2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.4數(shù)列求和教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.4數(shù)列求和教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.考查等差、等比數(shù)列的求和;2.以數(shù)列求和為載體,考查數(shù)列求和的各種方法和技巧;3.綜合考查數(shù)列和集合、函數(shù)、不等式、解析幾何、概率等知識(shí)的綜合問(wèn)題. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.靈活掌握數(shù)列由遞推式求通項(xiàng)公式的幾種方法;2.掌握必要的化歸方法與求和技巧,根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),巧妙解決數(shù)列求和的問(wèn)題. 1. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn==na1+d,推導(dǎo)方法:倒序相加法; 等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn= 推導(dǎo)方法:乘公比,錯(cuò)位相減法. 2. 數(shù)列求和的常用方法 (1)分組求和:把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列. (2)拆項(xiàng)相消:有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式,相加過(guò)程消去中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)再求和. (3)錯(cuò)位相減:適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和. (4)倒序相加:例如,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo). (5)并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 3. 常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式 (1)=-; (2)=; (3)=-. [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 解決非等差、等比數(shù)列的求和,主要有兩種思路 (1)轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成. (2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列,往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來(lái)求和. 2. 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)列問(wèn)題的基本思想方法,它可將復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題來(lái)解決. 1. 在等差數(shù)列{an}中,Sn表示前n項(xiàng)和,a2+a8=18-a5,則S9=________. 答案 54 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì),a2+a8=18-a5, 即2a5=18-a5,∴a5=6, ∴S9==9a5=54. 2. 等比數(shù)列{an}的公比q=,a8=1,則S8=________. 答案 255 解析 由a8=1,q=得a1=27, ∴S8===28-1=255. 3. 若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1n,則S50=________. 答案?。?5 解析 S50=1-2+3-4+…+49-50=(-1)25=-25. 4. (xx天津)已知{an}為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項(xiàng),Sn為{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*,則S10的值為 ( ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 答案 D 解析 ∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又∵a7是a3與a9的等比中項(xiàng),∴(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20. ∴S10=1020+109(-2)=110. 5. (xx大綱全國(guó))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 利用裂項(xiàng)相消法求和. 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d. ∵a5=5,S5=15, ∴∴ ∴an=a1+(n-1)d=n. ∴==-, ∴數(shù)列的前100項(xiàng)和為1-+-+…+-=1-=. 題型一 分組轉(zhuǎn)化求和 例1 已知數(shù)列{xn}的首項(xiàng)x1=3,通項(xiàng)xn=2np+nq (n∈N*,p,q為常數(shù)),且x1,x4,x5成等差數(shù)列.求: (1)p,q的值; (2)數(shù)列{xn}前n項(xiàng)和Sn的公式. 思維啟迪:第(1)問(wèn)由已知條件列出關(guān)于p、q的方程組求解;第(2)問(wèn)分組后用等差、等比數(shù)列的求和公式求解. 解 (1)由x1=3,得2p+q=3,又因?yàn)閤4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q, 解得p=1,q=1. (2)由(1),知xn=2n+n, 所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n) =2n+1-2+. 探究提高 某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差,從而求得原數(shù)列的和,這就要通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析研究,將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化.特別注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論. 求和Sn=1+++…+. 解 和式中第k項(xiàng)為 ak=1+++…+==2. ∴Sn=2 =2[(1+1+…+1-(++…+)] =2=+2n-2. 題型二 錯(cuò)位相減法求和 例2 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng); (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 思維啟迪:(1)由已知寫出前n-1項(xiàng)之和,兩式相減.(2)bn=n3n的特點(diǎn)是數(shù)列{n}與{3n}之積,可用錯(cuò)位相減法. 解 (1)∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,① ∴當(dāng)n≥2時(shí), a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=,② ①-②得3n-1an=,∴an=. 在①中,令n=1,得a1=,適合an=,∴an=. (2)∵bn=,∴bn=n3n. ∴Sn=3+232+333+…+n3n,③ ∴3Sn=32+233+334+…+n3n+1.④ ④-③得2Sn=n3n+1-(3+32+33+…+3n), 即2Sn=n3n+1-,∴Sn=+. 探究提高 解答本題的突破口在于將所給條件式視為數(shù)列{3n-1an}的前n項(xiàng)和,從而利用an與Sn的關(guān)系求出通項(xiàng)3n-1an,進(jìn)而求得an;另外乘公比錯(cuò)位相減是數(shù)列求和的一種重要方法,但值得注意的是,這種方法運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜,運(yùn)算量大,應(yīng)加強(qiáng)對(duì)解題過(guò)程的訓(xùn)練,重視運(yùn)算能力的培養(yǎng). (xx遼寧)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 由已知條件可得解得. