（山東專版）2019版中考數(shù)學總復習 第四章 圖形的認識 4.2 三角形及其全等（試卷部分）課件.ppt

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4.2 三角形及其全等,中考數(shù)學 (山東專用),A組 2014—2018年山東中考題組 考點一 三角形的相關概念及邊角性質,五年中考,1.(2018聊城,10,3分)如圖,將一張三角形紙片ABC的一角折疊,使點A落在△ABC外的A處,折 痕為DE.如果∠A=α,∠CEA=β,∠BDA=γ,那么下列式子中正確的是 ( ) A.γ=2α+β B.γ=α+2β C.γ=α+β D.γ=180-α-β,答案 A 設DA交AC于點F,經過折疊,∠A=∠A=α,由三角形的外角定理,∠AFC=∠CEA+∠ A=α+β,∠BDF=∠A+∠AFD=α+α+β,即γ=2α+β,故選A.,2.(2016棗莊,4,3分),如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30,E為BC延長線上一點,∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D, 則∠D等于 ( ) A.15 B.17.5 C.20 D.22.5,審題技巧 在求與三角形有關的角度問題時,常常要用到三角形的內角和等于180,或三角形 的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.,答案 A ∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE, ∴∠DBE= ∠ABC,∠DCE= ∠ACE,又∵∠DCE-∠DBE=∠D,∠ACE-∠ABC=∠A,∴∠D= ∠A= 30=15,故選擇A.,3.(2015濱州,7,3分)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,則∠C等于 ( ) A.45 B.60 C.75 D.90,答案 C ∵三角形內角和是180,∴∠C=180 =75,故選C.,一題多解 本題也可以根據(jù)比例設未知數(shù),列方程求解.設∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x,則3x+4x +5x=180,解得x=15,∴5x=75,即∠C=75.,4.(2015青島,4,3分)如圖,在△ABC中,∠C=90,∠B=30,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足 為E,DE=1,則BC= ( ) A. B.2 C.3 D. +2,答案 C ∵DE⊥AB,∠B=30,∴BD=2DE=2, ∵DC⊥AC,DE⊥AB,AD是∠BAC的平分線, ∴DC=DE=1, ∴BC=BD+DC=2+1=3.故選C.,思路分析 根據(jù)“在直角三角形中,如果一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的 一半”可求得BD的長,再根據(jù)“角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”可得到DE= DC,從而可求出BC的長.,考點二 全等三角形,1.(2018臨沂,11,3分)如圖,∠ACB=90,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分別是點D,E,AD=3,BE= 1,則DE的長是 ( ) A. B.2 C.2 D.,答案 B ∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠CEB=90,∠DAC+∠DCA=90,∵∠ACB=90,∴ ∠ECB+∠DCA=90,∴∠DAC=∠ECB,∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴AD=CE=3,CD=BE=1, ∴DE=CE-CD=3-1=2.,思路分析 通過證明△ACD與△CBE全等,得到AD=CE,CD=BE,然后利用線段的和差計算DE 的長.,2.(2016泰安,18,3分)如圖,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分別是邊PA,PB,AB上的點,且AM=BK,BN= AK,若∠MKN=44,則∠P的度數(shù)為 ( ) A.44 B.66 C.88 D.92,答案 D ∵PA=PB,∴∠A=∠B.又∵BK=AM,BN=AK,∴△AKM≌△BNK(SAS),∴∠AMK=∠ BKN,∵∠MKN+∠BKN=∠A+∠AMK,∴∠A=∠MKN,∵∠MKN=44,∴∠A=44,∴∠P=180-2 ∠A=180-244=92.故答案為D.,思路分析 通過題中所給的條件AM=BK,BN=AK,以及由PA=PB,可得∠A=∠B,得到△AKM≌ △BNK,所以對應角相等,再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和,便可求出∠A 與∠MKN相等,最后由三角形的內角和等于180,求出∠P的度數(shù).,3.(2016威海,10,3分)如圖,在△ABC中,∠B=∠C=36,AB的垂直平分線交BC于點D,交AB于點H. AC的垂直平分線交BC于點E,交AC于點G.連接AD,AE.則下列結論錯誤的是 ( ) A. = B.AD,AE將∠BAC三等分 C.