 所以△ABC≌△CBD，所以BA＝BD. 在△ABC中，＝，即AB＝＝， 所以BD＝≈0.33(km)．故B、D的距離約為0.33 km. 12．如圖所示，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1處，此時兩船相距20海里．當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2處，此時兩船相距10海里．問乙船每小時航行多少海里？ 解 如圖，連接A1B2，由題意知， A1B1＝20，A2B2＝10， A1A2＝30＝10(海里)．又∵∠B2A2A1＝180－120＝60， ∴△A1A2B2是等邊三角形，∠B1A1B2＝105－60＝45. 在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos 45 ＝202＋(10)2－22010＝200， ∴B1B2＝10(海里)． 因此乙船的速度大小為60＝30(海里/小時)． 練習二 一、選擇題 1.如果在測量中，某渠道斜坡的坡度為，設α為坡角，那么cos α等于 (　　) 　A. B. C. D. 2.有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為 (　　) A.1 B.2sin 10 C.2cos 10 D.cos 20 3.在△ABC中，已知∠A＝45，AB＝，BC＝2，則∠C等于 (　　) A.30 B.60 C.120 D.30或150 4.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東 方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原 地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距20海里的C處的乙船，現乙船朝北 偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則 cosθ等于 (　　) A. B. C. D. 二、填空題 5.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的 扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū) 里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿 OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用 了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_.50_______米. 6.如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10， AB＝14，∠BDA＝60，∠BCD＝135，則BC的 長為________.8 7.已知△ABC的一個內角為120，并且三邊長構成公差為4的等差數列，則△ABC的面積為________.15 8.在△ABC中，B＝60，AC＝，則AB＋2BC的最大值為____2____. 9.在△ABC中，D為邊BC上一點，BD＝DC，∠ADB＝120，AD＝2.若△ADC的面積為3－，則∠BAC＝____.60____. 三、解答題 10.如圖所示，海中小島A周圍38海里內有暗礁， 船向正南航行，在B處測得小島A在船的南 偏東30方向，航行30海里后，在C處測得 小島A在船的南偏東45方向，如果此船不改 變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險？ 解　在△ABC中，BC＝30，∠B＝30， ∠ACB＝180－45＝135，所以∠A＝15. 由正弦定理，得＝，即＝， 所以AC＝＝15(＋). 所以A到BC的距離為ACsin 45＝15(＋) ＝15(＋1)≈15(1.732＋1)＝40.98(海里). 這個距離大于38海里，所以繼續(xù)向南航行無觸礁的危險 11．在某海濱城市附近海面有一臺風，據監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O(如圖)的東偏南θ 方向300千米的海面P處，并以20千米/小時的速度向西偏北45方向移動．臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60千米，并以10千米/小時的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？ 解: 如圖,設在時刻 t (小時)臺風中心為Q, 此時臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑為 10t＋60(千米)． 若在時刻t城市O受到臺風的侵襲， 則OQ≤10t＋60. 由余弦定理知 OQ2＝PQ2＋PO2－2PQPOcos∠OPQ. ∵PO＝300，PQ＝20t， cos∠OPQ＝cos(θ－45)＝cosθcos45＋sinθsin45 ＝＋＝， 12．在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域，點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45且與點A相距40海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45＋θ(其中sinθ＝，0<θ<90)且與點A相距10海里的位置C. (1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時)； (2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷 它是否會進入警戒水域，并說明理由． 解：(1)如圖，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ 由于0<θ<90， 所以cosθ＝ ＝. 由余弦定理得BC＝＝10. 所以船的行駛速度為 ＝15(海里/小時)． (2)方法一如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設點B、C的坐標分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與x軸的交點為D. 由題設有， x1＝y(tǒng)1＝AB＝40， x2＝ACcos∠CAD ＝10cos(45－θ)＝30， y2＝ACsin∠CAD ＝10sin(45－θ)＝20， 又點E(0，－55)到直線l的距離d＝＝3<7， 所以船會進入警戒水域． 方法二易求點B坐標為(40,40)(方法同解法一)． 在△ABC中，由正弦定理得sinB＝sinθ＝， ∴cosB＝＝ ＝. 即tanB＝＝， ∴kBC＝tan(45＋B)＝＝2. ∴直線BC的方程為y－40＝2(x－40)，即2x－y－40＝0，以下同解法一．