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n. (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn, 即Sn=a1++…+,① 故S1=1,=++…+.② 所以,當(dāng)n>1時(shí),①-②得 =a1++…+- =1-(++…+)- =1-(1-)-=. 所以Sn=.當(dāng)n=1時(shí)也成立. 綜上,數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=. 題型三 裂項(xiàng)相消法求和 例3 在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),其前n項(xiàng)和Sn滿足S=an. (1)求Sn的表達(dá)式; (2)設(shè)bn=,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 思維啟迪:第(1)問(wèn)利用an=Sn-Sn-1 (n≥2)后,再同除Sn-1Sn轉(zhuǎn)化為的等差數(shù)列即可求Sn. 第(2)問(wèn)求出{bn}的通項(xiàng)公式,用裂項(xiàng)相消求和. 解 (1)∵S=an, an=Sn-Sn-1 (n≥2), ∴S=(Sn-Sn-1), 即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① 由題意Sn-1Sn≠0, ①式兩邊同除以Sn-1Sn,得-=2, ∴數(shù)列是首項(xiàng)為==1,公差為2的等差數(shù)列. ∴=1+2(n-1)=2n-1,∴Sn=. (2)又bn== =, ∴Tn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)] ==. 探究提高 使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn),實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的. 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=,n∈N*. (1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列; (2)設(shè)bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn. (1)證明 ∵Sn=,n∈N*, ∴當(dāng)n=1時(shí),a1=S1= (an>0),∴a1=1. 當(dāng)n≥2時(shí),由 得2an=a+an-a-an-1. 即(an+an-1)(an-an-1-1)=0, ∵an+an-1>0,∴an-an-1=1(n≥2). 所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列. (2)解 由(1)可得an=n,Sn=, bn===-. ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn =1-+-+…+- =1-=. 四審結(jié)構(gòu)定方案 典例:(12分)已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)求an及Sn; (2)令bn=(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 審題路線圖 等差數(shù)列{an}中,特定項(xiàng)的值 ↓(a3,a5,a7即為特定項(xiàng)) a3=7,a5+a7=26 ↓(從特定項(xiàng),考慮基本量a1,d) 列方程組 ↓(根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征,確定了方程的方法) 用公式:an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d. ↓(將an代入化簡(jiǎn)求bn) bn= ↓(根據(jù)bn的結(jié)構(gòu)特征,確定裂項(xiàng)相消) bn= ↓Tn= ==. 規(guī)范解答 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d. 因?yàn)閍3=7,a5+a7=26,所以 解得[4分] 所以an=3+2(n-1)=2n+1, Sn=3n+2=n2+2n.[6分] (2)由(1)知an=2n+1, 所以bn=== =,[8分] 所以Tn=(1-+-+…+-)[10分] =(1-)=, 即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=.[12分] 溫馨提醒 本題審題的關(guān)鍵有兩個(gè)環(huán)節(jié).一是根據(jù)a3=7,a5+a7=26的特征,確定列方程組求解.二是根據(jù)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn=的特征,確定用裂項(xiàng)相消法求和.所以,在審題時(shí),要根據(jù)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征確定解題方案. 方法與技巧 數(shù)列求和的方法技巧 (1)倒序相加:用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和. (2)錯(cuò)位相減:用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和. (3)分組求和:用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和. 失誤與防范 1.通過(guò)數(shù)列通項(xiàng)公式觀察數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律,在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上,判斷求和類型,尋找求和的方法,或拆為基本數(shù)列求和,或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和.求和過(guò)程中同時(shí)要對(duì)項(xiàng)數(shù)作出準(zhǔn)確判斷. 2.含有字母的數(shù)列求和,常伴隨著分類討論. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1,其前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為 ( ) A.120 B.70 C.75 D.100 答案 C 解析 ∵=n+2,∴的前10項(xiàng)和為103+=75. 2. 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a9+3a11<0,a10a11<0,且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值,那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí),n等于 ( ) A.20 B.17 C.19 D.21 答案 C 解析 由a9+3a11<0,得2a10+2a11<0,即a10+a11<0,又a10a11<0,則a10與a11異號(hào),因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值,所以數(shù)列{an}是一個(gè)遞減數(shù)列,則a10>0,a11<0,所以S19==19a10>0,S20==10(a10+a11)<0. 3. 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 ( ) A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2 答案 C 解析 Sn=+=2n+1-2+n2. 4. 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n-1(4n-3),則它的前100項(xiàng)之和S100等于( ) A.200 B.-200 C.400 D.-400 答案 B 解析 S100=(41-3)-(42-3)+(43-3)-…-(4100-3)=4[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4(-50)=-200. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n (n∈N*),則S100=________. 