2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 13.5復數(shù)教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 13.5復數(shù)教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)相等的條件；2.考查復數(shù)的代數(shù)形式的運算，復數(shù)的幾何意義． 復習備考要這樣做 1.復習時要理解復數(shù)的相關概念如實部、虛部、純虛數(shù)、共軛復數(shù)等，以及復數(shù)的幾何意義；2.要把復數(shù)的基本運算作為復習的重點，尤其是復數(shù)的四則運算與共軛復數(shù)的性質等．因考題較容易，所以重在練基礎． 1． 復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)復平面 建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面，叫做復平面．x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內的點都表示非純虛數(shù)． (5)復數(shù)的模 向量的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作__|z|__或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2． 復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)． (2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3． 復數(shù)的運算 (1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝ ＝＋i(c＋di≠0)． (2)復數(shù)加法的運算定律 復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [難點正本 疑點清源] 1． 對于復數(shù)z＝a＋bi必須滿足a、b均為實數(shù)，才能得出實部為a，虛部為b.對于復數(shù)相等必須先化為代數(shù)形式才能比較實部與虛部． 2． 復數(shù)問題的實數(shù)化是解決復數(shù)問題的最基本也是最重要的方法，其依據(jù)是復數(shù)相等的充要條件和復數(shù)的模的運算及性質． 1． i是虛數(shù)單位，則＋i＝________. 答案 ＋i 解析 ＋i＝＋i＝＝＋i. 2． 若復數(shù)(1＋i)(1＋ai)是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝________. 答案 1 解析 由(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(a＋1)i是純虛數(shù)得，由此解得a＝1. 3． 復數(shù)(3＋4i)i(其中i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 B 解析 由于(3＋4i)i＝－4＋3i，因此該復數(shù)在復平面上對應的點的坐標是(－4,3)，相對應的點位于第二象限，選B. 4． (xx浙江)把復數(shù)z的共軛復數(shù)記作，i為虛數(shù)單位．若z＝1＋i，則(1＋z)等于( ) A．3－i B．3＋i C．1＋3i D．3 答案 A 解析 (1＋z)＝(2＋i)(1－i)＝3－i. 5． (xx北京)設a，b∈R.“a＝0”是“復數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的 ( ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案 B 解析 當a＝0，且b＝0時，a＋bi不是純虛數(shù)；若a＋bi是純虛數(shù)，則a＝0. 故“a＝0”是“復數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件. 題型一 復數(shù)的概念 例1 (1)已知a∈R，復數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若為純虛數(shù)，則復數(shù)的虛部為( ) A．1 B．i C. D．0 (2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 思維啟迪：(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則b＝0時，z∈R；b≠0時，z是虛數(shù)；a＝0且b≠0時，z是純虛數(shù)． (2)直接根據(jù)復數(shù)相等的條件求解． 答案 (1)A (2)A 解析 (1)由＝＝＝＋i是純虛數(shù)，得a＝1，此時＝i，其虛部為1. (2)由，解得m＝－2或m＝1， 所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要條件． 探究提高 處理有關復數(shù)的基本概念問題，關鍵是找準復數(shù)的實部和虛部，從定義出發(fā)，把復數(shù)問題轉化成實數(shù)問題來處理． (1)若復數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為 ( ) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 (2)設復數(shù)z滿足z(2－3i)＝6＋4i(i為虛數(shù)單位)，則z的模為________． 答案 (1)A (2)2 解析 (1)由復數(shù)z為純虛數(shù)，得，解得x＝－1，故選A. (2)方法一 ∵z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝＝＝2i， ∴|z|＝2. 方法二 由z(2－3i)＝6＋4i，得z＝. 則|z|＝＝＝＝2. 題型二 復數(shù)的運算 例2 已知z1，z2為復數(shù)，(3＋i)z1為實數(shù)，z2＝，且|z2|＝5，求z2. 思維啟迪：兩種思路解此類問題：一是設出z1、z2，然后代入解方程；二是利用整體代換的思想求解． 解 z1＝z2(2＋i)， (3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R， ∵|z2|＝5， ∴|z2(5＋5i)|＝50， ∴z2(5＋5i)＝50， ∴z2＝＝＝(5－5i)． 探究提高 復數(shù)的綜合運算中會涉及模、共軛及分類等，求z時要注意是把z看作一個整體還是設為代數(shù)形式應用方程思想；當z是實數(shù)或純虛數(shù)時注意常見結論的應用． (1)已知復數(shù)z＝，是z的共軛復數(shù)，則z＝________. (2)復數(shù)的值是________． (3)已知復數(shù)z滿足＝2－i，則z＝__________. 答案 (1) (2)－16 (3)－－i 解析 (1)方法一 |z|＝＝， z＝|z|2＝. 方法二 z＝＝－＋， z＝＝. (2)＝ ＝24＝－16. (3)由＝2－i， 得z＝－i＝－i＝i－－i＝－－i. 題型三 復數(shù)的幾何意義 例3 如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0,3＋2i， －2＋4i，試求： (1)、所表示的復數(shù)； (2)對角線所表示的復數(shù)； (3)求B點對應的復數(shù)． 思維啟迪：結合圖形和已知點對應的復數(shù)，根據(jù)加減法的幾何意義，即可求解． 解 (1)＝－，∴所表示的復數(shù)為－3－2i. ∵＝，∴所表示的復數(shù)為－3－2i. (2)＝－，∴所表示的復數(shù)為 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)＝＋＝＋， ∴所表示的復數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即B點對應的復數(shù)為1＋6i. 探究提高 根據(jù)復平面內的點、向量及向量對應的復數(shù)是一一對應的，要求某個向量對應的復數(shù)，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結論． 已知z是復數(shù)，z＋2i、均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復數(shù)(z＋ai)2在復平面內對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍． 解 設z＝x＋yi(x、y∈R)， ∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2. ∵＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i， 由題意得x＝4.∴z＝4－2i. ∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 根據(jù)條件，可知， 解得2
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