2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機(jī)分布3完整講義(學(xué)生版).doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機(jī)分布3完整講義(學(xué)生版) 知識(shí)內(nèi)容 1. 離散型隨機(jī)變量及其分布列 ⑴離散型隨機(jī)變量 如果在試驗(yàn)中,試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示,并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的,我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母表示. 如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái),則稱為離散型隨機(jī)變量. ⑵離散型隨機(jī)變量的分布列 將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對(duì)應(yīng)的概率列表表示: … … … … 我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布,或稱為離散型隨機(jī)變量的分布列. 2.幾類典型的隨機(jī)分布 ⑴兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量的分布列為 其中,,則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布. 二點(diǎn)分布舉例:某次抽查活動(dòng)中,一件產(chǎn)品合格記為,不合格記為,已知產(chǎn)品的合格率為,隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果,則的分布列滿足二點(diǎn)分布. 兩點(diǎn)分布又稱分布,由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn),所以這種分布又稱為伯努利分布. ⑵超幾何分布 一般地,設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品,其中一類有件,從所有物品中任取件,這件中所含這類物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,它取值為時(shí)的概率為 ,為和中較小的一個(gè). 我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布,也稱服從參數(shù)為,,的超幾何分布.在超幾何分布中,只要知道,和,就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率,從而列出的分布列. ⑶二項(xiàng)分布 1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果每次試驗(yàn),只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及,并且事件發(fā)生的概率相同.在相同的條件下,重復(fù)地做次試驗(yàn),各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立,那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn).次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率為. 2.二項(xiàng)分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為,事件不發(fā)生的概率為,那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率是,其中.于是得到的分布列 … … … … 由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式 各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值,所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布, 記作. 二項(xiàng)分布的均值與方差: 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布,則 ,. ⑷正態(tài)分布 1. 概率密度曲線:樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,在樣本容量越來(lái)越大時(shí), 直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機(jī)變量中,如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量,則這條曲線稱為的概率密度曲線. 曲線位于橫軸的上方,它與橫軸一起所圍成的面積是,而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積. 2.正態(tài)分布 ⑴定義:如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的,而且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用,則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布. 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量,簡(jiǎn)稱正態(tài)變量. 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為,,其中,是參數(shù),且,. 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作. 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線. ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:我們把數(shù)學(xué)期望為,標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. ⑶重要結(jié)論: ①正態(tài)變量在區(qū)間,,內(nèi),取值的概率分別是,,. ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為,在區(qū)間之外的取值的概率是,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi),這就是正態(tài)分布的原則. ⑷若,為其概率密度函數(shù),則稱為概率分布函數(shù),特別的,,稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù). . 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得. 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求,適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可. 3.離散型隨機(jī)變量的期望與方差 1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義:一般地,設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是,,…,,這些值對(duì)應(yīng)的概率是,,…,,則,叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望). 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平. 2.離散型隨機(jī)變量的方差 一般地,設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是,,…,,這些值對(duì)應(yīng)的概率是,,…,,則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差. 離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大?。x散程度). 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差,它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量. 3.為隨機(jī)變量,為常數(shù),則; 4. 