答案 2 600 解析 由an+2-an=1+(-1)n知a2k+2-a2k=2, a2k+1-a2k-1=0,∴a1=a3=a5=…=a2n-1=1,數(shù)列{a2k}是等差數(shù)列,a2k=2k. ∴S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100) =50+(2+4+6+…+100)=50+=2 600. 6. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+2,則|a1|+|a2|+…+|a10|=________. 答案 66 解析 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-1. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-5. ∴an=. 令2n-5≤0,得n≤, ∴當(dāng)n≤2時(shí),an<0,當(dāng)n≥3時(shí),an>0, ∴|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=66. 7. (xx課標(biāo)全國(guó))數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項(xiàng)和為_(kāi)_______. 答案 1 830 解析 利用數(shù)列的遞推式的意義結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解. ∵an+1+(-1)nan=2n-1, ∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1, ∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234 ==1 830. 三、解答題(共22分) 8. (10分)求和:(1)Sn=++++…+; (2)Sn=2+2+…+2. 解 (1)由于an==n+, ∴Sn=+++…+ =(1+2+3+…+n)+ =+=-+1. (2)當(dāng)x=1時(shí),Sn=4n.當(dāng)x≠1時(shí), Sn=2+2+…+2 =++…+ =(x2+x4+…+x2n)+2n+ =++2n =+2n. ∴Sn= 9. (12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)當(dāng)bn=log(3an+1)時(shí),求證:數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn=. (1)解 由已知得 (n≥2), 得到an+1=an (n≥2). ∴數(shù)列{an}是以a2為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列. 又a2=S1=a1=, ∴an=a2n-2 =n-2 (n≥2). ∴an= (2)證明 bn=log(3an+1)=log=n. ∴==-. ∴Tn=+++…+ =+++…+ =1-=. B組 專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù),數(shù)列{bn}滿足bn=lg an,b3=18,b6=12,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最大值等于 ( ) A.126 B.130 C.132 D.134 答案 C 解析 bn+1-bn=lg an+1-lg an=lg =lg q(常數(shù)), ∴{bn}為等差數(shù)列.∴∴ 由bn=-2n+24≥0,得n≤12,∴{bn}的前11項(xiàng)為正,第12項(xiàng)為零,從第13項(xiàng)起為負(fù),∴S11、S12最大且S11=S12=132. 2. 數(shù)列an=,其前n項(xiàng)之和為,則在平面直角坐標(biāo)系中,直線(n+1)x+y+n=0在y軸上的截距為 ( ) A.-10 B.-9 C.10 D.9 答案 B 解析 數(shù)列的前n項(xiàng)和為 ++…+=1-==, ∴n=9,∴直線方程為10x+y+9=0. 令x=0,得y=-9,∴在y軸上的截距為-9. 3. 已知數(shù)列2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,…這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和,則這個(gè)數(shù)列的前2 013項(xiàng)之和S2 013等于 ( ) A.1 B.2 010 C.4 018 D.0 答案 C 解析 由已知得an=an-1+an+1 (n≥2),∴an+1=an-an-1. 故數(shù)列的前8項(xiàng)依次為2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,-1,2 008,2 009.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列,周期為6,且S6=0.∵2 013=6335+3,∴S2 013=S3=4 018. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則a+a+…+a=________. 答案 (4n-1) 解析 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1, 又∵a1=1適合上式.∴an=2n-1,∴a=4n-1. ∴數(shù)列{a}是以a=1為首項(xiàng),以4為公比的等比數(shù)列. ∴a+a+…+a==(4n-1). 5. 若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列,且++…+=n2+3n (n∈N*),則++…+=__________. 答案 2n2+6n 解析 令n=1得=4,即a1=16,當(dāng)n≥2時(shí),=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2,所以an=4(n+1)2,當(dāng)n=1時(shí),也適合上式,所以an=4(n+1)2 (n∈N*).于是=4(n+1),故++…+=2n2+6n. 6. 已知數(shù)列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,則這個(gè)數(shù)列前30項(xiàng)的絕對(duì)值的和是________. 答案 765 解析 由題意知{an}是等差數(shù)列,an=-60+3(n-1)=3n-63,令an≥0,解得n≥21. ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30| =-(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30) =S30-2S20=-(-60+60-63)20=765. 三、解答題 7. (13分)(xx四川)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2an=S2+Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立. (1)求a1,a2的值; (2)設(shè)a1>0,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,當(dāng)n為何值時(shí),Tn最大?并求出Tn的最大值. 解 (1)取n=1,得a2a1=S2+S1=2a1+a2,① 取n=2,得a=2a1+2a2.② 由②-①,得a2(a2-a1)=a2.③ 若a2=0,由①知a1=0; 若a2≠0,由③知a2-a1=1.④ 由①④解得a1=+1,a2=2+或a1=1-, a2=2-. 綜上可得,a1=0,a2=0或a1=+1,a2=+2或a1=1-,a2=2-. (2)當(dāng)a1>0時(shí),由(1)知a1=+1,a2=+2. 當(dāng)n≥2時(shí),有(2+)an=S2+Sn, (2+)an-1=S2+Sn-1. 所以(1+)an=(2+)an-1,即an=an-1(n≥2). 所以an=a1()n-1=(+1)()n-1. 令bn=lg , 則bn=1-lg()n-1=1-(n-1)lg 2=lg . 所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列. 從而b1>b2>…>b7=lg >lg 1=0. 當(dāng)n≥8時(shí),bn≤b8=lg- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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