△ABE≌△ACD D.S△ADH=S△CEG,答案 A ∵∠B=∠C=36,∴AB=AC,∠BAC=108, ∵DH垂直平分AB,EG垂直平分AC, ∴DB=DA,EA=EC, ∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36,∴∠BAD=∠BCA, 又∵∠B=∠B,∴△BDA∽△BAC, ∴ = , ∵∠ADC=∠B+∠BAD=72,∠DAC=∠BAC-∠BAD=72, ∴∠ADC=∠DAC, ∴CD=CA=BA, ∴BD=BC-CD=BC-AB, 則 = = , 易求得 = = ,故A錯誤; ∵∠BAC=108,∠DAB=∠CAE=36,,∴∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠CAE=36, 即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36, ∴AD,AE將∠BAC三等分,故B正確; ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72,∠CAD=∠CAE+∠DAE=72, ∴∠BAE=∠CAD, 在△BAE和△CAD中, ∴△BAE≌△CAD,故C正確; 由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD, 即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE, ∴S△BAD=S△CAE, 又∵DH垂直平分AB,EG垂直平分AC, ∴S△ADH= S△ABD,S△CEG= S△CAE, ∴S△ADH=S△CEG,故D正確,故選A.,4.(2018菏澤,17,6分)如圖,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.請寫出DF與AE的數(shù)量關系,并證明你的結 論.,解析 DF=AE. 證明:∵AB∥CD,∴∠C=∠B.∵CE=BF,∴CE-EF=BF-FE,∴CF=BE.又∵CD=AB,∴△DCF≌△ ABE(SAS),∴DF=AE.,思路分析 由已知條件易證△DCF≌△ABE(SAS),可得DF=AE.,5.(2017臨沂,25,11分)數(shù)學課上,張老師出示了問題:如圖1,AC、BD是四邊形ABCD的對角線,若 ∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60,則線段BC,CD,AC三者之間有何等量關系? 經過思考,小明展示了一種正確的思路:如圖2,延長CB到E,使BE=CD,連接AE,證得△ABE≌△ ADC,從而容易證明△ACE是等邊三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD. 小亮展示了另一種正確的思路:如圖3,將△ABC繞著點A逆時針旋轉60,使AB與AD重合,從而 容易證明△ACF是等邊三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD. 在此基礎上,同學們作了進一步的研究: (1)小穎提出:如圖4,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60”改為“∠ACB=∠ACD=∠,ABD=∠ADB=45”,其他條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關系?針對小穎提 出的問題,請你寫出結論,并給出證明; (2)小華提出:如圖5,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60”改為“∠ACB=∠ACD=∠ ABD=∠ADB=α”,其他條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關系?針對小華提出 的問題,請你寫出結論,不用證明.,解析 (1)BC+CD= AC. 證明:如圖,延長CB到E,使BE=CD,連接AE. ∵∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45, ∴∠BAD=90,∠BCD=90,AD=AB. ∴∠ABC+∠ADC=180,又∵∠ABE+∠ABC=180, ∴∠ADC=∠ABE.∴△ADC≌△ABE. ∴AC=AE,∠CAD=∠EAB.∴∠EAC=∠BAD=90. ∴CE= AC,∴BC+CD= AC. (2)BC+CD=2ACcos α. (證明:如圖,延長CB到E,使BE=CD,連接AE.,∵∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α, ∴∠BAD=180-2α,∠BCD=2α,AD=AB. ∴∠BAD+∠BCD=180,∴∠ABC+∠ADC=180. 又∵∠ABE+∠ABC=180, ∴∠ADC=∠ABE,∴△ADC≌△ABE,∴AC=AE. 過點A作AF⊥CE,則EC=2CF. 在Rt△ACF中,CF=ACcos α. ∴EC=2ACcos α,∴BC+CD=2ACcos α.),一題多解 (1)BC+CD= AC. 證明:∵∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45, ∴∠BAD=90,∠BCD=90. ∴∠ABC+∠ADC=180. 將△ABC繞著點A逆時針旋轉90至△ADF, 使AB與AD重合. ∴DF=BC,∠F=∠ACB=45,∠CAF=90,∠ADF=∠ABC. ∴∠ADF+∠ADC=180. ∴C、D、F三點在同一條直線上. ∴CF= AC.∴BC+CD= AC.,B組 2014—2018年全國中考題組,考點一 三角形的相關概念及邊角性質,1.(2018河北,1,3分)下列圖形具有穩(wěn)定性的是 ( ),答案 A 三角形具有穩(wěn)定性.