2019-2020年高三數(shù)學(xué)《直線和圓的方程》復(fù)習教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)《直線和圓的方程》復(fù)習教案 新人教A版 一、 本講進度 《直線和圓的方程》復(fù)習 二、本講主要內(nèi)容 1、 直線方程的五種表現(xiàn)形式，如何求直線方程；二元一次不等式的幾何意義及運用。 2、圓的方程三種形式，如何求圓的方程。 3、直線和圓位置關(guān)系的研究。 三、復(fù)習指導(dǎo) 1、 曲線和方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩種常見研究對象。借助于平面直角坐標系，形和數(shù)可 以得到高度的統(tǒng)一，它們最基本的對應(yīng)關(guān)系是點和有序數(shù)對的一一對應(yīng)。當點運動形成軌跡時，對應(yīng)坐標便會滿足一個方程。當曲線C和方程F(x，y)=0滿足如下關(guān)系時：①曲線C上點的坐標都是方程F(x，y)=0的解；②以方程F(x，y)=0的解為坐標的點都在曲線C上，則稱曲線C為方程F(x，y)=0表示的曲線；方程F(x，y)=0是曲線C表示的方程。從集合角度看，點集（曲線）與方程解集相等。解析幾何研究的內(nèi)容就是給定曲線C，如何求出它所對應(yīng)的方程，并根據(jù)方程的理論研究曲線的幾何性質(zhì)。其特征是以數(shù)解形。坐標法是幾何問題代數(shù)化的重要方法。 2、直線的傾斜角α和斜率k是描述直線位置的重要參數(shù)，它們之間關(guān)系是正切函數(shù)關(guān)系：k=tanα，α∈[0，，當α=時，直線斜率不存在，否則由α求出唯一的k與之對應(yīng)。 當已知k，求傾斜角α時：k≥0時，α=arctank；k<0時，α=π+arctank。或：k=0時，α=0；k≠0時，cotα=,α=arccot。 由正切函數(shù)可知，當α∈（0，），α遞增時，斜率k→+∞。當α∈（，π），α遞減時，斜率k→-∞。 當涉及到斜率參數(shù)時，通常對k是否存在分類討論。 3、直線是平面幾何的基本圖形，它與方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一對應(yīng)。 從幾何條件看，已知直線上一點及直線方向與已知直線上兩點均可確定直線；從對應(yīng)方程看，直線方程兩種典型形式：點斜式（斜截式），兩點式（截距式），因此求直線方程，常用待定系數(shù)法。即根據(jù)題意，選擇方程的適當形式；由已知條件，列關(guān)于參數(shù)的方程（組）。 當點P(x0，y0)在直線Ax+By+C=0上時，其坐標滿足方程Ax0+By0+C=0；當P不在直線Ax+By+C=0上時，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0。這就是二元一次不等式的幾何意義：二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）表示直線Ax+By+C=0上方或下方區(qū)域，其具體位置的確定常用原點（0，0）代入檢驗。利用此幾何意義，可以解決一類二元函數(shù)的最值問題。這就是線性規(guī)劃的內(nèi)容。 因直線與二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一對應(yīng)，即由有序數(shù)組（A，B，C）確定，因此研究直線與直線之間的位置關(guān)系就是考察直線對應(yīng)的數(shù)組間關(guān)系。 設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0（A12+B12≠0），直線l2：A2x+B2y+C2=0（A22+B22≠0） 則：l1∥l2 l1與l2相交A1B2≠A2B1 其夾角公式為，其中k1，k2分別表示l1及l(fā)2斜率，當l1或l2斜率不存在時，畫圖通過三角形求解，l1與l2夾角為θ∈（0，] 特例：l1⊥l2A1A2+B1B2=0（此時不能用夾角公式求解） 利用點P(x0，y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離公式d=可以求出兩平行直線：Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0（C1≠C2）間的距離d=。 4、當直線位置不確定時，直線對應(yīng)的方程中含有參數(shù)。含參數(shù)方程中有兩種特殊情形，它們的對應(yīng)的直線是有規(guī)律的，即旋轉(zhuǎn)直線系和平行直線系。 在點斜式方程y-y0=k(x-x0)中，當（x0，y0）確定，k變化時，該方程表示過定點（x0，y0）的旋轉(zhuǎn)直線系，當k確定，(x0，y0)變化時，該方程表示平行直線系。 這些直線系還有其它表示形式： （1） 已知直線l：Ax+By+C=0，則 方程Ax+By+m=0（m為參數(shù)）表示與l平行的直線系；方程-Bx+Ay+n=0（n為參數(shù)）表示與l垂直的直線系。 （2）已知直線l1：A1x+B1y+C=1=0，直線l2：A2x+B2y+C2=0，則方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示過l1與l2交點的直線系（不含l2） 掌握含參數(shù)方程的幾何意義是某種直線系，不僅可以加深數(shù)形結(jié)合的思想，還可以優(yōu)化解題思想。 5、圓與二元二次方程一一對應(yīng)，這些二元二次方程方程特征為：（1）二次項中無xy交叉項；（2）x2，y2項前面系數(shù)相等；（3）x，y的一次項系數(shù)D，E及常數(shù)項F滿足D2+E2-4F>0。 