2019-2020年高中數(shù)學 圓錐曲線橢圓教案 蘇教版選修1-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 圓錐曲線橢圓教案 蘇教版選修1-1 【學習目標】 1. 掌握橢圓的標準方程,會求橢圓的標準方程; 2. 掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì),能運用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題; 3. 了解運用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法。 B級要求 【自學評價】 1.橢圓的定義與方程 橢圓定義: 2.橢圓的標準方程:①焦點在x軸上的方程:, ②焦點在y軸上的方程: 3.橢圓的簡單幾何性質(zhì): 方程 圖像 焦點 范圍 對稱性 頂點 長短軸 準線 離心率 4.平面內(nèi)有兩定點A、B及動點P,設(shè)命題甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命題乙是:“點P的軌跡是以A.B為焦點的橢圓”,那么甲是乙成立的 (填“充分不必要條件,必要不充分條件,充要條件,非充分非必要條件”之一)。 5.已知橢圓過點(3,0),,則橢圓的標準方程為 。 6.橢圓的長軸長為4,橢圓中心到其準線的距離為,則橢圓的標準方程為 。 7.如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓,那么實數(shù)k的取值范圍是 。 【真題解析】(xx江蘇卷) 在平面直角坐標系中,橢圓的焦距為2c,以O(shè)為圓心,為半徑作圓,若過作圓的兩條切線相互垂直,則橢圓的離心率為 ▲ 本題主要考查過圓外一點圓的切線知識、橢圓的離心率,考查運算求解能力、數(shù)形結(jié)合能力。 【精題演練】 例1. 求下列橢圓的標準方程 (1)已知橢圓的焦點在坐標軸上,長軸長是短軸長的3倍,且經(jīng)過。 (2)與橢圓有相同焦點,且過點。 (3)橢圓的離心率,過點和的直線與原點的距離為。 [說明]根據(jù)已知條件求橢圓方程時,有以下步驟:(1)定位,有條件確定中心,焦點所在坐標軸(即長軸所在坐標軸),從而確定所求方程為橢圓的標準方程,如無法確定焦點所在的坐標軸,要分焦點在軸上和焦點在軸上兩種情況討論;(2)當根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程后,要設(shè)法建立基本量, ,,的方程組,然后求出基本量。 例2.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點,且|PF1|>|PF2|,求的值。 [說明]1.橢圓內(nèi)的直角三角形要注意討論直角的情況,靈活運用三角形的特殊關(guān)系。 2.有關(guān)橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。 例 3. 已知F1,F2為橢圓的兩個焦點, 橢圓上存在一點P,使得PF1PF2,求離心率的范圍。 點撥: |PF1|,|PF2|為橢圓的焦半徑公式, 如能恰當?shù)倪\用,常能簡捷地使問題獲解。 例 4. 在平面直角坐標系中,已知圓心在直線上,半徑為的圓C經(jīng)過坐標原點O,橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10。 (1)求圓C的方程; (2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足,求點P的坐標。 [說明] 1.橢圓與圓的幾何性質(zhì)的綜合是解析幾何考查的新動向。 2.有關(guān)橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。 例5. 已知橢圓的左焦點為F,左、右頂點分別為A、C,上頂點為B.過F、B、C作⊙P,其中圓心P的坐標為(m,n). (1)當m+n>0時,求橢圓離心率的范圍; (2)直線AB與⊙P能否相切?證明你的結(jié)論. [說明] 1.此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識,要求學生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點,從而大膽求出交點坐標,構(gòu)造關(guān)于橢圓中的齊次等式得離心率的范圍. 2.第二小題亦可以用平幾的知識:圓的切割線定理,假設(shè)直線AB與⊙P相切,則有AB2=AFAC,易由橢圓中的關(guān)系推出矛盾. 【要點整合】 1. 待定系數(shù)法求橢圓的標準方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲,不能遺忘定位—確定焦點所在坐標軸。 2.通過數(shù)形結(jié)合牢固地掌握橢圓的幾何性質(zhì),深刻理解橢圓中幾何量、、、、等之間的關(guān)系并應用于解題。 3.直線與橢圓相交問題的基本解法是利用直線方程和橢圓方程聯(lián)立消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于(或)的一元二次方程,設(shè)出交點坐標,借助根與系數(shù)的關(guān)系進行整體化簡;對于中點弦及對稱問題運用“點差法”可減少運算量。 4.橢圓的兩個定義從不同的角度反映了橢圓的特征。一般地,遇到動點到兩頂點的距離問題,應聯(lián)想橢圓第一定義;遇到一個動點到一定直線距離問題,應聯(lián)想橢圓第二定義。 5.友情提醒: (1)運用橢圓定義時注意橢圓第一定義的限制條件(兩定點間的距離小于定長)。 (2)橢圓的標準方程有兩種情形,要防止遺漏。 (3)討論直線與橢圓相交時,要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用,通過圖形的直觀性的幫助解題,最后要檢驗橢圓是否與直線相交。 橢圓 【學習目標】 1. 掌握橢圓的標準方程,會求橢圓的標準方程; 2. 掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì),能運用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題; 3. 了解運用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法。 B級要求 【自學評價】 1.橢圓的定義與方程 橢圓定義:平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于定長2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡。 平面內(nèi)到定點F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e(e∈(0,1))的點的軌跡。 2.橢圓的標準方程:①焦點在x軸上的方程:, ②焦點在y軸上的方程:(a>b>0)。 3.橢圓的簡單幾何性質(zhì): 方程 圖像 焦點 范圍 對稱性 橢圓關(guān)于y軸、x軸和原點都對稱 頂點 長短軸 長軸: A1A2 長軸長 短軸:B1B2短軸長 準線 離心率 4.平面內(nèi)有兩定點A、B及動點P,設(shè)命題甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命題乙是:“點P的軌跡是以A.B為焦點的橢圓”,那么甲是乙成立的必要不充分條件(填“充分不必要條件,必要不充分條件,充要條件,非充分非必要條件”之一)。 5.已知橢圓過點(3,0),,則橢圓的標準方程為 或 。 6.橢圓的長軸長為4,橢圓中心到其準線的距離為,則橢圓的標準方程為或。 7.如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓,那么實數(shù)k的取值范圍是0<k<1。 【真題解析】(xx江蘇卷) 在平面直角坐標系中,橢圓的焦距為2c,以O(shè)為圓心,為半徑作圓,若過作圓的兩條切線相互垂直,則橢圓的離心率為 ▲ 本題主要考查過圓外一點圓的切線知識、橢圓的離心率,考查運算求解能力、數(shù)形結(jié)合能力。 【解】設(shè)切線PA、PB 互相垂直,又半徑OA 垂直于PA,所以△OAP 是等腰直角三角形,故,解得。 答案: 【精題演練】 1. 求下列橢圓的標準方程 (1)已知橢圓的焦點在坐標軸上,長軸長是短軸長的3倍,且經(jīng)過。 (2)與橢圓有相同焦點,且過點。 (3)橢圓的離心率,過點和的直線與原點的距離為。 解:(1)當焦點在軸上時,設(shè)橢圓的標準方程為(),又M(3,2)在橢圓上,由題意,得 , 橢圓的標準方程為 當焦點在軸上時,設(shè)橢圓的標準方程為(),又M(3,2)在橢圓上,由題意,得 , 橢圓的標準方程為 綜上述橢圓的標準方程為或。 (2)橢圓的焦點為 , 設(shè)所求橢圓的標準方程為(),由題意,得 , 橢圓的標準方程為 (3)由題意,設(shè)AB的直線方程為,根據(jù)題意,得 橢圓的標準方程為 [說明]根據(jù)已知條件求橢圓方程時,有以下步驟:(1)定位,有條件確定中心,焦點所在坐標軸(即長軸所在坐標軸),從而確定所求方程為橢圓的標準方程,如無法確定焦點所在的坐標軸,要分焦點在軸上和焦點在軸上兩種情況討論;(2)當根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程后,要設(shè)法建立基本量, ,,的方程組,然后求出基本量。 2.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點,且|PF1|>|PF2|,求的值。 解:[法一]:當∠PF2F1900時,由題意,得 ,又|PF1|>|PF2| , 當∠F1PF2900時,同理求得|PF1|4,|PF2|2 [法二]:當∠PF2F1900時, F2坐標為(,0), , P() |PF2|, |PF1|2-|PF2| 當∠F1PF2900,設(shè)P(),由題意,得 P(),又|PF1|>|PF2| P(),4,2 [說明]1.橢圓內(nèi)的直角三角形要注意討論直角的情況,靈活運用三角形的特殊關(guān)系。 2.有關(guān)橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。 3. 已知F1,F2為橢圓的兩個焦點, 橢圓上存在一點P,使得PF1PF2,求離心率的范圍。 解:設(shè)P(),則F1(-,0),F(xiàn)2(,0) , 又PF1PF2 -1 , ,又 點撥: |PF1|,|PF2|為橢圓的焦半徑公式, 如能恰當?shù)倪\用,常能簡捷地使問題獲解。 4. 在平面直角坐標系中,已知圓心在直線上,半徑為的圓C經(jīng)過坐標原點O,橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10。 (1)求圓C的方程; (2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足,求點P的坐標。 解:(1)由已知可設(shè)圓心坐標為,得,所以圓心坐標為,所以圓的方程為 (2)設(shè),由已知得,則, 解之得: [說明] 1.橢圓與圓的幾何性質(zhì)的綜合是解析幾何考查的新動向。 2.有關(guān)橢圓焦點的問題要注意利用橢圓的定義。 5. 