2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 6.2等差數(shù)列及其前n項和教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 6.2等差數(shù)列及其前n項和教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.在解答題中對所求結論的運算進行等差數(shù)列的判斷與證明;2.運用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問題;3.考查等差數(shù)列的性質及綜合應用. 復習備考要這樣做 1.準確理解概念,掌握等差數(shù)列的有關公式和性質;2.注意不同性質的適用條件和注意事項. 1. 等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母__d__表示. 2. 等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,那么它的通項公式是an=a1+(n-1)d. 3. 等差中項 如果A=,那么A叫做a與b的等差中項. 4. 等差數(shù)列的常用性質 (1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d,(n,m∈N*). (2)若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an. (3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為2d. (4)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列. (5)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列. 5. 等差數(shù)列的前n項和公式 設等差數(shù)列{an}的公差為d,其前n項和Sn=或Sn=na1+d. 6. 等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系 Sn=n2+n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn,(A、B為常數(shù)). 7. 等差數(shù)列的最值 在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最__大__值;若a1<0,d>0,則Sn存在最__小__值. [難點正本 疑點清源] 1. 等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法:an-an-1=d (n≥2); (2)等差中項法:2an+1=an+an+2. 2. 等差數(shù)列與等差數(shù)列各項和的有關性質 (1)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差數(shù)列,公差為kd. (2)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數(shù)列. (3)S2n-1=(2n-1)an. 3. 等差數(shù)列與函數(shù) 在d≠0時,an是關于n的一次函數(shù),一次項系數(shù)為d;Sn是關于n的二次函數(shù),二次項系數(shù)為,且常數(shù)項為0. 1. (xx江西)設數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5=____. 答案 35 解析 兩個等差數(shù)列的和數(shù)列仍為等差數(shù)列. 設兩等差數(shù)列組成的和數(shù)列為{cn},由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且c1=7,c3=21,則c5=2c3-c1=221-7=35. 2. 已知兩個數(shù)列x,a1,a2,a3,y與x,b1,b2,y都是等差數(shù)列,且x≠y,則的值為________. 答案 解析 ∵a2-a1=(y-x),b2-b1=(y-x), ∴=. 3. 已知等差數(shù)列{an}中,a3+a8=22,a6=7,則a5=________. 答案 15 解析 ∵{an}為等差數(shù)列,∴a3+a8=a5+a6=22, ∴a5=22-a6=22-7=15. 4. (xx江西)設{an}為等差數(shù)列,公差d=-2,Sn為其前n項和,若S10=S11,則a1等于( ) A.18 B.20 C.22 D.24 答案 B 解析 因為S10=S11,所以a11=0. 又因為a11=a1+10d,所以a1=20. 5. (xx遼寧)在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11等于( ) A.58 B.88 C.143 D.176 答案 B 解析 S11===88. 題型一 等差數(shù)列基本量的計算 例1 (xx福建)在等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk=-35,求k的值. 思維啟迪:等差數(shù)列基本量的計算,基本思想就是根據(jù)條件列方程,求等差數(shù)列的首項與公差. 解 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d. 由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2. 從而an=1+(n-1)(-2)=3-2n. (2)由(1)可知an=3-2n, 所以Sn==2n-n2. 由Sk=-35,可得2k-k2=-35, 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k∈N*,故k=7. 探究提高 (1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題. (2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用,而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量,用它們表示已知和未知是常用方法. 設a1,d為實數(shù),首項為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足S5S6+15=0. (1)若S5=5,求S6及a1; (2)求d的取值范圍. 