2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 等比數(shù)列及其前n項和 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 等比數(shù)列及其前n項和 新人教A版 要點自主梳理 1.等比數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列__________________________,那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的________,通常用字母______表示(q≠0). 從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零) 公比 q 從等比數(shù)列的定義看,等比數(shù)列的任意項都是非零的,公比q也是非零常數(shù). 2.等比數(shù)列的通項公式 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,則它的通項an=______________..a1qn-1 3.等比中項 3.等比中項: 如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項. G2=ab (ab≠0) 4.等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣:an=am____________,(n,m∈N*). qn-m (2)若{an}為等比數(shù)列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),則____ akal=aman _____. (3)若{an},{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0),,{a},{anbn},仍是等比數(shù)列. (4)單調(diào)性:或?{an}是________數(shù)列;遞增 或?{an}是________數(shù)列;遞減 q=1?{an}是__常__數(shù)列;q<0?{an}是__擺動______數(shù)列. 5.等比數(shù)列的前n項和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0),其前n項和為Sn, 當(dāng)q=1時,Sn=na1; 當(dāng)q≠1時,Sn==. 6.等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為________. qn 7.等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是: (1)若一個數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,則此數(shù)列是非零常數(shù)列; (2)若{an}是等比數(shù)列,且an>0,則{lg an}構(gòu)成等差數(shù)列. 8.思想與方法: (1)等比數(shù)列的判定方法: ①定義:=q (q是不為零的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. ②等比中項法:a=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. ③通項公式:an=cqn-1 (c、q均是不為零的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (2) 等比數(shù)列的前n項和Sn是用錯位相減法求得的,注意這種方法在數(shù)列求和中的運用. (3)在利用等比數(shù)列前n項和公式時,如果不確定q與1的關(guān)系,一般要用分類討論的思想,分公比q=1和q≠1兩種情況;計算等比數(shù)列前n項和過程中要注意整體代入的思想方法.常把qn,當(dāng)成整體求解. (4) 等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1及前n項和公式Sn== (q≠1)共涉及五個量a1,an,q,n,Sn,知三求二,體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用. (5)揭示等比數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系. 利用函數(shù)、方程的觀點和方法, 討論單調(diào)性時,要特別注意首項和公比的大小. 基礎(chǔ)自測 1.“b=”是“a、b、c成等比數(shù)列”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 2.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-a,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則實數(shù)a的值是 ( ) A.3 B.1 C.0 D.-1 3.已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a-2,a+2,a+8,則an等于 ( ) A.8n B.8n C.8n-1 D.8n-1 4.在等比數(shù)列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5的值為________.5 5.在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=60,則a7+a8=___240 _____. 6.在等比數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,若S3=7,S6=63,則公比q的值是 ( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 題型一 等比數(shù)列的基本量的運算 例1 (1)在等比數(shù)列{an}中,已知a6-a4=24,a3a5=64,求{an}的前8項和S8; (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q (q>0),它的前n項和為40,前2n項和為3 280,且前n項中數(shù)值最大的項為27,求數(shù)列的第2n項. 解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由通項公式an=a1qn-1及已知條件得: 由②得a1q3=8.將a1q3=-8代入①式,得q2=-2,無解,故舍去. 將a1q3=8代入①式,得q2=4,∴q=2. 當(dāng)q=2時,a1=1,∴S8==255; 當(dāng)q=-2時,a1=-1,∴S8==85. (2)若q=1,則na1=40,2na1=3 280,矛盾. ∴q≠1,∴ 得:1+qn=82,∴qn=81, ③ 將③代入①得q=1+2a1. ④ 又∵q>0,∴q>1,∴a1>0,{an}為遞增數(shù)列.∴an=a1qn-1=27, ⑤ 由③、④、⑤得q=3,a1=1,n=4. ∴a2n=a8=137=2 187. 