典型分布的期望與方差: ⑴二點(diǎn)分布:在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中,離散型隨機(jī)變量的期望取值為,在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中,離散型隨機(jī)變量的期望取值為. ⑵二項(xiàng)分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布,則,. ⑶超幾何分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布, 則,. 4.事件的獨(dú)立性 如果事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響,即, 這時(shí),我們稱兩個(gè)事件,相互獨(dú)立,并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件. 如果事件,,…,相互獨(dú)立,那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率,等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即,并且上式中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件后等式仍成立. 5.條件概率 對(duì)于任何兩個(gè)事件和,在已知事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率叫做條件概率,用符號(hào)“”來(lái)表示.把由事件與的交(或積),記做(或). 典例分析 二項(xiàng)分布的概率計(jì)算 【例1】 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,,則等于 . 【例2】 甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,比賽采取五局三勝制,無(wú)論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束,假定甲每局比賽獲勝的概率均為,則甲以的比分獲勝的概率為( ) A. B. C. D. 【例3】 某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是,他投球10次,恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率 .(用數(shù)值表示) 【例4】 某人參加一次考試,道題中解對(duì)道則為及格,已知他的解題正確率為, 則他能及格的概率為_(kāi)________(保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位小數(shù)) 【例5】 接種某疫苗后,出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為,現(xiàn)有5人接種了該疫苗,至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 .(精確到) 【例6】 從一批由9件正品,3件次品組成的產(chǎn)品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到兩次次品的概率(結(jié)果保留位有效數(shù)字). 【例7】 一臺(tái)型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要人照看的概為,有四臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作,則在一小時(shí)內(nèi)至多有臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是( ) A. B. C. D. 【例8】 設(shè)在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率相同,若已知事件至少發(fā)生一次的概率等于,求事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率. 【例9】 我艦用魚(yú)雷打擊來(lái)犯的敵艦,至少有枚魚(yú)雷擊中敵艦時(shí),敵艦才被擊沉.如果每枚魚(yú)雷的命中率都是,當(dāng)我艦上的個(gè)魚(yú)雷發(fā)射器同是向敵艦各發(fā)射枚魚(yú)雷后,求敵艦被擊沉的概率(結(jié)果保留位有效數(shù)字). 【例10】 某廠生產(chǎn)電子元件,其產(chǎn)品的次品率為,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中的任意連續(xù)取出2件,求次品數(shù)的概率分布列及至少有一件次品的概率. 【例11】 某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè),現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家,獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審.假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個(gè)“支持”,則給予萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)資助;若只獲得一個(gè)“支持”,則給予萬(wàn)元的資助;若未獲得“支持”,則不予資助.求: ⑴ 該公司的資助總額為零的概率; ⑵ 該公司的資助總額超過(guò)萬(wàn)元的概率. 【例12】 某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品,顧客可采用一次性付款或分期付款購(gòu)買.根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用一次性付款的概率是,經(jīng)銷一件該商品,若顧客采用一次性付款,商場(chǎng)獲得利潤(rùn)元;若顧客采用分期付款,商場(chǎng)獲得利潤(rùn)元. ⑴ 求位購(gòu)買該商品的顧客中至少有位采用一次性付款的概率; ⑵ 求位位顧客每人購(gòu)買件該商品,商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)元的概率. 【例13】 某萬(wàn)國(guó)家具城進(jìn)行促銷活動(dòng),促銷方案是:顧客每消費(fèi)元,便可獲得獎(jiǎng)券一張,每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為,若中獎(jiǎng),則家具城返還顧客現(xiàn)金元.某顧客消費(fèi)了元,得到3張獎(jiǎng)券. ⑴求家具城恰好返還該顧客現(xiàn)金元的概率; ⑵求家具城至少返還該顧客現(xiàn)金元的概率. 【例14】 某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹(shù)各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹(shù)移栽的成活率分別為和,且各株大樹(shù)是否成活互不影響.求移栽的4株大樹(shù)中: ⑴至少有1株成活的概率; ⑵兩種大樹(shù)各成活1株的概率. 【例15】 一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球(且)和個(gè)白球,一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球,兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng). ⑴試用表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率; ⑵若,求三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率; ⑶記三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為.當(dāng)取多少時(shí),最大? 【例16】 袋子和中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球,從中摸出一個(gè)紅球的概率是,從中摸出一個(gè)紅球的概率為. ⑴從A中有放回地摸球,每次摸出一個(gè),有3次摸到紅球即停止. ①求恰好摸5次停止的概率; ②記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布. ⑵若兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為,將中的球裝在一起后,從中摸出一個(gè)紅球的概率是,求的值. 