解 (1)由題意知S6==-3,a6=S6-S5=-8. 所以 解得a1=7,所以S6=-3,a1=7. (2)方法一 ∵S5S6+15=0, ∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2a+9da1+10d2+1=0. 因為關于a1的一元二次方程有解,所以 Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0, 解得d≤-2或d≥2. 方法二 ∵S5S6+15=0, ∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2a+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8. 故d的取值范圍為d≤-2或d≥2. 題型二 等差數(shù)列的前n項和及綜合應用 例2 (1)在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值; (2)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=4n-25,求數(shù)列{|an|}的前n項和. 思維啟迪:(1)由a1=20及S10=S15可求得d,進而求得通項,由通項得到此數(shù)列前多少項為正,或利用Sn是關于n的二次函數(shù),利用二次函數(shù)求最值的方法求解.(2)利用等差數(shù)列的性質,判斷出數(shù)列從第幾項開始變號. 解 (1)方法一 ∵a1=20,S10=S15, ∴1020+d=1520+d,∴d=-. ∴an=20+(n-1)=-n+. ∴a13=0,即當n≤12時,an>0,n≥14時,an<0, ∴當n=12或13時,Sn取得最大值,且最大值為S13=S12=1220+=130. 方法二 同方法一求得d=-. ∴Sn=20n+=-n2+n =-2+. ∵n∈N*,∴當n=12或13時,Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130. 方法三 同方法一求得d=-. 又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即a13=0. ∴當n=12或13時,Sn有最大值. 且最大值為S12=S13=130. (2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25, ∴an+1-an=4=d,又a1=41-25=-21. 所以數(shù)列{an}是以-21為首項,以4為公差的遞增的等差數(shù)列. 令 由①得n<6;由②得n≥5,所以n=6. 即數(shù)列{|an|}的前6項是以21為首項,公差為-4的等差數(shù)列,從第7項起以后各項構成公差為4的等差數(shù)列, 而|a7|=a7=47-25=3. 設{|an|}的前n項和為Tn,則 Tn= = 探究提高 求等差數(shù)列前n項和的最值,常用的方法:①利用等差數(shù)列的單調性,求出其正負轉折項;②利用性質求出其正負轉折項,便可求得和的最值;③將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質求最值. (xx湖北)已知等差數(shù)列{an}前三項的和為-3,前三項的積為8. (1)求等差數(shù)列{an}的通項公式; (2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項和. 解 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d, 則a2=a1+d,a3=a1+2d. 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7. 故an=-3n+5或an=3n-7. (2)當an=-3n+5時,a2,a3,a1分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列; 當an=3n-7時,a2,a3,a1分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列,滿足條件. 故|an|=|3n-7|= 記數(shù)列{|an|}的前n項和為Sn. 當n=1時,S1=|a1|=4;當n=2時,S2=|a1|+|a2|=5; 當n≥3時,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an| =5+(33-7)+(34-7)+…+(3n-7) =5+=n2-n+10. 當n=2時,滿足此式. 綜上,Sn= 題型三 等差數(shù)列性質的應用 例3 設等差數(shù)列的前n項和為Sn,已知前6項和為36,Sn=324,最后6項的和為180 (n>6),求數(shù)列的項數(shù)n. 思維啟迪:在等差數(shù)列中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq,在涉及數(shù)列前n項和及某些項和的問題中常用到此性質. 解 由題意可知a1+a2+…+a6=36① an+an-1+an-2+…+an-5=180② ①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5) =6(a1+an)=216. ∴a1+an=36.又Sn==324, ∴18n=324.∴n=18. 探究提高 本題的解題關鍵是將等差數(shù)列性質m+n=p+q?am+an=ap+aq與前n項和公式Sn=結合在一起,采用整體思想,簡化解題過程. (1)設數(shù)列{an}的首項a1=-7,且滿足an+1=an+2 (n∈N+),則a1+a2+…+a17=________. (2)等差數(shù)列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列前20項和等于________. 答案 (1)153 (2)180 解析 (1)∵an+1-an=2, ∴{an}為等差數(shù)列.∴an=-7+(n-1)2, ∴a17=-7+162=25, S17===153. (2)由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+78?(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54?a1+a20=18?S20=20=20=180. 