探究提高 (1)對于等比數(shù)列的有關(guān)計算問題,可類比等差數(shù)列問題進(jìn)行,在解方程組的過程中要注意“相除”消元的方法,同時要注意整體代入(換元)思想方法的應(yīng)用. (2)在涉及等比數(shù)列前n項和公式時要注意對公比q是否等于1進(jìn)行判斷和討論. 變式訓(xùn)練1 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S4=1,S8=17,求{an}的通項公式. an=2n-1或an=(-2)n-1 (2)已知正項等比數(shù)列{an}中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4a6=36,求數(shù)列{an}的通項an和前n項和Sn. 本例可將所有項都用a1和q表示,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程組求解;也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化,兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化. 解 方法一 由已知得: ①-②,得4aq6=64,∴aq6=16.③ 代入①,得+216+16q2=100.解得q2=4或q2=. 又?jǐn)?shù)列{an}為正項數(shù)列,∴q=2或. 當(dāng)q=2時,可得a1=,∴an=2n-1=2n-2, Sn==2n-1-; 當(dāng)q=時,可得a1=32.∴an=32n-1=26-n. Sn==64-26-n. 方法二 ∵a1a5=a2a4=a,a2a6=a3a5,a3a7=a4a6=a, 由可得 即 ∴解得或 當(dāng)a3=8,a5=2時,q2===. ∵q>0,∴q=,由a3=a1q2=8, 得a1=32,∴an=32n-1=26-n. Sn==64-26-n. 當(dāng)a3=2,a5=8時,q2==4,且q>0,∴q=2. 由a3=a1q2,得a1==. ∴an=2n-1=2n-2. Sn==2n-1-. (3)在等比數(shù)列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q. 解 由題意得 解得或 若則Sn===126, 解得q=,此時,an=2=64n-1,∴n=6. 若則Sn==126,∴q=2.∴an=64=22n-1.∴n=6. 綜上n=6,q=2或. 題型二 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 例2 在等比數(shù)列{an}中, (1) 已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比為整數(shù),求a10;; (2)若已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值. 解 (1) a4a7=a3a8=-512,∴, 解之得或. 當(dāng)時,q5==-32,∴q=-2. ∴a1==-1,∴a10=a1q9=-1(-2)9=512. 當(dāng)時,q5==-,q=-. 又∵q為整數(shù),∴q=-舍去. 綜上所述:a10=512. (2)∵a3a4a5=8,又a3a5=a,∴a=8,a4=2. ∴a2a3a4a5a6=a=25=32. 探究提高 在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若m+n=p+q,則aman=apaq”,可以減少運算量,提高解題速度. 變式訓(xùn)練2 (1)在等比數(shù)列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44. a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3=aq6=1. ① a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15=aq54=8. ② ②①:=q48=8?q16=2, 又a41a42a43a44=a1q40a1q41a1q42a1q43 =aq166=aq6q160=(aq6)(q16)10=1210=1 024. (2)已知等比數(shù)列{an}中,有a3a11=4a7,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且b7=a7,求b5+b9的值; ∵a3a11=a=4a7, ∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=4, ∵{bn}為等差數(shù)列,∴b5+b9=2b7=8. (3)在等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=8,且++++=2,求a3. 解 由已知得++++=++ ===2, ∴a=4,∴a3=2.若a3=-2,設(shè)數(shù)列的公比為q, 則+-2-2q-2q2=8,即++1+q+q2 =2+2+=-4. 此式顯然不成立,經(jīng)驗證,a3=2符合題意,故a3=2. 題型三 等比數(shù)列的定義及判定 例3設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)設(shè)bn=an+1-2an,證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 解題導(dǎo)引 (1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法: ①=q (q為與n值無關(guān)的常數(shù))(n∈N*). ②a=anan+2 (an≠0,n∈N*). (2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列,可以通過具體的三個連續(xù)項不成等比數(shù)列來證明,也可用反證法. (1)證明 由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5, 故b1=a2-2a1=3. 又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an, 于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn. 因此數(shù)列{bn}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列. (2)解 由(1)知等比數(shù)列{bn}中b1=3,公比q=2, 所以an+1-2an=32n-1,于是-=, 因此數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列, =+(n-1)=n-, 所以an=(3n-1)2n-2. 變式訓(xùn)練3 (1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1 (n≥2),且an+Sn=n. ①設(shè)cn=an-1,求證:{cn}是等比數(shù)列; ②求數(shù)列{bn}的通項公式. (1)證明 ∵an+Sn=n, ① ∴an+1+Sn+1=n+1. ② ②-①得an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴=,∴{an-1}是等比數(shù)列. ∵首項c1=a1-1,又a1+a1=1,∴a1=,∴c1=-,公比q=. 