2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 10.3二項式定理教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 10.3二項式定理教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.利用二項式定理求二項展開式的特定項或系數(shù)、二項式系數(shù)、系數(shù)和等;2.考查二項式定理的應(yīng)用. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.熟練掌握二項展開式的通項公式;2.注意二項式定理在解決有關(guān)組合數(shù)問題中的應(yīng)用;3.理解二項式系數(shù)的性質(zhì). 1. 二項式定理 (a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*). 這個公式所表示的定理叫做二項式定理,右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式,其中的系數(shù)C(k=0,1,2,…,n)叫做二項式系數(shù).式中的Can-kbk叫做二項展開式的通項,用Tk+1表示,即展開式的第k+1項;Tk+1=Can-kbk. 2. 二項展開式形式上的特點 (1)項數(shù)為n+1. (2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為n. (3)字母a按降冪排列,從第一項開始,次數(shù)由n逐項減1直到零;字母b按升冪排列,從第一項起,次數(shù)由零逐項增1直到n. (4)二項式的系數(shù)從C,C,一直到C,C. 3. 二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,即C=C. (2)增減性與最大值:二項式系數(shù)C,當(dāng)k<時,二項式系數(shù)是遞增的;當(dāng)k>時,二項式系數(shù)是遞減的. 當(dāng)n是偶數(shù)時,中間的一項Cn取得最大值. 當(dāng)n是奇數(shù)時,中間兩項Cn 和Cn 相等,且同時取得最大值. (3)各二項式系數(shù)的和 (a+b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n,即C+C+C+…+C+…+C=2n. 二項展開式中,偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1. [難點正本 疑點清源] 1. 二項式的項數(shù)與項 (1)二項式的展開式共有n+1項,Can-kbk是第k+1項.即k+1是項數(shù),Can-kbk是項. (2)通項是Tk+1=Can-kbk (k=0,1,2,…,n).其中含有Tk+1,a,b,n,k五個元素,只要知道其中四個即可求第五個元素. 2. 二項式系數(shù)與展開式項的系數(shù)的異同 在Tk+1=Can-kbk中,C就是該項的二項式系數(shù),它與a,b的值無關(guān);而Tk+1項的系數(shù)是指化簡后字母外的數(shù). 3. 二項式定理的應(yīng)用 (1)通項的應(yīng)用:利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數(shù)等. (2)展開式的應(yīng)用:利用展開式①可證明與二項式系數(shù)有關(guān)的等式;②可證明不等式;③可證明整除問題;④可做近似計算等. 1. (xx廣東)x7的展開式中,x4的系數(shù)是______.(用數(shù)字作答) 答案 84 解析 x7的展開式的通項是Tr+1=xCx7-rr=C(-2)rx8-2r.令8-2r=4,得r=2,故x4的系數(shù)是C4=84. 2. (xx陜西)(a+x)5展開式中x2的系數(shù)為10,則實數(shù)a的值為________. 答案 1 解析 (a+x)5的展開式的通項公式為Tr+1=Ca5-rxr. 當(dāng)r=2時,由題意知Ca3=10,∴a3=1,∴a=1. 3. (xx安徽)(x2+2)5的展開式的常數(shù)項是 ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案 D 解析 二項式5展開式的通項為: Tr+1=C5-r(-1)r=Cx2r-10(-1)r. 當(dāng)2r-10=-2,即r=4時,有x2Cx-2(-1)4=C(-1)4=5; 當(dāng)2r-10=0,即r=5時,有2Cx0(-1)5=-2. ∴展開式中的常數(shù)項為5-2=3,故選D. 4. 若n展開式中各項系數(shù)之和為32,則該展開式中含x3的項的系數(shù)為 ( ) A.-5 B.5 C.-405 D.405 答案 C 解析 根據(jù)已知,令x=1,得2n=32,即n=5. 二項展開式的通項公式是Tr+1=C(3x)5-rr=(-1)r35-rCx5-2r,令5-2r=3,r=1, 此時的系數(shù)是-345=-405. 5. 若n的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15,則展開式中所有項系數(shù)之和為( ) A. B. C.- D. 答案 B 解析 由題意知C==15,所以n=6,故n=6,令x=1得所有項系數(shù)之和為6=. 題型一 求二項展開式的指定項或指定項系數(shù) 例1 已知在n的展開式中,第6項為常數(shù)項. (1)求n; (2)求含x2的項的系數(shù); (3)求展開式中所有的有理項. 思維啟迪:先根據(jù)第6項為常數(shù)項利用通項公式求出n,然后再求指定項. 解 (1)通項公式為 Tk+1=Cxkx-=Ckx. 因為第6項為常數(shù)項, 所以k=5時,=0,即n=10. (2)令=2,得k=2, 故含x2的項的系數(shù)是C2=. (3)根據(jù)通項公式,由題意, 令=r (r∈Z),則10-2k=3r,k=5-r, ∵k∈N,∴r應(yīng)為偶數(shù). ∴r可取2,0,-2,即k可取2,5,8, ∴第3項,第6項與第9項為有理項, 它們分別為C2x2,C5,C8x-2. 