故選A.,2.(2017廣西河池,9,3分)三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等兩部分的是 ( ) A.中線 B.角平分線 C.高 D.中位線,答案 A ∵三角形的中線把三角形分成兩個等底同高的三角形, ∴三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.故選A.,3.(2016湖南岳陽,6,3分)下列長度的三根小木棒能構成三角形的是 ( ) A.2 cm,3 cm,5 cm B.7 cm,4 cm,2 cm C.3 cm,4 cm,8 cm D.3 cm,3 cm,4 cm,答案 D 對于選項A,2+3=5,不符合三角形三邊關系;對于選項B,2+44,符合三角形三邊關系.故選擇 D.,4.(2018云南,6,3分)在△ABC中,AB= ,AC=5,若BC邊上的高等于3,則BC邊的長為 .,答案 1或9,解析 分兩種情況討論: ①BC邊上的高在△ABC內時,如圖,過A作AD⊥BC于點D. 在Rt△ABD中,∵AB= ,AD=3,∴BD= =5. 在Rt△ACD中,∵AC=5,AD=3,∴CD= =4. ∴BC=BD+CD=9. ②BC邊上的高位于△ABC外時,如圖,同①可求得BD=5,CD=4, ∴BC=1. 綜上,BC的長為1或9.,思路分析 根據(jù)題意畫圖,要考慮全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易錯警示 本題容易只考慮BC邊上的高在△ABC內的情況而導致漏解.,5.(2017青海,5,2分)如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點O,若∠A=50,則∠ BOC= .,答案 115,解析 ∵∠A=50,∴∠ABC+∠ACB=180-50=130,∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠ OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB= (∠ABC+∠ACB)= 130=65,∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180-65=115.,6.(2017四川成都,12,4分)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,則∠A的度數(shù)為 .,答案 40,解析 設∠A=2x,則∠B=3x,∠C=4x,所以2x+3x+4x=180,解得x=20,所以∠A=40.,考點二 全等三角形,1.(2018四川成都,6,3分)如圖,已知∠ABC=∠DCB,添加以下條件,不能判定△ABC≌△DCB的 是 ( ) A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC C.AC=DB D.AB=DC,答案 C 根據(jù)題中已有條件,分別添加∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,AB=DC,符合判定三角形全 等的AAS,ASA,SAS定理,能推出△ABC≌△DCB,故選項A,B,D不符合題意;添加AC=BD,不符 合全等三角形的判定定理,不能推出△ABC≌△DCB,選項C符合題意.故選C.,2.(2015浙江紹興,7,4分)如圖,小敏做了一個角平分儀ABCD,其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的 點A與∠PRQ的頂點R重合,調整AB和AD,使它們分別落在角的兩邊上,過點A,C畫一條射線AE, AE就是∠PRQ的平分線.此角平分儀的畫圖原理是:根據(jù)儀器結構,可得△ABC≌△ADC,這樣 就有∠QAE=∠PAE.則說明這兩個三角形全等的依據(jù)是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS,答案 D 因為在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),故選 D.,3.(2017黑龍江龍東地區(qū),3,3分)如圖,BC∥EF,AC∥DF,添加一個條件: ,使得 △ABC≌△DEF.,答案 答案不唯一,如:AB=DE、BC=EF、AC=DF或AD=BE,解析 當AB=DE時,∵BC∥EF,∴∠ABC=∠E, ∵AC∥DF,∴∠A=∠EDF, ∵在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(ASA), 同理,當BC=EF、AC=DF或AD=BE時,也可求證△ABC≌△DEF.,4.(2017四川達州,14,3分)△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中線,設AD長為m,則m的取值范 圍是 .,答案 1m4,解析 如圖,延長中線AD至E,使AD=DE,連接BE. ∵AD是△ABC的中線,∴BD=CD. ∵AD=DE,∠ADC=∠EDB,∴△ACD≌△EBD, ∴BE=AC=3,∴AB-BEAEAB+BE, ∴5-32m5+3,∴1m4.,5.(2018云南,16,6分)如圖,已知AC平分∠BAD,AB=AD. 求證:△ABC≌△ADC.,證明 ∵AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC. (2分) 在△ABC和△ADC中, ∵ ∴△ABC≌△ADC(SAS). (6分),6.