2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)3.2 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 3.2.2 對數(shù)函數(shù)教案 新人教B版必修1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)3.2 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 3.2.2 對數(shù)函數(shù)教案 新人教B版必修1 教學(xué)分析 有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷,以及對數(shù)知識的知識準(zhǔn)備,對數(shù)函數(shù)概念的引入、對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究便水到渠成. 對數(shù)函數(shù)的概念是通過實際問題引入的,既說明對數(shù)函數(shù)的概念來自實踐,又便于學(xué)生接受.在教學(xué)中,學(xué)生往往容易忽略對數(shù)函數(shù)的定義域,因此,在進(jìn)行定義教學(xué)時,要結(jié)合指數(shù)式強(qiáng)調(diào)說明對數(shù)函數(shù)的定義域,加強(qiáng)對對數(shù)函數(shù)定義域為(0,+∞)的理解.在理解對數(shù)函數(shù)概念的基礎(chǔ)上掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),是本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn),而理解底數(shù)a的值對于函數(shù)值變化的影響(即對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響)是教學(xué)的一個難點(diǎn),教學(xué)時要充分利用圖象,數(shù)形結(jié)合,幫助學(xué)生理解. 為了便于學(xué)生理解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),教學(xué)時可以先讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=log2x和y=logx的圖象,通過兩個具體的例子,引導(dǎo)學(xué)生共同分析它們的性質(zhì).有條件的學(xué)校也可以利用《幾何畫板》軟件,定義變量a,作出函數(shù)y=logax的圖象,通過改變a的值,在動態(tài)變化的過程中讓學(xué)生認(rèn)識對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì). 研究了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)之后,可以將對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行比較,以便加深學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)的理解,同時也可以為反函數(shù)的概念的引出作一些準(zhǔn)備. 三維目標(biāo) 1.理解對數(shù)函數(shù)的概念,掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 2.了解對數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)實際中的簡單應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力和與人合作精神,用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析問題,通過對對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí),滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想. 3.能根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象,畫出含有對數(shù)式的函數(shù)的圖象,并研究它們的有關(guān)性質(zhì),使學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析、解決問題. 4.認(rèn)識事物之間的相互轉(zhuǎn)化,通過師生雙邊活動使學(xué)生掌握比較同底對數(shù)大小的方法,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識. 5.掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其判定,會進(jìn)行同底數(shù)的對數(shù)和不同底數(shù)的對數(shù)的大小比較,加深對對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解,深化學(xué)生對函數(shù)圖象變化規(guī)律的理解. 6.