又cn=an-1,∴{cn}是以-為首項,為公比的等比數(shù)列. (2)解 由(1)可知cn=n-1=-n, ∴an=cn+1=1-n. ∴當(dāng)n≥2時,bn=an-an-1=1-n- =n-1-n=n. 又b1=a1=代入上式也符合,∴bn=n. 探究提高 注意 (2)問中要注意驗證n=1時是否符合n≥2時的通項公式,能合并的必須合并. (2)已知數(shù)列{an}的首項a1=5,前n項和為Sn,且Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*. ①證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列; ②求{an}的通項公式以及Sn. ①證明 由已知Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*,可得n≥2時,Sn=2Sn-1+n+4, 兩式相減得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1, 即an+1=2an+1,從而an+1+1=2(an+1), 當(dāng)n=1時,S2=2S1+1+5,所以a2+a1=2a1+6, 又a1=5,所以a2=11,從而a2+1=2(a1+1), 故總有an+1+1=2(an+1),n∈N*, 又a1=5,a1+1≠0,從而=2, 即數(shù)列{an+1}是首項為6,公比為2的等比數(shù)列. ②解 由(1)得an+1=62n-1,所以an=62n-1-1, 于是Sn=-n=62n-n-6. (3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). ①求a2,a3的值; ②求證:數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列. ①解 ∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),∴當(dāng)n=1時,a1=21=2; 當(dāng)n=2時,a1+2a2=(a1+a2)+4,∴a2=4; 當(dāng)n=3時,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,∴a3=8. ②證明 ∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),① ∴當(dāng)n≥2時,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1).② ①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2 =nan-Sn+2Sn-1+2. ∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,∴Sn+2=2(Sn-1+2). ∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0,∴=2, 故{Sn+2}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列. 點評:. 由an+1=qan,q≠0,并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列,還要驗證a1≠0. (4)已知函數(shù)f(x)=(x≠2,x∈R),數(shù)列{an}滿足a1=t(t≠-2,t∈R),an+1=f(an),(n∈N). ①若數(shù)列{an}是常數(shù)列,求t的值; ②當(dāng)a1=2時,記bn=(n∈N*),證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出通項公式an. 解:①∵數(shù)列{an}是常數(shù)列,∴an+1=an=t,即t=,解得t=-1,或t=1. ∴所求實數(shù)t的值是1或-1. ②∵a1=2,bn=,∴b1=3,bn+1===3,即bn+1=3bn(n∈N*). 題型四 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 例4 已知等差數(shù)列{an}的首項a1=1,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列{bn}的第2項、第3項、第4項. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式; (2)設(shè)數(shù)列{cn}對n∈N*均有++…+=an+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 013. 解 (1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得 d=2 (∵d>0).∴an=1+(n-1)2=2n-1. 又b2=a2=3,b3=a5=9,∴數(shù)列{bn}的公比為3,∴bn=33n-2=3n-1. (2)由++…+=an+1得 當(dāng)n≥2時,++…+=an. 兩式相減得:n≥2時,=an+1-an=2.∴cn=2bn=23n-1 (n≥2). 又當(dāng)n=1時,=a2,∴c1=3.∴cn=. ∴c1+c2+c3+…+c2 013=3+=3+(-3+32 013)=32 013. 探究提高 在解決等差、等比數(shù)列的綜合題時,重點在于讀懂題意,靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項公式及前n項和公式.本題第(1)問就是用基本量公差、公比求解;第(2)問在作差an+1-an時要注意n≥2. 變式訓(xùn)練4 已知數(shù)列{an}滿足a1=,=,且an+1an<0 (n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若bn=a-a,試問數(shù)列{bn}中是否存在三項能按某種順序構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出滿足條件的等差數(shù)列;若不存在,說明理由. 解 (1)由a1=,an+1an<0知,當(dāng)n為偶數(shù)時,an<0;當(dāng)n為奇數(shù)時, an>0.由=,得3(a-a)=1-a. 即4a-3a=1,所以4(a-1)=3(a-1),即數(shù)列{a-1}是以a-1=-為首項,為公比的等比數(shù)列.所以a-1=-n-1=-n, a=1-n, 故an=(-1)n-1 (n∈N*). (2)由(1)知bn=a-a=1-n+1-1+n=n, 則對于任意的n∈N*,bn>bn+1. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項br,bs,bt (r- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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