2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 9直線與橢圓的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 9直線與橢圓的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修2-1 1．已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿(mǎn)足＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是(　　) A. (0,1)　　B. C. D. 解析：依題意得，c＜b，即c2＜b2，c2＜a2－c2,2c2＜a2，故離心率e＝＜， 又0＜e＜1，∴0＜＜. 答案：C 2．若直線y＝kx＋2與橢圓＋＝1相切，則斜率k的值是(　　) A. B．－ C． D． 解析：把y＝kx＋2代入＋＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因?yàn)橹本€與橢圓相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)6＝0，解得k＝. 答案：C 3．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若＝2，則橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知， F(－c,0)，A(a,0)，B. ∵BF⊥x軸，∴＝. 又∵＝2，∴＝2即e＝＝. 答案：D 4．過(guò)橢圓x2＋2y2＝4的左焦點(diǎn)F作傾斜角為的弦AB，則弦AB的長(zhǎng)為(　　) A. B. C. D. 解析：橢圓可化為＋＝1，∴F(－，0)， 又∵直線AB的斜率為， ∴直線AB為y＝x＋ 由得7x2＋12x＋8＝0 ∴|AB|＝＝. 答案：B 5．過(guò)橢圓C：＋＝1的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則＋等于(　　) A. B. C. D. 解析：由已知得直線l：y＝(x＋1)． 聯(lián)立， 可得A(0，)，B， 又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝， ∴＋＝. 答案：A 6．橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為，則的值是(　　) A. B. C. D. 解析：由消去y得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2) 則x1＋x2＝，y1＋y2＝ ∴MN的中點(diǎn)為P 由題意知，kOP＝∴＝. 答案：A 7．已知點(diǎn)M(，0)，直線y＝k(x＋)與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則△ABM的周長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：由題意，橢圓＋y2＝1中a＝1，b＝1，c＝， ∴點(diǎn)M(，0)為橢圓＋y2＝1的右焦點(diǎn)， 直線y＝k(x＋)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)， ∴由橢圓的定義，可得△ABM的周長(zhǎng)為4a＝42＝8.故答案為8. 答案：8 8．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：由題意可設(shè)橢圓方程＋＝1， 聯(lián)立直線與橢圓方程，由Δ＝0得a＝. 答案：2 9．若直線y＝2x＋b與橢圓＋y2＝1無(wú)公共點(diǎn)，則b的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：由得＋(2x＋b)2＝1. 整理得17x2＋16bx＋4b2－4＝0. Δ＝(16b)2－417(4b2－4)＜0， 解得b＞或b＜－. 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 10．過(guò)橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積． 解：橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)， ∴l(xiāng)AB：y＝2x－2. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得3x2－5x＝0， ∴x＝0或x＝， ∴A(0，－2)，B， ∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝1＝. B組　能力提升 11．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5)的橢圓被直線3x－y－2＝0截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為_(kāi)_______． 解析：橢圓焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)方程為＋＝1(a＞b＞0) 設(shè)直線3x－y－2＝0交橢圓于A(x1，y1)， B(x2，y2)兩點(diǎn)，則x1＋x2＝1，y1＋y2＝3(x1＋x2)－4＝－1，且 ①－②得＋＝0， ＝－， ∴－＝－， ＝＝＝＝3. ∴a2＝75，b2＝25. ∴橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 12．若直線y＝kx＋1與曲線x＝有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是________． 解析：由x＝，得x2＋4y2＝1(x≥0)， 又∵直線y＝kx＋1過(guò)定點(diǎn)(0,1)， 故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)(0,1)的直線與橢圓在y軸右側(cè)的部分有兩個(gè)公共點(diǎn)， 當(dāng)直線與橢圓(右側(cè)部分)相切時(shí)， k＝－，則相交時(shí)k＜－. 答案：(－∞，－) 13．已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率． (1)求橢圓C2的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，＝2，求直線AB的方程． 解析： (1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為＋＝1(a＞2)． 其離心率為，故＝，則a＝4， 故橢圓C2的方程為＋＝1. (2)法一：A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)， 由＝2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上， 因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中， 得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝， 將y＝kx代入＋＝1中， 得(4＋k2)x2＝16，所以x＝， 又由＝2得x＝4x， 即＝， 解得k＝1，故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 法二：A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)， 由＝2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上， 因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中， 得(1＋4k2)x2＝4， 所以x＝，由＝2 得x＝，y＝， 將x，y代入＋＝1中， 得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝1. 故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 14．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N. (1)求橢圓C的方程． (2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值． 解析： (1)由題意得解得b＝. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|MN|＝＝＝. 又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝， 所以△AMN的面積為 S＝|MN|d＝. 由＝，解得k＝1. 15．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)P在橢圓上． (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)Q在橢圓上且滿(mǎn)足|AQ|＝|AO|，求直線OQ的斜率的值． 解析： (1)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故＋＝1，可得＝. 于是e2＝＝1－＝，所以橢圓的離心率e＝. (2)設(shè)直線OQ的斜率為k，則其方程為y＝kx. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)． 由條件得消去y0并整理得x＝.?、? 由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0得，(x0＋a)2＋k2x＝a2， 整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0. 而x0≠0，故x0＝. 代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2＋4. 由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4， 即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5. ∴k＝，所以直線OQ的斜率為.