通過對數(shù)函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的研究,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的思維能力以及數(shù)學(xué)交流能力,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性,同時培養(yǎng)學(xué)生傾聽、接受別人意見的優(yōu)良品質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì);對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的初步應(yīng)用,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較同底對數(shù)大小,對數(shù)函數(shù)的特性以及函數(shù)的通性在解決有關(guān)問題中的靈活應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn):底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響,不同底數(shù)的對數(shù)比較大小,單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明. 課時安排 1課時 導(dǎo)入新課 思路1.考古學(xué)家一般通過提取附著在出土文物、古遺址上死亡物體的殘留物,利用t=logP估算出土文物或古遺址的年代.根據(jù)問題的實際意義可知,對于每一個碳14含量P,通過對應(yīng)關(guān)系t=logP都有唯一確定的年代t與它對應(yīng),所以t是P的函數(shù).同理,對于每一個對數(shù)式y(tǒng)=logax中的x,任取一個正的實數(shù)值,y均有唯一的值與之對應(yīng),所以y=logax是關(guān)于x的函數(shù).這就是本節(jié)課的主要內(nèi)容,教師點(diǎn)出課題:對數(shù)函數(shù). 思路2.我們研究指數(shù)函數(shù)時,曾經(jīng)討論過細(xì)胞分裂問題,某種細(xì)胞分裂時,得到的細(xì)胞的個數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù),這個函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)y=2x表示.現(xiàn)在,我們來研究相反的問題,如果要求這種細(xì)胞經(jīng)過多少次分裂,大約可以得到1萬個,10萬個,……細(xì)胞,那么,分裂次數(shù)x就是要得到的細(xì)胞個數(shù)y的函數(shù).根據(jù)對數(shù)的定義,這個函數(shù)可以寫成對數(shù)的形式就是x=log2y.如果用x表示自變量,y表示函數(shù),這個函數(shù)就是y=log2x.這一節(jié),我們來研究與指數(shù)函數(shù)密切相關(guān)的函數(shù)——對數(shù)函數(shù).教師點(diǎn)出課題:對數(shù)函數(shù). 推進(jìn)新課 (1)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,寫出存留污垢x表示的漂洗次數(shù)y的關(guān)系式,請根據(jù)關(guān)系式計算若要使存留的污垢,不超過原有的,則至少要漂洗幾次? (2)你是否能根據(jù)上面的函數(shù)關(guān)系式,給出一個一般性的概念? (3)為什么對數(shù)函數(shù)的概念中明確規(guī)定a>0,a≠1? (4)你能求出對數(shù)函數(shù)的定義域、值域嗎? (5)如何根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否是一個對數(shù)函數(shù)?請你說出它的步驟. 活動:先讓學(xué)生仔細(xì)審題,交流討論,然后回答,教師提示引導(dǎo),及時鼓勵表揚(yáng)給出正確結(jié)論的學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生在不斷探索中提高自己應(yīng)用知識的能力,教師巡視,個別輔導(dǎo),評價學(xué)生的結(jié)論. 討論結(jié)果:(1)若每次能洗去污垢的,則每次剩余污垢的,漂洗1次存留污垢x=,漂洗2次存留污垢x=()2,…,漂洗y次后存留污垢x=()y,因此y用x表示的關(guān)系式是對上式兩邊取對數(shù)得y=x,當(dāng)x=時,y=3,因此至少要漂洗3次. (2)對于式子y=x,如果用字母a替代,這就是一般性的結(jié)論,即對數(shù)函數(shù)的定義: 根據(jù)對數(shù)式x=logay(a>0,a≠1), 對于y在正實數(shù)集內(nèi)的每一個確定的值,在實數(shù)集R內(nèi)都有唯一確定的x值和它對應(yīng). 根據(jù)函數(shù)的定義,這個式子確定了正實數(shù)集上的一個函數(shù)關(guān)系,其中y是自變量,x是因變量.函數(shù)x=logay(a>0,a≠1,y>0)叫做對數(shù)函數(shù).它的定義域是正實數(shù)集,值域是實數(shù)集R. 由對數(shù)函數(shù)的定義可知,在指數(shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)y=logay中,x,y兩個變量之間的關(guān)系是一樣的.所不同的只是在指數(shù)函數(shù)y=ax里,x當(dāng)作自變量,y當(dāng)作因變量,而在對數(shù)函數(shù)x=logay中,y當(dāng)作自變量,x是因變量.習(xí)慣上,常用x表示自變量,y表示因變量,因此對數(shù)函數(shù)通常寫成y=logax(a>0,a≠1,x>0). (3)根據(jù)對數(shù)與指數(shù)式的關(guān)系,知y=logax可化為ay=x,由指數(shù)的概念,要使ay=x有意義,必須規(guī)定a>0,a≠1. (4)因為y=logax可化為x=ay,不管y取什么值,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)ay>0,所以x∈(0,+∞),對數(shù)函數(shù)的值域為R. (5)只有形如y=logax(a>0,a≠1,x>0)的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù),即對數(shù)符號前面的系數(shù)為1,底數(shù)是正常數(shù),真數(shù)是x的形式,否則就不是對數(shù)函數(shù).