已知橢圓的左焦點為F,左、右頂點分別為A、C,上頂點為B.過F、B、C作⊙P,其中圓心P的坐標為(m,n). (1)當m+n>0時,求橢圓離心率的范圍; (2)直線AB與⊙P能否相切?證明你的結(jié)論. 解:(1)設(shè)F、B、C的坐標分別為(-c,0),(0,b),(1,0),則FC、BC的中垂線分別為,.聯(lián)立方程組,解出,即,即(1+b)(b-c)>0,∴ b>c. 從而即有,∴.又,∴. (2)直線AB與⊙P不能相切. 由,=.如果直線AB與⊙P相切,則=-1.解出c=0或2,與0<c<1矛盾,所以直線AB與⊙P不能相切. [說明] 1.此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識,要求學生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點,從而大膽求出交點坐標,構(gòu)造關(guān)于橢圓中的齊次等式得離心率的范圍. 2.第二小題亦可以用平幾的知識:圓的切割線定理,假設(shè)直線AB與⊙P相切,則有AB2=AFAC,易由橢圓中的關(guān)系推出矛盾. 【要點整合】 1. 待定系數(shù)法求橢圓的標準方程要遵循“定形”、“定位”、“定量”三步曲,不能遺忘定位—確定焦點所在坐標軸。 2.通過數(shù)形結(jié)合牢固地掌握橢圓的幾何性質(zhì),深刻理解橢圓中幾何量、、、、等之間的關(guān)系并應用于解題。 3.直線與橢圓相交問題的基本解法是利用直線方程和橢圓方程聯(lián)立消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于(或)的一元二次方程,設(shè)出交點坐標,借助根與系數(shù)的關(guān)系進行整體化簡;對于中點弦及對稱問題運用“點差法”可減少運算量。 4.橢圓的兩個定義從不同的角度反映了橢圓的特征。一般地,遇到動點到兩頂點的距離問題,應聯(lián)想橢圓第一定義;遇到一個動點到一定直線距離問題,應聯(lián)想橢圓第二定義。 5.友情提醒: (1)運用橢圓定義時注意橢圓第一定義的限制條件(兩定點間的距離小于定長)。 (2)橢圓的標準方程有兩種情形,要防止遺漏。 (3)討論直線與橢圓相交時,要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用,通過圖形的直觀性的幫助解題,最后要檢驗橢圓是否與直線相交。 【能力提升】 1. 已知橢圓上有一點P到右焦點的距離是5,則它到左準線的距離為4。 2.若橢圓的離心率,則值或。 3.(書本P28習題3改編)已知為橢圓的兩個焦點,過作橢圓的弦AB,若△的周長為16,橢圓的離心率為,則橢圓的方程為。 4.橢圓=1的一個焦點為F1,點P在橢圓上.如果線段PF1的中點M在y軸上,那么點M的縱坐標是。 5.若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,則的值為。 6.以橢圓的左焦點為圓心,c為半徑的圓與橢圓的左準線交于不同的兩點,則該橢圓的離心率的取值范圍是。 7.(書本P32練習5改編)已知橢圓的對稱軸在坐標軸上,短軸的一個端點與兩個焦點組成一個等邊三角形,焦點到同側(cè)頂點的距離為,求橢圓的方程。 解:由題意設(shè)橢圓的半長軸為,半短軸為,半焦距為 橢圓的標準方程為或 8. 橢圓的焦點為F1,F2,點P為其上的動點,當F1PF2為鈍角時,求P點橫坐標的取值范圍。 解:由題意得,,設(shè)P到左焦點F1的距離為,P到右焦點F2的距離為,P()-(-),,|PF1| 同理得|PF2| 又F1PF2為鈍角 cosF1PF20 9.(書本P297改編)已知定點A、B間的距離為2,以B為圓心作 半徑為的圓,P為圓上一點,線段AP的垂直平分線l與直 線PB交于點M,當P在圓周上運動時點M的軌跡記為曲線C. 建立適當?shù)淖鴺讼?,求曲線C的方程,并說明它是什么樣的曲線。 P A B M l O x y 解:以AB中點為坐標原點,直線AB所在直線為軸建立平面直角坐標系(如圖), 則A(-1,0),B(1,0).設(shè)M(),由題意,得 |MP||MA|, |BP|, |MB|+|MA| 曲線C是以A、B為焦點,長軸長為的橢圓, 其方程為 10.在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上(如圖),且 OC=1,OA=a+1(a>1),點D在邊OA上,滿足OD=a. 分別以O(shè)D、OC為長、短半軸的 橢圓在矩形及其內(nèi)部的部分為橢圓弧CD. 直線l:y=-x+b與橢圓弧相切,與OA交于 點E. (1)求證:; (2)設(shè)直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分, 求直線l的方程; (3)在(2)的條件下,設(shè)圓M在矩形及其內(nèi)部, 且與l和線段EA都相切,求面積最大的圓M 的方程. 解:設(shè)橢圓的方程為. 由消去得. 由于直線l與橢圓相切,故△=,化簡得. ① (2)由題意知A(,0),B(,1),C(0,1),于是OB的中點為. 因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分,所以l過點,即,亦即. ② 由①②解得,故直線l的方程為 (3)由(2)知.因為圓M與線段EA相切,所以可設(shè)其方程為.因為圓M在矩形及其內(nèi)部,所以 ④ 圓M與 l相切,且圓M在l上方,所以,即. 代入④得即 所以圓M面積最大時,,這時,. 故圓M面積最大時的方程為- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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