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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.9函數(shù)的應(yīng)用教案 理 新人教A版
xx高考會(huì)這樣考 1.綜合考查函數(shù)的性質(zhì)；2.考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及基本初等函數(shù)的建模問(wèn)題；3.考查函數(shù)的最值．
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.討論函數(shù)的性質(zhì)一定要在定義域內(nèi)；2.充分搜集、應(yīng)用題目信息，正確建立函數(shù)模型；3.注重函數(shù)與不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合．
1． 幾類函數(shù)模型及其增長(zhǎng)差異
(1)幾類函數(shù)模型
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
f(x)＝ax＋b (a、b為常數(shù)，a≠0)
反比例函
數(shù)模型
f(x)＝＋b (k，b為常數(shù)且k≠0)
二次函數(shù)模型
f(x)＝ax2＋bx＋c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
指數(shù)函數(shù)模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)
對(duì)數(shù)函數(shù)模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)
冪函數(shù)模型
f(x)＝axn＋b (a，b為常數(shù)，a≠0)
(2)三種函數(shù)模型的性質(zhì)
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長(zhǎng)速度
越來(lái)越快
越來(lái)越慢
相對(duì)平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值變化而各有不同
值的比較
存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax
22%
B．x<22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的產(chǎn)量確定
答案 B
解析 設(shè)第一年的產(chǎn)量為a，則a(1＋x)2＝a(1＋44%)，
∴x＝20%.
5． (xx東莞一模)某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，已知倉(cāng)庫(kù)每月占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比．據(jù)測(cè)算，如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站 ( )
A．5千米處 B．4千米處
C．3千米處 D．2千米處
答案 A
解析 由題意得，y1＝，y2＝k2x，其中x>0，當(dāng)x＝10時(shí)，代入兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，可得k1＝20，k2＝，y1＋y2＝＋x≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝x，
即x＝5時(shí)取等號(hào)，故選A.
題型一 二次函數(shù)模型
例1 某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量
x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．
(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？
最大利潤(rùn)是多少？
思維啟迪：(1)根據(jù)函數(shù)模型，建立函數(shù)解析式．(2)求函數(shù)最值．
解 (1)每噸平均成本為(萬(wàn)元)．
則＝＋－48≥2－48＝32，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝200時(shí)取等號(hào)．
∴年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬(wàn)元．
(2)設(shè)可獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元，
則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)，∴x＝210時(shí)，
R(x)有最大值為－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1 660萬(wàn)元．
探究提高 二次函數(shù)是常用的函數(shù)模型，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域或最
值．解決實(shí)際中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，一定要分析自變量的取值范圍．利用配方法求最值時(shí)，
一定要注意對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系：若對(duì)稱軸在給定的區(qū)間內(nèi)，可在對(duì)稱軸處取一最
值，在離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取另一最值；若對(duì)稱軸不在給定的區(qū)間內(nèi)，最值都在區(qū)間
的端點(diǎn)處取得．
某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3 000＋20x－0.1x2 (00)．
(1)如果m＝2，求經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；
(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．
解 (1)若m＝2，則θ＝22t＋21－t＝2，
當(dāng)θ＝5時(shí)，2t＋＝，令2t＝x≥1，則x＋＝，
即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)，此時(shí)t＝1.
所以經(jīng)過(guò)1分鐘，物體的溫度為5攝氏度．
(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立，
亦m2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立．
令＝x，則020，
x－2 008>＝＝28.7，
則x>2 036.7，即x＝2 037.
三、解答題(共25分)
8． (12分)
如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b (a>b)．在AB、AD、CD、CB上分別截取AE、AH、CG、CF都等于x，當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？求出這個(gè)最大面積．
解 設(shè)四邊形EFGH的面積為S，
由題意得S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DHG＝(a－x)(b－x)．
由此得S＝ab－2
＝－2x2＋(a＋b)x＝－22＋.
函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0b>0，所以0b，即a>3b時(shí)，函數(shù)S＝－22＋在(0，b]上是增函數(shù)，因此，當(dāng)x＝b時(shí)，面積S取得最大值ab－b2.
綜上可知，若a≤3b，當(dāng)x＝時(shí)，四邊形EFGH的面積取得最大值；若a>3b，
當(dāng)x＝b時(shí)，四邊形EFGH的面積取得最大值ab－b2.
9． (13分)某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為t，市場(chǎng)價(jià)格x(單位：千元)與市場(chǎng)供應(yīng)量p(單位：萬(wàn)
件)之間近似滿足關(guān)系式：p＝2(1－kt)(k－b)2，其中k，b均為常數(shù)．當(dāng)關(guān)稅稅率t＝75%
時(shí)，若市場(chǎng)價(jià)格為5千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量為1萬(wàn)件；若市場(chǎng)價(jià)格為7千元，則市場(chǎng)供應(yīng)
量約為2萬(wàn)件．
(1)試確定k，b的值；
(2)市場(chǎng)需求量q(單位：萬(wàn)件)與市場(chǎng)價(jià)格x近似滿足關(guān)系式：q＝2－x，當(dāng)p＝q時(shí)，市場(chǎng)
價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格，當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格不超過(guò)4千元時(shí)，試確定關(guān)稅稅率的最大值．
解 (1)由已知，
?.
解得b＝5，k＝1.
(2)當(dāng)p＝q時(shí)，2(1－t)(x－5)2＝2－x，
∴(1－t)(x－5)2＝－x?t＝1＋＝1＋
而f(x)＝x＋在(0,4]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)有最小值，
故當(dāng)x＝4時(shí)，關(guān)稅稅率的最大值為500%.
B組 專項(xiàng)能力提升
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． 某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2
＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得最大利潤(rùn)為 ( )
A．45.606萬(wàn)元 B．45.6萬(wàn)元
C．45.56萬(wàn)元 D．45.51萬(wàn)元
答案 B
解析 依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，總利潤(rùn)S＝L1＋L2，則總利潤(rùn)S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.1510.22＋30 (x≥0)．∴當(dāng)x＝10時(shí)，Smax＝45.6(萬(wàn)元)．
2．
某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開(kāi)源節(jié)流，現(xiàn)要從這些
邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x、y應(yīng)為 ( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
答案 A
解析 由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，
∴當(dāng)y＝12時(shí)，S有最大值，此時(shí)x＝15.
3． (xx江西)如圖，
已知正四棱錐S－ABCD所有棱長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于SC
的截面將正四棱錐分成上、下兩部分．記SE＝x(0
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