像y=loga(x+1),y=2logax,y=logax+1等函數(shù),它們是由對數(shù)函數(shù)變化而得到的,都不是對數(shù)函數(shù). x … 1 2 4 8 … y=log2x … -2 -1 0 1 2 3 … 再用描點(diǎn)法畫出圖象如下圖. 方法二:畫出函數(shù)x=log2y的圖象,再變換為y=log2x的圖象. 由于指數(shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)x=logay所表示的x和y這兩個變量間的關(guān)系是一樣的,因而函數(shù)x=log2y和y=2x的圖象是一樣的(如下圖(1)). 用x表示自變量,把x軸、y軸的位置互換,就得到y(tǒng)=log2x的圖象(如下圖(2)). 習(xí)慣上,x軸在水平位置,y軸在豎直位置,把上圖(2)翻轉(zhuǎn),使x軸在水平位置,得到通常的y=log2x的圖象(如上圖(3)). 觀察對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象,過點(diǎn)(1,0),即x=1時,y=0;函數(shù)圖象都在y軸右邊,表示了零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù);當(dāng)x>1時,y=log2x的圖象位于x軸上方,即x>1時,y>0;函數(shù)y=log2x在(0,+∞)上是增函數(shù). 對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1),在其底數(shù)a>1及0<a<1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)可以總結(jié)如下表. a>1 0<a<1 圖象 性質(zhì) (1)定義域:(0,+∞) (1)定義域:(0,+∞) (2)值域:R (2)值域:R (3)過點(diǎn)(1,0),即x=1時,y=0 (3)過點(diǎn)(1,0),即x=1時,y=0 (4)當(dāng)x>1時,y>0; 當(dāng)0<x<1時,y<0 (4)當(dāng)x>1時,y<0; 當(dāng)0<x<1時,y>0 (5)是(0,+∞)上的增函數(shù) (5)是(0,+∞)上的減函數(shù) 思路1 例1求下列函數(shù)的定義域: (1)y=logax2;(2)y=loga(4-x). 解:(1)要使函數(shù)有意義,必須x2>0,即x≠0,所以函數(shù)y=logax2的定義域是{x|x≠0},或記為(-∞,0)∪(0,+∞). (2)要使函數(shù)有意義,必須4-x>0,即x<4,所以函數(shù)y=loga(4-x)的定義域是(-∞,4). 點(diǎn)評:該題主要考查對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì),根據(jù)函數(shù)的解析式,列出相應(yīng)不等式或不等式組,解不等式或不等式組即可. 變式訓(xùn)練 求下列函數(shù)的定義域: (1)y=log3(2x+2);(2)y=log(x-2)(x-1). 答案:(1)(-1,+∞);(2)(2,3)∪(3,+∞). 例2 (1)比較log23與log23.5的大??; (2)已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),求m的取值范圍. 解:(1)考察函數(shù)y=log2x,它在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù). 因為3<3.5,所以log23<log23.5; (2)考察函數(shù)y=log0.7x,它在(0,+∞)上是減函數(shù). 因為log0.7(2m)<log0.7(m-1),所以2m>m-1>0. 由得m>1. 點(diǎn)評:對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于對數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1.而已知條件并未指明時,需要對底數(shù)a進(jìn)行討論,體現(xiàn)了分類討論的思想,要求學(xué)生逐步掌握.同時本題采用了多種解法,從中還體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,要注意體會和運(yùn)用. 變式訓(xùn)練 比較下列各組數(shù)中的兩個值的大?。? (1)log25.3,log24.7;(2)log0.27,log0.29;(3)log3π,logπ3;(4)loga3.1,loga5.2(a>0,a≠1). 解:(1)解法一:用圖形計算器或多媒體畫出對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象,如下圖. 在圖象上,橫坐標(biāo)為4.7的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為5.3的點(diǎn)的下方, 所以log24.7<log25.3. 解法二:由函數(shù)y=log2x在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),且4.7<5.3, 所以log24.7<log25.3. (2)因為0.2<1,函數(shù)y=log0.2x是減函數(shù),7<9,所以log0.27>log0.29. (3)解法一:因為函數(shù)y=log3x和函數(shù)y=logπx都是定義域上的增函數(shù),所以logπ3<logππ=1=log33<log3π.