探究提高 求二項展開式中的特定項,一般是利用通項公式進行,化簡通項公式后,令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時,指數(shù)為零;求有理項時,指數(shù)為整數(shù)等),解出項數(shù)k+1,代回通項公式即可. (1)(xx重慶)8的展開式中常數(shù)項為 ( ) A. B. C. D.105 (2)(xx上海)在6的二項展開式中,常數(shù)項等于________. 答案 (1)B (2)-160 解析 (1)Tr+1=C()8-rr=Cx4--=Cx4-r.令4-r=0,則r=4, ∴常數(shù)項為T5=C=70=. (2)方法一 利用計數(shù)原理及排列、組合知識求解. 常數(shù)項為Cx33=20x3=-160. 方法二 利用二項展開式的通項求解. Tr+1=Cx6-rr=(-2)rCx6-2r, 令6-2r=0,得r=3. 所以常數(shù)項為T4=(-2)3C=-160. 題型二 求最大系數(shù)或系數(shù)最大的項 例2 已知(+3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992. (1)求該展開式中的二項式系數(shù)最大的項; (2)求該展開式中的系數(shù)最大的項. 思維啟迪:可先根據(jù)條件列方程求n,然后根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)及系數(shù)的大小關(guān)系求二項式系數(shù)最大的項、系數(shù)最大的項. 解 令x=1,得各項的系數(shù)之和為(1+3)n=4n,而二項式系數(shù)之和為C+C+C+…+C=2n.根據(jù)題意,4n=2n+992,得2n=32或2n=-31(舍去),所以n=5. (1)二項式系數(shù)最大的項為第3項和第4項, T3=C()3(3x2)2=90x6, T4=C()2(3x2)3=270x. (2)設(shè)第r+1項系數(shù)最大,則 即解得≤r≤. 又r∈N,得r=4,所以系數(shù)最大的項為T5=405x. 探究提高 展開式的系數(shù)和與展開式的二項式系數(shù)和是不同的概念,二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項也是不同的概念,解題時要注意辨別.第(2)小題解不等式時可將組合數(shù)展開為階乘形式. 已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n (m,n∈N*)的展開式中x的系數(shù)為11. (1)求x2的系數(shù)取最小值時n的值; (2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時,求f(x)展開式中x的奇次冪項的系數(shù)之和. 解 (1)由已知C+2C=11,∴m+2n=11, x2的系數(shù)為C+22C=+2n(n-1) =+(11-m)=2+. ∵m∈N*, ∴m=5時,x2的系數(shù)取得最小值22,此時n=3. (2)由(1)知,當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時,m=5,n=3, ∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3. 設(shè)這時f(x)的展開式為 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5, 令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33, 令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 兩式相減得2(a1+a3+a5)=60, 故展開式中x的奇次冪項的系數(shù)之和為30. 題型三 二項式定理的應(yīng)用 例3 (1)已知2n+23n+5n-a能被25整除,求正整數(shù)a的最小值; (2)求1.028的近似值.(精確到小數(shù)點后三位) 思維啟迪:(1)將已知式子按二項式定理展開,注意轉(zhuǎn)化時和25的聯(lián)系;(2)近似值計算只要看展開式中的項的大小即可. 解 (1)原式=46n+5n-a=4(5+1)n+5n-a =4(C5n+C5n-1+…+C52+C5+C)+5n-a =4(C5n+C5n-1+…+C52)+25n+4-a, 顯然正整數(shù)a的最小值為4. (2)1.028=(1+0.02)8≈C+C0.02+C0.022+C0.023≈1.172. 探究提高 (1)整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常見的應(yīng)用問題,整除問題中要關(guān)注展開式的最后幾項,而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開式的前幾項. (2)二項式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項式定理,注意選擇合適的形式. 求證:(1)32n+2-8n-9能被64整除(n∈N*); (2)3n>(n+2)2n-1 (n∈N*,n>2). 證明 (1)∵32n+2-8n-9=3232n-8n-9 =99n-8n-9=9(8+1)n-8n-9 =9(C8n+C8n-1+…+C8+C1)-8n-9 =9(8n+C8n-1+…+C82)+98n+9-8n-9 =982(8n-2+C8n-3+…+C)+64n =64[9(8n-2+C8n-3+…+C)+n], 顯然括號內(nèi)是正整數(shù),∴原式能被64整除. (2)因為n∈N*,且n>2,所以3n=(2+1)n展開后至少有4項. (2+1)n=2n+C2n-1+…+C2+1≥2n+n2n-1+2n+1>2n+n2n-1=(n+2)2n-1, 故3n>(n+2)2n-1 (n∈N*,n>2). 混淆二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)致誤 典例:(12分)已知(+x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x-1)n的展開式的二項式系數(shù)和大992.求在2n的展開式中, (1)二項式系數(shù)最大的項; (2)系數(shù)的絕對值最大的項. 