【例17】 設(shè)飛機(jī)有兩個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī),飛機(jī)有四個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī),如有半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動(dòng)機(jī)沒(méi)有故障,就能夠安全飛行,現(xiàn)設(shè)各個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障的概率是的函數(shù),其中為發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后所經(jīng)歷的時(shí)間,為正的常數(shù),試討論飛機(jī)與飛機(jī)哪一個(gè)安全?(這里不考慮其它故障). 【例18】 假設(shè)飛機(jī)的每一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)在飛行中的故障率都是,且各發(fā)動(dòng)機(jī)互不影響.如果至少的發(fā)動(dòng)機(jī)能正常運(yùn)行,飛機(jī)就可以順利地飛行.問(wèn)對(duì)于多大的而言,四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全? 【例19】 一名學(xué)生每天騎車上學(xué),從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是. ⑴設(shè)為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù),求的分布列; ⑵設(shè)為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù),求的分布列; ⑶求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率. 【例20】 一個(gè)質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲次,正面向上恰為次的可能性不為,而且與正面向上恰為次的概率相同.令既約分?jǐn)?shù)為硬幣在次拋擲中有次正面向上的概率,求. 【例21】 某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為,計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位) ⑴5次預(yù)報(bào)中恰有次準(zhǔn)確的概率; ⑵次預(yù)報(bào)中至少有次準(zhǔn)確的概率; ⑶5次預(yù)報(bào)中恰有次準(zhǔn)確,且其中第次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率; 【例22】 某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第層可以??浚粼撾娞菰诘讓虞d有5位乘客,且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為,求至少有兩位乘客在20層下的概率. 【例23】 10個(gè)球中有一個(gè)紅球,有放回的抽取,每次取一球,求直到第次才取得次紅球的概率. 【例24】 某車間為保證設(shè)備正常工作,要配備適量的維修工.設(shè)各臺(tái)設(shè)備發(fā)生的故障是相互獨(dú)立的,且每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是.試求: ⑴若由一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái),求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率; ⑵若由3個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備,求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率,并進(jìn)行比較說(shuō)明哪種效率高. 【例25】 是治療同一種疾病的兩種藥,用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成,其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效.若在一個(gè)試驗(yàn)組中,服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多,就稱該試驗(yàn)組為甲類組.設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為,服用B有效的概率為.觀察3個(gè)試驗(yàn)組,求至少有1個(gè)甲類組的概率.(結(jié)果保留四位有效數(shù)字) 【例26】 已知甲投籃的命中率是,乙投籃的命中率是,兩人每次投籃都不受影響,求投籃3次甲勝乙的概率.(保留兩位有效數(shù)字) 【例27】 若甲、乙投籃的命中率都是,求投籃次甲勝乙的概率.() 【例28】 省工商局于某年3月份,對(duì)全省流通領(lǐng)域的飲料進(jìn)行了質(zhì)量監(jiān)督抽查,結(jié)果顯示,某種剛進(jìn)入市場(chǎng)的飲料的合格率為,現(xiàn)有甲,乙,丙人聚會(huì),選用瓶飲料,并限定每人喝瓶,求: ⑴甲喝瓶合格的飲料的概率; ⑵甲,乙,丙人中只有人喝瓶不合格的飲料的概率(精確到). 【例29】 在一次考試中出了六道是非題,正確的記“√”號(hào),不正確的記“”號(hào).若某考生隨手記上六個(gè)符號(hào),試求:⑴全部是正確的概率; ⑵正確解答不少于4道的概率; ⑶至少答對(duì)道題的概率. 【例30】 某大學(xué)的校乒乓球隊(duì)與數(shù)學(xué)系乒乓球隊(duì)舉行對(duì)抗賽,校隊(duì)的實(shí)力比系隊(duì)強(qiáng),當(dāng)一個(gè)校隊(duì)隊(duì)員與系隊(duì)隊(duì)員比賽時(shí),校隊(duì)隊(duì)員獲勝的概率為. 現(xiàn)在校、系雙方商量對(duì)抗賽的方式,提出了三種方案:⑴雙方各出人;⑵雙方各出人;⑶雙方各出人.三種方案中場(chǎng)次比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利.問(wèn):對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō),哪一種方案最有利? 二項(xiàng)分布的期望與方差 【例31】 已知,求與. 【例32】 已知,,,則與的值分別為( ) A.和 B.和 C.和 D.和 【例33】 已知隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布,則它的期望 , 方差 . 【例34】 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,且,,則二項(xiàng)分布的參數(shù),的值分別為 , . 【例35】 一盒子內(nèi)裝有個(gè)乒乓球,其中個(gè)舊的,個(gè)新的,每次取一球,取后放回,取次,則取到新球的個(gè)數(shù)的期望值是 . 【例36】 同時(shí)拋擲枚均勻硬幣次,設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上,枚反面向上的次數(shù)為,則的數(shù)學(xué)期望是( ) A. B. C. D. 【例37】 某服務(wù)部門有個(gè)服務(wù)對(duì)象,每個(gè)服務(wù)對(duì)象是否需要服務(wù)是獨(dú)立的,若每個(gè)服務(wù)對(duì)象一天中需要服務(wù)的可能性是,則該部門一天中平均需要服務(wù)的對(duì)象個(gè)數(shù)是( ) A. B. C. D. 【例38】 一個(gè)袋子里裝有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黃球,從中同時(shí)取出個(gè),則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是_________.(用數(shù)字作答) 【例39】 同時(shí)拋擲枚均勻硬幣次,設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上,枚反面向上的次數(shù)為,則的數(shù)學(xué)期望是( ) A. B. C. D. 【例40】 某批數(shù)量較大的商品的次品率是,從中任意地連續(xù)取出件,為所含次品的個(gè)數(shù),求. 【例41】 甲、乙、丙人投籃,投進(jìn)的概率分別是. ⑴ 現(xiàn)3人各投籃1次,求3人都沒(méi)有投進(jìn)的概率; ⑵ 用表示乙投籃3次的進(jìn)球數(shù),求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望. 【例42】 拋擲兩個(gè)骰子,當(dāng)至少有一個(gè)點(diǎn)或點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功. ⑴ 求一次試驗(yàn)中成功的概率; ⑵ 求在次試驗(yàn)中成功次數(shù)的分布列及的數(shù)學(xué)期望與方差. 