(2018陜西,18,5分)如圖,AB∥CD,E、F分別為AB、CD上的點,且EC∥BF,連接AD,分別與 EC、BF相交于點G、H.若AB=CD,求證:AG=DH.,證明 ∵AB∥CD,∴∠A=∠D. ∵EC∥BF, ∴∠BHA=∠CGD. (2分) ∵AB=CD, ∴△ABH≌△DCG, ∴AH=DG, ∴AG=DH. (5分),思路分析 首先利用平行線的性質得出∠A=∠D,∠BHA=∠CGD,進而判定△ABH≌△DCG, 最后根據(jù)全等三角形的性質及等量減等量差相等,得出結果.,歸納總結 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根據(jù)已知條件恰當選 擇判定定理.①當已知兩邊對應相等時,可考慮證夾角相等或第三邊相等.②當已知兩角對應相 等時可考慮證夾邊相等或一角對邊相等.③當已知角及鄰邊對應相等時可選用SAS、ASA或 AAS.,7.(2017江蘇蘇州,24,8分)如圖,∠A=∠B,AE=BE,點D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點O. (1)求證:△AEC≌△BED; (2)若∠1=42,求∠BDE的度數(shù).,解析 (1)證明:∵AE和BD相交于點O,∴∠AOD=∠BOE.在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∴∠ BEO=∠2,又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠1+∠AED=∠BEO+∠AED,即∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中, ∴△AEC≌△BED(ASA). (2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.又∵∠1=42. ∴∠C=∠EDC=69,∠BDE=∠C=69.,C組 教師專用題組 考點一 三角形的相關概念及邊角性質,1.(2018湖北黃岡,4,3分)如圖,在△ABC中,直線DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點D 和E,∠B=60,∠C=25,則∠BAD為 ( ) A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因為直線DE是AC的垂直平分線,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25,所以∠ADC=1 80-(25+25)=130.因為∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130-60=70,故選B.,2.(2017湖南株洲,5,3分)如圖,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,則∠BAD的度數(shù)是 ( ) A.145 B.150 C.155 D.160,解析 B 由三角形內角和定理得,x+2x+3x=180,解得x=30,所以∠BAD=∠B+∠C=2x+3x=5x =530=150,故選B.,3.(2017浙江舟山,2,3分)長度分別為2,7,x的三條線段能組成一個三角形,x的值可以是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.9,答案 C ∵長度分別為2,7,x的三條線段能組成一個三角形,∴7-2x7+2,即5x9,故選擇C.,4.(2017四川德陽,6,3分)如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,BE平分∠ABC交AC邊于E,∠BAC =60,∠ABE=25,則∠DAC的大小是 ( ) A.15 B.20 C.25 D.30,答案 B ∵BE平分∠ABC,∠ABE=25, ∴∠ABC=2∠ABE=50. ∵AD⊥BC, ∴∠ADB=90, ∴∠BAD=90-50=40. ∵∠BAC=60, ∴∠DAC=60-40=20,故選B.,5.(2016浙江麗水,9,3分)用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC斜邊AB上的高CD,以下四個作圖中,作法錯 誤的是 ( ),解析 D A.利用作線段垂直平分線的方法得出CD⊥AB,從而CD是Rt△ABC斜邊AB上的高. B.根據(jù)圓中直徑所對的圓周角是直角知CD是Rt△ABC斜邊AB上的高. C.根據(jù)相交圓的兩圓心連線垂直平分公共弦知CD是Rt△ABC斜邊AB上的高. D.無法證明CD是Rt△ABC斜邊AB上的高.故選D.,6.(2016福建漳州,8,4分)下列尺規(guī)作圖,能判斷AD是△ABC邊上的高是 ( ),答案 B A選項,由作圖痕跡可以發(fā)現(xiàn)圖中的虛線應該是BC的垂直平分線,所以點D是BC的 中點,故AD是△ABC的一條中線;B選項中的作圖痕跡是經過直線外一點作已知直線的垂線,可 以發(fā)現(xiàn)AD與BC所在直線是垂直的,故B正確;C選項,由作圖痕跡可以發(fā)現(xiàn)圖中AD是∠BAC的 平分線,故C錯誤;D選項,由作圖痕跡可以發(fā)現(xiàn)圖中AD與AB垂直,垂足為點A,很顯然,D錯誤.,7.(2017福建,12,4分)如圖,△ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點,連接DE,若DE=3,則線段BC的 長等于 .,答案 6,解析 ∵D,E分別是邊AB,AC的中點,∴DE是△ABC的中位線. ∴BC=2DE,∵DE=3,∴BC=6.,8.