圓方程常見形式：（1）標準式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0），其中（a，b）為圓心，R為半徑；（2）一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0；（3）參數(shù)式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0）的參數(shù)式為：x=a+Rcosθ，y=b+Rsinθ，其中θ為參數(shù)，表示旋轉(zhuǎn)角，參數(shù)式常用來表示圓周上的點。 求圓方程的原理與求直線方程完全類似。 直線和圓位置關(guān)系及圓和圓位置關(guān)系常借助于平面幾何知識，而不采用方程組理論（△法）。 6、對稱是平面幾何的基本變換。在掌握點關(guān)于點及直線對稱的基礎(chǔ)上，理解曲線與曲線之間的中心對稱及軸對稱。善于利用對稱的知識解題。 7、本章主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，等價變換等。 四、典型例題 例1、已知定點P（6，4）與定直線l1：y=4x，過P點的直線l與l1交于第一象限Q點，與x軸正半軸交于點M，求使△OQM面積最小的直線l方程。 解題思路分析： 直線l是過點P的旋轉(zhuǎn)直線，因此是選其斜率k作為參數(shù)，還是選擇點Q（還是M）作為參數(shù)是本題關(guān)鍵。 通過比較可以發(fā)現(xiàn)，選k作為參數(shù)，運算量稍大，因此選用點參數(shù)。 設(shè)Q（x0，4x0），M（m，0） ∵ Q，P，M共線 ∴ kPQ=kPM ∴ 解之得： ∵ x0>0，m>0 ∴ x0-1>0 ∴ 令x0-1=t，則t>0 ≥40 當且僅當t=1，x0=11時，等號成立 此時Q（11，44），直線l：x+y-10=0 評注：本題通過引入?yún)?shù)，建立了關(guān)于目標函數(shù)S△OQM的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式再此目標函數(shù)的最值。要學(xué)會選擇適當參數(shù)，在解析幾何中，斜率k，截距b，角度θ，點的坐標都是常用參數(shù)，特別是點參數(shù)。 例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求： （1）BC邊上的高所在直線方程；（2）AB邊中垂線方程；（3）∠A平分線所在直線方程。 解題思路分析： （1）∵ kBC=5 ∴ BC邊上的高AD所在直線斜率k= ∴ AD所在直線方程y+1=(x-2) 即x+5y+3=0 （2）∵ AB中點為（3，1），kAB=2 ∴ AB中垂線方程為x+2y-5=0 （3）設(shè)∠A平分線為AE，斜率為k，則直線AC到AE的角等于AE到AB的角。 ∵ kAC=-1，kAB=2 ∴ ∴ k2+6k-1=0 ∴ k=-3-（舍），k=-3+ ∴ AE所在直線方程為(-3)x-y-2+5=0 評注：在求角A平分線時，必須結(jié)合圖形對斜率k進行取舍。一般地涉及到角平分線這類問題時，都要對兩解進行取舍。也可用軌跡思想求AE所在直線方程，設(shè)P(x，y)為直線AE上任一點，則P到AB、AC距離相等，得，化簡即可。還可注意到，AB與AC關(guān)于AE對稱。 例3、（1）求經(jīng)過點A（5，2），B（3，2），圓心在直線2x-y-3=0上圓方程； （2）設(shè)圓上的點A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對稱點仍在這個圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為，求圓方程。 解題思路分析： 研究圓的問題，既要理解代數(shù)方法，熟練運用解方程思想，又要重視幾何性質(zhì)及定義的運用，以降低運算量。總之，要數(shù)形結(jié)合，拓寬解題思路。 （1） 法一：從數(shù)的角度 若選用標準式：設(shè)圓心P（x，y），則由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2 又2x0-y0-3=0 兩方程聯(lián)立得：，|PA|= ∴ 圓標準方程為(x-4)2+(y-5)2=10 若選用一般式：設(shè)圓方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，則圓心（） ∴ 解之得： 法二：從形的角度 AB為圓的弦，由平幾知識知，圓心P應(yīng)在AB中垂線x=4上，則由得圓心P（4，5） ∴ 半徑r=|PA|= 顯然，充分利用平幾知識明顯降低了計算量 （2） 設(shè)A關(guān)于直線x+2y=0的對稱點為A’ 由已知AA’為圓的弦 ∴ AA’對稱軸x+2y=0過圓心 設(shè)圓心P（-2a，a），半徑為R 則R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2 又弦長， ∴ ∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+ ∴ a=-7或a=-3 當a=-7時，R=；當a=-3時，R= ∴ 所求圓方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244 例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓，（1）求實數(shù)m取值范圍；（2）求圓半徑r取值范圍；（3）求圓心軌跡方程。 解題思路分析： （1）m滿足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，即7m2-6m-1<0 ∴ （3） 半徑r= ∵ ∴ 時， ∴ 02，b>2，（1）求證：(a-2)(b-2)=2；（2）求線段AB中點的軌跡方程；（3）求△AOB面積的最小值。 17、已知兩圓x2+y2=4和x2+(y-8)2=4，（1）若兩圓分別在直線y=x+b兩側(cè)，求b取值范圍；（2）求過點A（0，5）且和兩圓都沒有公共點的直線的斜率k的范圍。 18、當01，y>1) （3） 17、（1）畫圖 3≤b≤5 （2）k∈（） 18、