易錯分析 本題易將二項式系數(shù)和系數(shù)混淆,利用賦值來求二項式系數(shù)的和導(dǎo)致錯誤;另外,也要注意項與項的系數(shù),系數(shù)的絕對值與系數(shù)的區(qū)別. 規(guī)范解答 解 由題意知,22n-2n=992, 即(2n-32)(2n+31)=0,∴2n=32,解得n=5.[2分] (1)由二項式系數(shù)的性質(zhì)知, 10的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大, 即C=252.∴二項式系數(shù)最大的項為 T6=C(2x)55=-8 064.[6分] (2)設(shè)第r+1項的系數(shù)的絕對值最大, ∴Tr+1=C(2x)10-rr =(-1)rC210-rx10-2r, ∴, 得,即, 解得≤r≤,[10分] ∵r∈Z,∴r=3.故系數(shù)的絕對值最大的項是第4項, T4=-C27x4=-15 360x4.[12分] 溫馨提醒 (1)本題重點考查了二項式的通項公式,二項式系數(shù)、項的系數(shù)以及項數(shù)和項的有關(guān)概念. (2)解題時要注意區(qū)別二項式系數(shù)和項的系數(shù)的不同;項數(shù)和項的不同. (3)本題的易錯點是混淆項與項數(shù),二項式系數(shù)和項的系數(shù)的區(qū)別. 方法與技巧 1. 二項展開式的通項Tk+1=Can-kbk是展開式的第k+1項,這是解決二項式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ). 2. 求指定項或指定項的系數(shù)要根據(jù)通項公式討論對k的限制. 3. 性質(zhì)1是組合數(shù)公式C=C的再現(xiàn),性質(zhì)2是從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的單調(diào)性,性質(zhì)3是利用賦值法得出的二項展開式中所有二項式系數(shù)的和. 4. 因為二項式定理中的字母可取任意數(shù)或式,所以在解題時根據(jù)題意,給字母賦值,是求解二項展開式各項系數(shù)和的一種重要方法. 5. 二項式定理的應(yīng)用主要是對二項展開式正用、逆用,要充分利用二項展開式的特點和式子間的聯(lián)系. 失誤與防范 1. 要把“二項式系數(shù)的和”與“各項系數(shù)和”,“奇(偶)數(shù)項系數(shù)和與奇(偶)次項系數(shù)和”嚴(yán)格地區(qū)別開來. 2. 求通項公式時常用到根式與冪指數(shù)的互化,易出錯. A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. (xx天津)在5的二項展開式中,x的系數(shù)為 ( ) A.10 B.-10 C.40 D.-40 答案 D 解析 因為Tr+1=C(2x2)5-rr =C25-rx10-2r(-1)rx-r=C25-r(-1)rx10-3r, 所以10-3r=1,所以r=3, 所以x的系數(shù)為C25-3(-1)3=-40. 2. (xx重慶)(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等,則n等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B 解析 (1+3x)n的展開式中含x5的項為C(3x)5=C35x5,展開式中含x6的項為C36x6,由兩項的系數(shù)相等得C35=C36,解得n=7. 3. 在n的展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項是 ( ) A.-7 B.7 C.-28 D.28 答案 B 解析 只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式共9項,即n=8, Tk+1=C8-kk=C(-1)k8-kx8-k,當(dāng)k=6時為常數(shù)項,T7=7. 4. (xx陜西)(4x-2-x)6(x∈R)展開式中的常數(shù)項是 ( ) A.-20 B.-15 C.15 D.20 答案 C 解析 設(shè)展開式的常數(shù)項是第r+1項,則Tr+1=C(4x)6-r(-2-x)r=C(-1)r212x-2rx2-rx=C(-1)r212x-3rx,∴12x-3rx=0恒成立.∴r=4, ∴T5=C(-1)4=15. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. (xx浙江)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5為實數(shù),則a3=________. 答案 10 解析 將f(x)=x5進行轉(zhuǎn)化,利用二項式定理求解. f(x)=x5=(1+x-1)5, 它的通項為Tr+1=C(1+x)5-r(-1)r, T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,∴a3=10. 6. (xx大綱全國)(1-)20的二項展開式中,x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為________. 答案 0 解析 ∵Tr+1=C(-x)r=(-1)rCx, ∴x與x9的系數(shù)分別為C與C. 又∵C=C,∴C-C=0. 7. (xx大綱全國)若n的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等,則該展開式中的系數(shù)為________. 答案 56 解析 利用二項展開式的通項公式求解. 由題意知,C=C,∴n=8. ∴Tr+1=Cx8-rr=Cx8-2r, 當(dāng)8-2r=-2時,r=5, ∴的系數(shù)為C=C=56. 三、解答題(共22分) 8. (10分)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解 令x=1,則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.