(2015湖南常德,15,3分)如圖,在△ABC中,∠B=40,三角形ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分 線交于點E,則∠AEC= 度.,答案 70,解析 如圖,因為AE,CE分別平分∠DAC和∠ACF,所以∠EAC= ∠DAC,∠ECA= ∠ACF,又 因為∠B=40,∠B+∠1+∠2=180,所以 ∠DAC+ ∠ACF= [(∠B+∠2)+(∠B+∠1)]= (∠B+ ∠B+∠1+∠2)= 220=110, 所以∠AEC=180-(∠EAC+∠ECA) =180- =180-110=70, 故答案為70.,9.(2016四川內江,26,12分)問題引入: (1)如圖①,在△ABC中,點O是∠ABC和∠ACB平分線的交點,若∠A=α,則∠BOC= (用α 表示);如圖②,∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB,∠A=α,則∠BOC= (用α表示); 拓展研究: (2)如圖③,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,猜想∠BOC= (用α表示),并說明 理由; (3)BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線,它們交于點O,∠CBO= ∠DBC, ∠BCO= ∠ECB,∠A=α,請猜想∠BOC= .,解析 (1)90+ α;120+ α. 在△ABC中,∵點O是∠ABC和∠ACB平分線的交點, ∴∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB. ∵∠A=α,∴∠BOC=180-(∠CBO+∠BCO) =180- (∠ABC+∠ACB) =180- (180-∠A) =180- (180-α) =180-90+ α =90+ α. ∵∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB,∠A=α, ∴∠BOC=180- (∠ABC+∠ACB),=180- (180-∠A) =180- (180-α) =180-60+ α =120+ α. (2)120- α. 理由:∵∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α, ∴∠BOC=180- (∠DBC+∠ECB) =180-[360-(∠ABC+∠ACB)] =180-[360-(180-∠A)] =180- (180+α) =180-60- α,=120- α. (3) . ∵∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α, ∴∠BOC=180- (∠DBC+∠ECB) =180- [360-(∠ABC+∠ACB)] =180- [360-(180-∠A)] =180- (180+α) = 180- α. = .,考點二 全等三角形,1.(2016淄博,11,4分)如圖,直線l1∥l2∥l3,一等腰直角三角形ABC的三個頂點A,B,C分別在l1,l2,l3 上,∠ACB=90,AC交l2于點D.已知l1與l2的距離為1.l2與l3的距離為3.則 的值為 ( ) A. B. C. D.,答案 A 如圖,作BF⊥l3,AE⊥l3交l2于點G. ∵∠ACB=90,∴∠BCF+∠ACE=90. ∵∠BCF+∠CBF=90,∴∠ACE=∠CBF. 又∵∠BFC=∠CEA=90,BC=CA,∴△ACE≌△CBF. ∴CE=BF=3,CF=AE=4.∴BG=EF=CF+CE=7. ∴AB= =5 . ∵l2∥l3,∴ = = .∴DG= . ∴BD=BG-DG=7- = .,∴ = = .故選擇A.,解題關鍵 添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵.,2.(2015福建莆田,6,4分)如圖,AE∥DF,AE=DF,要使△EAC≌△FDB,需要添加下列選項中的 ( ) A.AB=CD B.EC=BF C.∠A=∠D D.AB=BC,答案 A ∵AE∥DF,∴∠A=∠D, 若AB=CD,則AC=BD, 在△EAC和△FDB中, ∴△EAC≌△FDB(SAS),故選A.,3.(2017湖南懷化,15,4分)如圖,AC=DC,BC=EC,請你添加一個適當?shù)臈l件: ,使得△ ABC≌△DEC.,答案 答案不唯一,如:AB=DE或∠ACB=∠DCE或∠ACD=∠BCE,解析 ∵AC=DC,BC=EC,∴當AB=DE時,△ABC≌△DEC.同理,當∠ACB=∠DCE或∠ACD=∠ BCE時,△ABC≌△DEC.,4.(2018云南昆明,15,6分)如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.求證:BC=DE.,證明 ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE, (1分) 在△ABC和△ADE中, (3分) ∴△ABC≌△ADE(ASA), (5分) ∴BC=DE. (6分) (其他證法參照此標準給分),5.(2018河北,23,9分)如圖,∠A=∠B=50,P為AB中點,點M為射線AC上(不與點A重合)的任意一 點,連接MP,并使MP的延長線交射線BD于點N,設∠BPN=α. (1)求證:△APM≌△BPN; (2)當MN=2BN時,求α的度數(shù); (3)若△BPN的外心在該三角形的內部,直接寫出α的取值范圍.,解析 (1)證明:∵P為AB中點,∴PA=PB. 