2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 數(shù)列及其表示（含解析）.doc
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2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 數(shù)列及其表示（含解析） 1、根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)，，，，，…； (3)，2，，8，，…； (4)5,55,555,5 555，…. 解 (1)偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負，故通項公式必含有因式(－1)n，觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項公式為an＝(－1)n(6n－5)． (2)這是一個分數(shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13,35,57,79,911，…，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積．知所求數(shù)列的一個通項公式為an＝. (3)數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察．即，，，，，…，從而可得數(shù)列的一個通項公式為an＝. (4)將原數(shù)列改寫為9，99，999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項為10n－1， 故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝(10n－1)． 2．數(shù)列0，，，，…的一個通項公式為( )． A．a(chǎn)n＝(n∈N*) B．a(chǎn)n＝(n∈N*) C．a(chǎn)n＝(n∈N*) D．a(chǎn)n＝(n∈N*) 解析 將0寫成，觀察數(shù)列中每一項的分子、分母可知，分子為偶數(shù)列，可表示為2(n－1)，n∈N*；分母為奇數(shù)列，可表示為2n－1，n∈N*，故選C. 答案 C 1、設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 解 (1)依題意，2S1＝a2－－1－， 又S1＝a1＝1，所以a2＝4； (2)由題意2Sn＝nan＋1－n3－n2－n， 所以當n≥2時， 2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1) 兩式相減得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－， 整理得(n＋1)an－nan＋1＝－n(n＋1)， 即－＝1，又－＝1， 故數(shù)列是首項為＝1，公差為1的等差數(shù)列， 所以＝1＋(n－1)1＝n，所以an＝n2. 2．若Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝，則＝( )． A. B. C. D．30 解析 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5(5＋1)＝30. 答案 D 3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2－1，則a3＝( )． A．－10 B．6 C．10 D．14 解析 a3＝S3－S2＝232－1－(222－1)＝10. 答案 C 4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝( )． A．2n－1 B.n－1 C. n－1 D. 解析 ∵Sn＝2an＋1，∴當n≥2時，Sn－1＝2an， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)， 即＝(n≥2)， 又a2＝，∴an＝n－2(n≥2)． 當n＝1時，a1＝1≠－1＝， ∴an＝ ∴Sn＝2an＋1＝2n－1＝n－1. 答案 B 5．數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6. (1)這個數(shù)列的第4項是多少？ (2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？ (3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？ 解 (1)當n＝4時，a4＝42－47＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150， 解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項． (3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)． ∴從第7項起各項都是正數(shù)． 考點：由遞推公式求數(shù)列的通項公式 1、在數(shù)列{an}中， (1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項an＝________； (2)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，則通項an＝________. 審題路線 (1)變形為an＋1－an＝n＋1?用累加法，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)?得出an. (2)變形為an＋1＋1＝3(an＋1)?再變形為＝?用累乘法或迭代法可求an. 解析 (1)由題意得，當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1. 又a1＝2＝＋1，符合上式， 因此an＝＋1. (2) an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3， 由＝3，即an＋1＋1＝3(an＋1)， 當n≥2時，an＋1＝3(an－1＋1)， ∴an＋1＝3(an－1＋1)＝32(an－2＋1)＝33(an－3＋1)＝…＝3n－1(a1＋1)＝23n－1， ∴an＝23n－1－1； 當n＝1時，a1＝1＝231－1－1也滿足． ∴an＝23n－1－1. 答案 (1)＋1 (2)23n－1－1 2、設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，則它的通項公式an＝________. 解析 ∵(n＋1)a＋an＋1an－na＝0， ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0， 又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， 即＝，∴…＝…，∴an＝. 答案 3．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式是( )． A．2n－1 B.n－1 C．n2 D．n 解析 法一 (構(gòu)造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1， ∴＝，∴數(shù)列是常數(shù)列． 且＝＝1，∴an＝n. 法二 (累乘法)：n≥2時，＝，＝. … ＝，＝， 兩邊分別相乘得＝n，又因為a1＝1，∴an＝n. 答案 D 4．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則數(shù)列{an}的通項公式為________． 解析 ∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則當n≥2時，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，兩式左右兩邊分別相減得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)．由題意知，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N*)． 答案 an＝ 考點：函數(shù)思想的應用 1、(xx新課標全國Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________． 解析 由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)， 知a1＋a10＝0，a1＋a15＝. 兩式相減，得a15－a10＝＝5d，所以d＝，a1＝－3. 所以nSn＝n[na1＋d]＝. 令f(x)＝，x＞0， 則f′(x)＝x(3x－20)，由函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)f(x)在x＝時取得最小值，檢驗n＝6時，6S6＝－48，而n＝7時，7S7＝－49，故nSn的最小值為－49. 答案?。?9 2．設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項的值是 ( )． A. B. C．4 D．0 解析 ∵an＝－32＋，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當n＝2或3時，an最大，最大為0. 答案 D 3.數(shù)列{an}的通項公式an＝－n2＋10n＋11，則該數(shù)列前________項的和最大． 解析 易知a1＝20>0，顯然要想使和最大，則應把所有的非負項求和即可，令an≥0，則－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可見，當n＝11時，a11＝0，故a10是最后一個正項，a11＝0，故前10或11項和最大． 答案 10或11 4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，則滿足an＋1＜an的n的取值為( )． A．3 B．4 C．5 D．6 解析 由an＋1＜an，得an＋1－an＝－＝＜0，解得＜n＜，又n∈N*，∴n＝5. 答案 C 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是( )． A. B. C．(1,3) D．(2,3) 解析 ∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又an＝f(n)(n∈N*)， ∴?2下載提示(請認真閱讀)
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