① 令x=-1,則a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② (1)∵a0=C=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)(①-②)2, 得a1+a3+a5+a7==-1 094. (3)(①+②)2, 得a0+a2+a4+a6==1 093. (4)方法一 ∵(1-2x)7展開式中,a0、a2、a4、a6大于零,而a1、a3、a5、a7小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187. 方法二 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|, 即(1+2x)7展開式中各項的系數(shù)和,令x=1, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2 187. 9. (12分)已知n, (1)若展開式中第5項,第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù); (2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項. 解 (1)∵C+C=2C,∴n2-21n+98=0. ∴n=7或n=14, 當(dāng)n=7時,展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5. ∴T4的系數(shù)為C423=, T5的系數(shù)為C324=70, 當(dāng)n=14時,展開式中二項式系數(shù)最大的項是T8. ∴T8的系數(shù)為C727=3 432. (2)∵C+C+C=79,∴n2+n-156=0. ∴n=12或n=-13(舍去).設(shè)Tk+1項的系數(shù)最大, ∵12=12(1+4x)12, ∴ ∴9.4≤k≤10.4,∴k=10. ∴展開式中系數(shù)最大的項為T11, T11=C2210x10=16 896x10. B組 專項能力提升 (時間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. (xx天津)在6的二項展開式中,x2的系數(shù)為 ( ) A.- B. C.- D. 答案 C 解析 該二項展開式的通項為Tr+1=C6-rr=(-1)rCx3-r.令3-r=2,得r=1. ∴T2=-6x2=-x2,∴應(yīng)選C. 2. (xx湖北)設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,則a的值為 ( ) A.0 B.1 C.11 D.12 答案 D 解析 化51為52-1,用二項式定理展開. 512 012+a=(52-1)2 012+a=C522 012-C522 011+…+C52(-1)2 011+C(-1)2 012+a. 因為52能被13整除, 所以只需C(-1)2 012+a能被13整除, 即a+1能被13整除,因為0≤a<13,所以a=12. 3. (xx課標(biāo)全國)(x+)(2x-)5的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為 ( ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 答案 D 解析 令x=1得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以a=1. 因此(x+)(2x-)5展開式中的常數(shù)項即為(2x-)5展開式中的系數(shù)與x的系數(shù)的和.(2x-)5展開式的通項為Tr+1=C(2x)5-r(-1)rx-r=C25-rx5-2r(-1)r. 令5-2r=1,得2r=4,即r=2,因此(2x-)5展開式中x的系數(shù)為C25-2(-1)2=80.令5-2r=-1,得2r=6,即r=3,因此(2x-)5展開式中的系數(shù)為C25-3(-1)3=-40. 所以(x+)(2x-)5展開式中的常數(shù)項為80-40=40. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展開式中,含x3的項的系數(shù)是________. 答案?。?21 解析 展開式中含x3項的系數(shù)為C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3=-121. 5. 已知(1+x+x2)n的展開式中沒有常數(shù)項,n∈N*,且2≤n≤8,則n=________. 答案 5 解析 n展開式中的通項為 Tr+1=Cxn-rr=Cxn-4r (r=0,1,2,…,n), 將n=2,3,4,5,6,7,8逐個檢驗可知n=5. 6. 1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C除以88的余數(shù)是________. 答案 1 解析 原式=(1-90)10=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,因為前10項均能被88整除,故余數(shù)為1. 三、解答題 7. (13分)已知等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,其中ai(i=0,1,2,…,10)為實常數(shù). 求:(1)an的值;(2)nan的值. 解 (1)∵(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10, ∴令x=0,則a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32; 令 x=-1,則a0=1,即an=31. (2)∵(x2+2x+2)5=[1+(x+1)2]5 =C15+C(x+1)2+C(x+1)4+C(x+1)6+C(x+1)8+C(x+1)10 =a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10, ∴a0=C,a1=a3=a5=a7=a9=0,a2=C,a4=C, a6=C,a8=C,a10=C. ∴nan=a1+2a2+3a3+…+10a10 =2C+4C+6C+8C+10C =10C+10C+10C =50+100+10=160.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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