整體思想在等差數(shù)列解題中的應用 典例:(12分)設等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=m,前m項和Sm=n (m≠n),求它的前m+n項的和Sm+n. 審題視角 (1)Sm+n=a1(m+n)+d=(m+n),這樣只要求出a1+d即可.(2)由Sn,Sm可以構造出a1+d,并求出. 規(guī)范解答 解 方法一 設{an}的公差為d,則由Sn=m,Sm=n, 得[4分] ②-①得(m-n)a1+d=n-m, ∵m≠n,∴a1+d=-1.[8分] ∴Sm+n=(m+n)a1+d =(m+n)=-(m+n).[12分] 方法二 設Sn=An2+Bn (n∈N*), 則[4分] ③-④得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m.[6分] ∵m≠n,∴A(m+n)+B=-1, ∴A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n), ∴Sm+n=-(m+n).[12分] 溫馨提醒 (1)本題的兩種解法都突出了整體思想,其中方法一把a1+d看成了一個整體,方法二把A(m+n)+B看成了一個整體,解起來都很方便. (2)整體思想是一種重要的解題方法和技巧.這就要求學生要掌握公式,理解其結構特征. (3)本題的易錯點是,不能正確運用整體思想的運算方法,不能建立數(shù)量間的關系,導致錯誤. 方法與技巧 1. 等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法:an+1-an=d (d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (2)等差中項法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項和公式:Sn=An2+Bn (A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. 2. 方程思想和化歸思想:在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量,通過建立方程(組)獲得解. 失誤與防范 1.如果p+q=r+s,則ap+aq=ar+as,一般地,ap+aq≠ap+q,必須是兩項相加,當然也可以是ap-t+ap+t=2ap. 2.當公差d≠0時,等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù),當公差d=0時,an為常數(shù). 3.公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù),且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù),則該數(shù)列不是等差數(shù)列,它從第二項起成等差數(shù)列. A組 專項基礎訓練 (時間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. (xx福建)等差數(shù)列{an}中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 方法一 設等差數(shù)列{an}的公差為d, 由題意得 解得∴d=2. 方法二 ∵在等差數(shù)列{an}中,a1+a5=2a3=10,∴a3=5. 又a4=7,∴公差d=7-5=2. 2. 數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a10=33,a2=1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S20-2S10等于( ) A.40 B.200 C.400 D.20 答案 C 解析 S20-2S10=-2 =10(a20-a10)=100d,又a10=a2+8d, ∴33=1+8d,∴d=4,∴S20-2S10=400. 3. 已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則有 ( ) A.a(chǎn)1+a101>0 B.a(chǎn)2+a100<0 C.a(chǎn)3+a99=0 D.a(chǎn)51=51 答案 C 解析 由題意,得a1+a2+a3+…+a101=101=0.所以a1+a101=a2+a100=a3+a99=0. 4. (xx大綱全國)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k等于 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 答案 D 解析 ∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=21+(2k+1)2=4k+4=24,∴k=5. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 在等差數(shù)列{an}中,a3=7,a5=a2+6,則a6=________. 答案 13 解析 設等差數(shù)列{an}的公差為d, 則由已知,得解得 所以a6=a1+5d=13. 6. (xx遼寧)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S2=S6,a4=1,則a5=________. 答案?。? 解析 由題意知 解得 ∴a5=a4+d=1+(-2)=-1. 7. 在數(shù)列{an}中,若a1=1,an+1=an+2 (n≥1),則該數(shù)列的通項an=________. 答案 2n-1 解析 ∵an+1-an=2(n≥1),∴{an}為等差數(shù)列, ∴an=1+(n-1)2,即an=2n-1. 三、解答題(共22分) 8. (10分)已知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù),且a3a7=-12,a4+a6=-4,求它的通項公式. 解 設等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a3+a7=a4+a6=-4,a3a7=-12, 所以a3,a7是方程x2+4x-12=0的兩根. 因為d>0,所以a3- 配套講稿:
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