又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB, ∴△APM≌△BPN. (2)由(1)得PM=PN,∴MN=2PN, ∵MN=2BN,∴PN=BN, ∴α=∠B=50. (3)40α90. 詳解:∵△BPN的外心在該三角形的內部,∴△BPN是銳角三角形, ∴∠BPN和∠BNP都為銳角,又∵∠B=50, ∴40∠BPN90,即40α90.,思路分析 (1)根據(jù)ASA可證明:△APM≌△BPN; (2)根據(jù)△APM≌△BPN得MN=2PN,結合MN=2BN得出PN=BN,由等邊對等角可得結果; (3)只有銳角三角形的外心在三角形的內部,根據(jù)∠BPN和∠BNP都為銳角及∠B=50可得α的 取值范圍.,1.如果已知兩邊:(1)找夾角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一條邊,利用 SSS求解.,方法歸納 證明三角形全等的一般思路:,2.已知一邊和一角:(1)邊為角的對邊,則找任一角,利用AAS求解;(2)邊為角的一條邊:①找角的 另一邊,利用SAS求解,②找邊的另一角,利用ASA求解,③找邊的對角,利用AAS求解.,3.已知兩角:(1)找夾邊,利用ASA求解;(2)找兩角中任意一角的對邊,利用AAS求解.,6.(2017湖北武漢,18,8分)如圖,點C,F,E,B在一條直線上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE.寫出 CD與AB之間的關系,并證明你的結論.,解析 CD與AB之間的關系為CD=AB,且CD∥AB. 證明:∵CE=BF,∴CF=BE. 在△CDF和△BAE中, ∴△CDF≌△BAE,∴CD=BA,∠C=∠B, ∴CD∥BA.,思路分析 先證明△CDF≌△BAE,再利用全等三角形的性質得到CD與AB之間的關系.,易錯警示 CD與AB之間的位置關系是平行,數(shù)量關系是相等,本題容易出現(xiàn)的錯誤是只得到 CD與AB之間的一種關系.,7.(2017湖北孝感,18,8分)如圖,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E、F,BF=DE.求證 AB∥CD.,證明 ∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90. ∵BF=DE,∴BF+FE=DE+EF,即EB=DF. 在Rt△DCF和Rt△BAE中, ∴Rt△DCF≌Rt△BAE(HL), ∴∠D=∠B,∴DC∥AB.,8.(2017湖南郴州,19,6分)已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,點D,E分別為邊AB,AC的中點,求證:BE =CD.,證明 ∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC, 又D、E分別為邊AB、AC中點,∴AD=AE, 在△ADC和△AEB中, ∴△ADC≌△AEB(SAS). ∴BE=CD.,9.(2017貴州銅仁,22,10分)如圖,已知點E,F分別是平行四邊形ABCD對角線BD所在直線上的兩 點,連接AE,CF,請你添加一個條件,使得△ABE≌△CDF,并證明.,解析 添加的條件是DE=BF, 理由:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠EBA=∠FDC, ∵DE=BF, ∴DE+DB=BF+DB,即BE=DF, ∵在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS).,10.(2016湖北孝感,18,8分)如圖,BD⊥AC于點D,CE⊥AB于點E,AD=AE. 求證:BE=CD.,證明 ∵BD⊥AC于點D,CE⊥AB于點E, ∴∠ADB=∠AEC=90. 在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(ASA). ∴AB=AC.又∵AD=AE,∴AB-AE=AC-AD,即BE=CD.,11.(2016湖北宜昌,18,7分)楊陽同學沿一段筆直的人行道行走,在由A步行到達B處的過程中,通 過隔離帶的空隙O,剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的社會主義核心價值觀標語.其具體信息 匯集如下, 如圖,AB∥OH∥CD,相鄰兩平行線間的距離相等.AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足為D.已知AB= 20米.請根據(jù)上述信息求標語CD的長度.,解析 ∵AB∥DC,∴∠ABO=∠CDO. 又∵DO⊥CD,∴∠CDO=90, ∴∠ABO=90,即BO⊥AB. ∵相鄰兩平行線間的距離相等,∴BO=DO. 在△BOA與△DOC中, ∴△BOA≌△DOC.∴CD=AB=20米. 故標語CD的長度為20米.,A組 2016—2018年模擬基礎題組 考點一 三角形的相關概念及邊角性質,三年模擬,1.(2018泰安泰山學院附中二模,8)已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2-4x+3= 0的根,則該三角形的周長可以是 ( ) A.5 B.7 C.5或7 D.10,答案 B 解方程x2-4x+3=0,得x=1或x=3,根據(jù)題意,等腰三角形的腰只能是3,底邊是1,則該三 角形的周長為3+3+1=7.,2.(2018淄博周村二模,4)用三角板作△ABC的邊BC上的高,下列三角板的擺放位置正確的是 ( ),答案 A 根據(jù)三角形高的定義,是從點A向邊BC引垂線,只有A符合要求.故選A.,考點二 全等三角形,1.