【例43】 某尋呼臺(tái)共有客戶人,若尋呼臺(tái)準(zhǔn)備了份小禮品,邀請(qǐng)客戶在指定時(shí)間來(lái)領(lǐng)?。僭O(shè)任一客戶去領(lǐng)獎(jiǎng)的概率為.問(wèn):尋呼臺(tái)能否向每一位顧客都發(fā)出獎(jiǎng)邀請(qǐng)?若能使每一位領(lǐng)獎(jiǎng)人都得到禮品,尋呼臺(tái)至少應(yīng)準(zhǔn)備多少禮品? 【例44】 某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn),以提高下崗人員的再就業(yè)能力,每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn),已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有,參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有,假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響. ⑴任選1名下崗人員,求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率; ⑵任選3名下崗人員,記為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù),求的分布和期望. 【例45】 設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買甲種商品的概率為,購(gòu)買乙種商品的概率為,且購(gòu)買甲種商品與購(gòu)買乙種商品相互獨(dú)立,各顧客之間購(gòu)買商品也是相互獨(dú)立的.記表示進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客中至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù),求的分布及期望. 【例46】 某班級(jí)有人,設(shè)一年天中,恰有班上的()個(gè)人過(guò)生日的天數(shù)為,求的期望值以及至少有兩人過(guò)生日的天數(shù)的期望值. 【例47】 購(gòu)買某種保險(xiǎn),每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)元,若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn),則可以獲得元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有人購(gòu)買了這種保險(xiǎn),且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立.已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金元的概率為. ⑴求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率; ⑵設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為元,為保證盈利的期望不小于,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位:元). 【例48】 某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查(簡(jiǎn)稱安檢).若安檢不合格,則必須進(jìn)行整改.若整改后復(fù)查仍不合格,則強(qiáng)行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是,整改后安檢合格的概率是,計(jì)算(結(jié)果精確到). ⑴恰好有兩家煤礦必須整改的概率; ⑵平均有多少家煤礦必須整改; ⑶至少關(guān)閉一家煤礦的概率. 【例49】 設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作.若一周5個(gè)工作日里均無(wú)故障,可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元;發(fā)生一次故障可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元,只發(fā)生兩次故障可獲利潤(rùn)0萬(wàn)元,發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元.求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少?(精確到) 【例50】 在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過(guò)程中,武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐.已知只有發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨(dú)立的,且命中的概率都是. ⑴求油罐被引爆的概率; ⑵如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為,求的分布列及. 【例51】 某商場(chǎng)準(zhǔn)備在國(guó)慶節(jié)期間舉行促銷活動(dòng),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,該商場(chǎng)決定從種服裝商品,種家電商品,種日用商品中,選出種商品進(jìn)行促銷活動(dòng). ⑴試求選出的種商品中至少有一種是日用商品的概率; ⑵商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售,即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高元,同時(shí),若顧客購(gòu)買該商品,則允許有次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì),若中獎(jiǎng),則每次中獎(jiǎng)都獲得數(shù)額為的獎(jiǎng)金.假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是,請(qǐng)問(wèn):商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為多少元,才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利? 【例52】 將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^(guò)程中,將次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí),向左、右兩邊下落的概率都是. ⑴ 求小球落入袋中的概率; ⑵ 在容器入口處依次放入個(gè)小球,記為落入袋中的小球個(gè)數(shù),試求的概率和的數(shù)學(xué)期望. 【例53】 一個(gè)袋中有大小相同的標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6個(gè)小球,某人做如下游戲,每次從袋中拿一個(gè)球(拿后放回),記下標(biāo)號(hào).若拿出球的標(biāo)號(hào)是3的倍數(shù),則得1分,否則得分. ⑴ 求拿4次至少得2分的概率; ⑵ 求拿4次所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【例54】 某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位的二進(jìn)制數(shù),其中的各位數(shù)中,,出現(xiàn)的概率為,出現(xiàn)的概率為.記,當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí), ⑴ 求的概率; ⑵ 求的概率分布和期望. 【例55】 某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)個(gè)路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的,遇到紅燈的概率都是,遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2 min. ⑴ 求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率; ⑵ 求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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