所以logπ3<log3π. 解法二:直接利用對數(shù)的性質(zhì),logπ3<1,而log3π>1,因此logπ3<log3π. (4)當(dāng)a>1時,y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),且3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2. 當(dāng)0<a<1時,y=logax在(0,+∞)上是減函數(shù),且3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2. 思路2 例1已知f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,試比較f(x)與g(x)的大?。? 活動:學(xué)生先思考討論,再交流回答,教師要求學(xué)生展示自己的思維過程,教師根據(jù)實際,可以提示引導(dǎo).學(xué)生回憶數(shù)的大小的比較方法,選擇合適的.要比較兩個代數(shù)式的大小,通常采取作差法或作商法,作差時,所得差同零比較;作商時,應(yīng)先分清代數(shù)式的正負(fù),再將商同“1”比較大小.因為本題中的f(x)與g(x)的正負(fù)不確定,所以采取作差比較法. 解:f(x),g(x)的定義域都是(0,1)∪(1,+∞). f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx. (1)當(dāng)0<x<1時,若0<x<1,即0<x<,此時logxx>0,即0<x<1時,f(x)>g(x);若x≥1,即x≥,這與0<x<1相矛盾. (2)當(dāng)x>1時,若x>1,即x>,此時logxx>0,即x>時,f(x)>g(x); 若x=1,即x=,此時logxx=0,即x=時,f(x)=g(x); 若0<x<1,即0<x<,此時logxx<0,即1<x<時,f(x)<g(x). 綜上所述,當(dāng)x∈(0,1)∪(,+∞)時,f(x)>g(x); 當(dāng)x=時,f(x)=g(x);當(dāng)x∈(1,)時,f(x)<g(x). 點(diǎn)評:對數(shù)值的正負(fù)取決于對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的關(guān)系.而已知條件并未指明時,需要對底數(shù)和真數(shù)進(jìn)行討論,體現(xiàn)了分類討論的思想,要求學(xué)生逐步掌握,注意體會和運(yùn)用. 變式訓(xùn)練 已知logm5<logn5,比較m、n的大?。? 活動:學(xué)生觀察思考,交流探討,教師提示,并評價學(xué)生的思維過程.已知對數(shù)式的大小關(guān)系,要求我們確定底數(shù)的大小關(guān)系,若變量在真數(shù)位置上,我們就可以解決這個問題了,我們設(shè)法對原式進(jìn)行變換使變量在真數(shù)位置上,我們知道log5m和logm5的關(guān)系是倒數(shù)關(guān)系,有了這個關(guān)系,題中已知條件就變?yōu)椋?,由已知條件知道m(xù)、n都大于0,且都不等于1,據(jù)此確定m、n的大小關(guān)系. 解:因為logm5<logn5,所以<. ①當(dāng)m>1,n>1時,得0<<, 所以log5n<log5m.所以m>n>1. ②當(dāng)0<m<1,0<n<1時,得<<0, 所以log5n<log5m.所以0<n<m<1. ③當(dāng)0<m<1,n>1時,得log5m<0,log5n>0, 所以0<m<1,n>1.所以0<m<1<n. 綜上所述,m、n的大小關(guān)系為m>n>1或0<n<m<1或0<m<1<n. 例2求函數(shù)y=log2(x2-x-6)的單調(diào)區(qū)間,并證明. 活動:學(xué)生先思考或討論,再回答.教師根據(jù)實際,可以提示引導(dǎo).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般用定義法,有時也利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.定義法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其步驟是:①確定函數(shù)的定義域,在定義域內(nèi)任取兩個變量x1和x2,通常令x1<x2;②通過作差比較f(x1)和f(x2)的大小,來確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間(注意保持變量x1和x2的“任意性”);③再歸納結(jié)論. 解法一:由x2-x-6>0,得x<-2或x>3,不妨設(shè)x1<x2<-2, 則f(x1)-f(x2)=log2(x-x1-6)-log2(x-x2-6)=log2=log2. 因為x1<x2<-2,所以x1-3<x2-3<0,x1+2<x2+2<0.所以>1. 所以log2=log2>0, 即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). 所以函數(shù)f(x)=log2(x2-x-6)在區(qū)間(-∞,-2)上是減函數(shù). 同理,函數(shù)f(x)=log2(x2-x-6)在區(qū)間(3,+∞)上是增函數(shù). 解法二:令u=x2-x-6,則y=log2u. 因為y=log2u為u的增函數(shù),所以當(dāng)u為x的增函數(shù)時,y為x的增函數(shù); 當(dāng)u為x的減函數(shù)時,y為x的減函數(shù). 