2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 4.6正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 4.6正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查正弦定理、余弦定理的推導;2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形;3.在解答題中對正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導公式等知識點進行綜合考查. 復習備考要這樣做 1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用;2.通過正弦、余弦定理實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換,和三角函數(shù)性質(zhì)相結合. 1. 正弦定理:===2R,其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形:(1)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C;(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;(3)sin A=,sin B=,sin C=等形式,以解決不同的三角形問題. 2. 余弦定理:a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.余弦定理可以變形:cos A=,cos B=,cos C=. 3. S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B==(a+b+c)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑),并可由此計算R、r. 4. 在△ABC中,已知a、b和A時,解的情況如下: A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關系式 a=bsin A bsin Ab 解的個數(shù) 一解 兩解 一解 一解 [難點正本 疑點清源] 1. 在三角形中,大角對大邊,大邊對大角;大角的正弦值也較大,正弦值較大的角也較大,即在△ABC中,A>B?a>b?sin A>sin B. 2. 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀,主要有兩種途徑: (1)化邊為角;(2)化角為邊,并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換. 1. 在△ABC中,若A=60,a=,則=________. 答案 2 解析 由正弦定理及等比性質(zhì)知 ====2R, 而由A=60,a=, 得=2R===2. 2. (xx福建)已知△ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為________. 答案?。? 解析 設三角形的三邊長從小到大依次為a,b,c, 由題意得b=a,c=2a. 在△ABC中,由余弦定理得 cos C===-. 3. (xx重慶)設△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,則c=________. 答案 解析 在△ABC中,∵cos A=>0,∴sin A=. ∵cos B=>0,∴sin B=. ∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B =+=. 由正弦定理知=, ∴c===. 4. (xx課標全國)在△ABC中,B=60,AC=,則AB+2BC的最大值為________. 答案 2 解析 由正弦定理知==, ∴AB=2sin C,BC=2sin A. 又A+C=120,∴AB+2BC=2sin C+4sin(120-C) =2(sin C+2sin 120cos C-2cos 120sin C) =2(sin C+cos C+sin C) =2(2sin C+cos C)=2sin(C+α), 其中tan α=,α是第一象限角, 由于0<C<120,且α是第一象限角, 因此AB+2BC有最大值2. 5. 已知圓的半徑為4,a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊,若abc=16,則三角形的面積為 ( ) A.2 B.8 C. D. 答案 C 解析 ∵===2R=8,∴sin C=, ∴S△ABC=absin C=abc=16=. 題型一 利用正弦定理解三角形 例1 在△ABC中,a=,b=,B=45.求角A、C和邊c. 思維啟迪:已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊,可利用正弦定理解這個三角形,但要注意解的個數(shù)的判斷. 解 由正弦定理得=,=, ∴sin A=. ∵a>b,∴A=60或A=120. 當A=60時,C=180-45-60=75,c==; 當A=120時,C=180-45-120=15, c==. 探究提高 (1)已知兩角及一邊可求第三角,解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知兩邊和一邊對角,解三角形時,利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角,這是解題的難點,應引起注意. 已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,若a=1,b=,A+C=2B,則角A的大小為___________. 答案 解析 ∵A+C=2B且A+B+C=π,∴B=. 由正弦定理知:sin A==, 又aB>C,3b=20acos A,則sin A∶sin B∶sin C為 ( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 答案 D 解析 ∵A>B>C,∴a>b>c. 設a=b+1,c=b-1,由3b=20acos A得 3b=20(b+1). 化簡,得7b2-27b-40=0. 解得b=5或b=-(舍去),∴a=6,c=4. ∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 在△ABC中,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊長,已知a,b,c成等比數(shù)列,且a2-c2=ac-bc,則∠A=________,△ABC的形狀為__________. 答案 60 正三角形 解析 ∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac. 又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc. 在△ABC中,由余弦定理得cos A===, ∴∠A=60.由b2=ac,即a=, 代入a2-c2=ac-bc,整理得(b-c)(b3+c3+cb2)=0, ∴b=c.∴△ABC為正三角形. 5. 在△ABC中,若∠A=60,b=1,S△ABC=,則 的值為________. 答案 解析 ∵S△ABC=,即bcsin A=,∴c=4. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=13,∴a=, ∴===. 6. 在銳角△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若+=6cos C,則+的值是______. 答案 4 解析 由+=6cos C,得b2+a2=6abcos C. 化簡整理得2(a2+b2)=3c2, 將+切化弦, 得(+)= ==. 根據(jù)正、余弦定理得 = ===4. 三、解答題 7. (13分)(xx浙江)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知cos A=,sin B=cos C. (1)求tan C的值; (2)若a=,求△ABC的面積. 解 (1)因為0- 配套講稿:
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