(2017日照莒縣一模,8)如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個條件后,仍無法判定△ABC≌△ ADC的是 ( ) A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90,答案 C 選項A,添加CB=CD,根據(jù)SSS判定△ABC≌△ADC,故選項A不符合題意; 選項B,添加∠BAC=∠DAC,根據(jù)SAS判定△ABC≌△ADC,故選項B不符合題意; 選項C,添加∠BCA=∠DCA,ASS不能判定△ABC≌△ADC,故選項C符合題意; 選項D,添加∠B=∠D=90,根據(jù)HL判定△ABC≌△ADC,故選項D不符合題意,故選C.,2.(2018淄博沂源期中,19)如圖,已知AD是△ABC的角平分線,在不添加任何輔助線的前提下,要 使△AED≌△AFD,需添加一個條件是 ,并給予證明.,解析 本題答案不唯一.如:AE=AF或∠EDA=∠FDA或∠AED=∠AFD. 證明:當AE=AF時, ∵AD是△ABC的角平分線,∴∠EAD=∠FAD. 在△AED和△AFD中, ∴△AED≌△AFD(SAS).,易錯警示 本題容易添加條件DE=DF,誤用“SSA”.,3.(2017濟南市中區(qū)一模,23)如圖,C是AB的中點,AD=BE,CD=CE.求證:∠A=∠B.,證明 ∵C是AB的中點,∴AC=BC, 在△ACD和△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SSS), ∴∠A=∠B.,一、選擇題(每小題3分,共12分) 1.(2018泰安新泰一模,11)如圖,已知在△ABC中,CD是AB邊上的高線,BE平分∠ABC,交CD于點 E,BC=5,DE=2,則△BCE的面積等于 ( ) A.10 B.7 C.5 D.4,答案 C 如圖,過點E作EF⊥BC于F,∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC, ∴EF=DE=2,∴S△BCE= BCEF= 52=5.,思路分析 作EF⊥BC于F,根據(jù)角平分線的性質求得EF=DE=2,然后根據(jù)三角形面積公式即可求解.,B組 2016-2018年模擬提升題組,(時間:20分鐘 分值:30分),2.(2018臨沂模擬,12)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠BCD=45,AD=2,BC=3,將 腰CD以D為中心逆時針旋轉90至ED,連接AE、CE,則△ADE的面積是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.不能確定,答案 A 如圖,過點E作EF⊥AD交AD延長線于F,過點D作DG⊥BC于G. ∵將腰CD以D為中心逆時針旋轉90至ED, ∴DE=DC,DE⊥DC,∴∠CDG=∠EDF,∴△CDG≌△EDF, ∵AD=2,BC=3,∠BCD=45, ∴CG=1,∴DG=CG=DF=EF=1,∴△ADE的面積是 21=1.,3.(2018濟南歷城一模,10)如圖,△ABC的面積為8 cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于P,連接PC,則△ PBC的面積為 ( ) A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2,答案 C 延長AP交BC于E,如圖所示: ∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠EBP, ∵AP⊥BP,∴∠APB=∠EPB=90, 在△ABP和△EBP中, ∴△ABP≌△EBP(ASA),∴AP=EP, ∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP, ∴S△PBC= S△ABC= 8=4(cm2).,思路分析 延長AP交BC于E,構造全等三角形,再利用等底同高的性質把△PBC的面積轉化為 △ABC的面積的一半.,4.(2016泰安東平一模,16)如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點,AC=12,F是DE上一點,連 接AF,CF,DF=1.若∠AFC=90,則BC的長度為 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15,答案 C ∵∠AFC=90,E為AC的中點, ∴EF= AC=6,則DE=DF+EF=1+6=7. ∵D,E分別是AB,AC的中點,∴DE為△ABC的中位線, ∴BC=2DE=14,故選C.,二、解答題(共18分) 5.(2017濰坊模擬,24)【問題提出】 學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的 判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的 情形進行研究. 【初步思考】 我們不妨將問題用符號語言表示:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E.然后,對∠B 進行分類,可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究. 【深入探究】 第一種情況:當∠B是直角時,△ABC≌△DEF. (1)如圖,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90,根據(jù) ,可以知道Rt△ABC ≌Rt△DEF.,第二種情況:當∠B是鈍角時,△ABC≌△DEF. (2)如圖,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是鈍角.