由x2-x-6>0,得x<-2或x>3,借助于二次函數(shù)的圖象,可知 當(dāng)x∈(-∞,-2)時,u是x的減函數(shù), 當(dāng)x∈(3,+∞)時,u是x的增函數(shù). 所以原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-2),單調(diào)增區(qū)間是(3,+∞). 點(diǎn)評:本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法.一般地,設(shè)函數(shù)y=f(u),u=g(x)都是給定區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).若y=f(u),u=g(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性相同,則函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù);若y=f(u),u=g(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性相反,則函數(shù)y=f[g(x)]是減函數(shù). 1.函數(shù)y=的定義域是( ) A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞) 2.求y=log0.3(x2-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間. 3.求函數(shù)y=log2(x2-4x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 4.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),求a的取值范圍. 答案:1.D 要使函數(shù)有意義,需log2x-2≥0,log2x≥2,x≥4,因此函數(shù)的定義域是[4,+∞). 2.先求定義域:由x2-2x>0,得x(x-2)>0,所以x<0或x>2. 因為函數(shù)y=log0.3t是減函數(shù),故所求單調(diào)減區(qū)間即為t=x2-2x在定義域內(nèi)的增區(qū)間. 又t=x2-2x的對稱軸為x=1,所以所求單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+∞). 3.先求定義域:由x2-4x>0得x(x-4)>0,所以x<0或x>4. 又函數(shù)y=log2t是增函數(shù),故所求單調(diào)遞增區(qū)間即為t=x2-4x在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間. 因為t=x2-4x的對稱軸為x=2, 所以所求單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞). 4.解:因為a>0且a≠1, (1)當(dāng)a>1時,函數(shù)t=2-ax>0是減函數(shù); 由y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),知y=logat是增函數(shù),所以a>1; 由x∈[0,1]時,2-ax≥2-a>0,得a<2,所以1<a<2. (2)當(dāng)0<a<1時,函數(shù)t=2-ax>0是增函數(shù); 由y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),知y=logat是減函數(shù), 所以0<a<1. 由x∈[0,1]時,2-ax≥2-1>0,所以0<a<1. 綜上所述,0<a<1或1<a<2. 探究y=logax的圖象隨a的變化而變化的情況. 用計算機(jī)先畫出y=log2x,y=log3x,y=log5x,y=logx,y=logx的圖象,如下圖. 通過觀察圖象可總結(jié)如下規(guī)律:當(dāng)a>1時,a值越大,y=logax的圖象越靠近x軸;當(dāng)0<a<1時,a值越大,y=logax的圖象越遠(yuǎn)離x軸. 1.對數(shù)函數(shù)的概念. 2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì). 課本習(xí)題3—2 A 4、5. 本堂課主要是復(fù)習(xí)對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì),是在以前基礎(chǔ)上的提高與深化,它起著承上啟下的作用,側(cè)重于對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,同時又兼顧了高考??嫉膬?nèi)容,對于對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性需嚴(yán)格按定義來加以論證,對于對數(shù)函數(shù)的奇偶性的判定也要按定義來加以論證,這類問題不但技巧性較強(qiáng),而且涉及面廣,容量大,因此要集中精力,提高學(xué)生興趣,加快速度,高質(zhì)量完成教學(xué)任務(wù).- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)3.2 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 3.2.2 對數(shù)函數(shù)教案 新人教B版必修1 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 第三 基本 初等 函數(shù) 3.2 對數(shù) 教案 新人
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