求證:△ABC≌ △DEF.,第三種情況:當∠B是銳角時,△ABC和△DEF不一定全等. (3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是銳角,請你用尺規(guī)在圖中作 出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法,保留作圖痕跡) (4)∠B還要滿足什么條件,就可以使△ABC≌△DEF?請直接填寫結論: 在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是銳角,若 ,則△ABC≌ △DEF.,解析 (1)HL. (2)證明:如圖①,分別過點C、F作對邊AB、DE上的高CG、FH,其中G、H為垂足. ∵∠ABC、∠DEF都是鈍角, ∴G、H分別在AB、DE的延長線上. ∵CG⊥AG,FH⊥DH, ∴∠CGA=∠FHD=90. ∵∠CBG=180-∠ABC,∠FEH=180-∠DEF,∠ABC=∠DEF,∴∠CBG=∠FEH. 在△BCG和△EFH中, ∵∠CGB=∠FHE,∠CBG=∠FEH,BC=EF, ∴△BCG≌△EFH. ∴CG=FH. 又∵AC=DF, ∴Rt△ACG≌Rt△DFH. ∴∠A=∠D.,在△ABC和△DEF中, ∵∠ABC=∠DEF,∠A=∠D,AC=DF, ∴△ABC≌△DEF. 圖① (3)如圖②,△DEF就是所求作的三角形.,圖② (4)本題答案不唯一,下列解法供參考. ∠B≥∠A.,思路分析 (1)直接利用HL得出Rt△ABC≌Rt△DEF;(2)作CG⊥AB,交AB的延長線于G,作FH ⊥DE,交DE的延長線于H.首先得出△CBG≌△FEH(AAS),則CG=FH,進而得出Rt△ACG≌Rt △DFH,再證出△ABC≌△DEF;(3)利用已知圖形再作一個鈍角三角形即可得出答案;(4)利用 (3)中方法可得出當∠B≥∠A時,△ABC≌△DEF.,6.(2016濱州一模,21)已知:如圖,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90,D為 AB邊上一點. 求證:(1)△ACE≌△BCD; (2)AD2+AE2=DE2.,證明 (1)∵∠ACB=∠DCE=90, ∴∠ACE=∠BCD,又∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴AC=BC,EC=DC,∴△ACE≌△ BCD(SAS). (2)由(1)知△ACE≌△BCD,∴∠EAC=∠B=45. 又∠CAB=45,∴∠EAD=90, ∴△ADE是直角三角形,∴AD2+AE2=DE2.,C組 2016—2018年模擬探究題組 1.(2018泰安中考樣題,22)如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到 △ADE,連接BD,CE,且BD,CE交于點F. (1)求證:△AEC≌△ADB; (2)若AB=2,∠BAC=45,當四邊形ADFC是菱形時,求BF的長.,解析 (1)證明:由旋轉的性質得△ABC≌△ADE,∴AB=AC, ∴AE=AD=AC=AB,∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD. 在△AEC和△ADB中, ∴△AEC≌△ADB(SAS). (2)∵四邊形ADFC是菱形,∴DF=AC=AB=2,AC∥DF. 又∵∠BAC=45,∴∠DBA=∠BAC=45. 由(1)可知AB=AD,∴∠DBA=∠BDA=45, ∴△ABD是直角邊長為2的等腰直角三角形, ∴BD2=2AB2=8,即BD=2 ,∴BF=BD-DF=2 -2.,解題關鍵 此題考查了旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,以及菱形的性質,熟練掌握旋轉 的性質是解本題的關鍵.,2.(2017日照模擬,23)在△ABC和△DEC中,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90. (1)如圖1,當點A、C、D在同一條直線上時,求證:AF⊥BD; (2)如圖2,當點A、C、D不在同一條直線上時,求證:AF⊥BD; (3)如圖3,在(2)的條件下,連接CF并延長交AD于點G,∠AFG是一個固定的值嗎?若是,求出∠ AFG的度數(shù);若不是,請說明理由.,解析 (1)證明: 在△ACE和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD, ∴∠EAC=∠DBC,∵∠AEC=∠BEF, ∴∠BFE=∠ACE=90, ∴AF⊥BD. (2)證明:如圖, ∵∠ACB=∠ECD=90,,∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD, ∴∠BCD=∠ACE. 在△ACE和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD, ∴∠1=∠2,∵∠3=∠4, ∴∠BFA=∠BCA=90, ∴AF⊥BD. (3)∠AFG是一個固定值. 如圖,過點C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分別為M、N,,∵△ACE≌△BCD, ∴S△ACE=S△BCD,AE=BD, ∴ AECN= BDCM, ∴CM=CN,∵CM⊥BD,CN⊥AE, ∴FC平分∠BFE,∵AF⊥BD, ∴∠BFE=90,∴∠EFC=45, ∴∠AFG=45.,