2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.2合情推理與演繹推理教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.2合情推理與演繹推理教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.從近幾年的高考來(lái)看,高考對(duì)本部分的考查多以選擇或填空題的形式出現(xiàn),主要考查利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論,試題的難度以低、中檔為主;2.演繹推理主要與立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起命制綜合題. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.聯(lián)系具體實(shí)例,體會(huì)幾種推理的概念和特點(diǎn),并結(jié)合這些方法解決一些應(yīng)用問(wèn)題;2.培養(yǎng)歸納、類比、演繹的推理思維模式,培養(yǎng)分析、解決問(wèn)題的能力. 1. 合情推理主要包括歸納推理和類比推理. 合情推理的過(guò)程 (1)歸納推理:由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理. 歸納推理的基本模式:a、b、c∈M且a、b、c具有某屬性, 結(jié)論:?d∈M,d也具有某屬性. (2)類比推理:由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比).簡(jiǎn)言之,類比推理是由特殊到特殊的推理. 類比推理的基本模式:A:具有屬性a,b,c,d; B:具有屬性a′,b′,c′; 結(jié)論:B具有屬性d′. (a,b,c,d與a′,b′,c′,d′相似或相同) 2. 演繹推理:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之,演繹推理是由一般到特殊的推理. (1)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情況; ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷. (2)“三段論”可以表示為 ①大前提:M是P; ②小前提:S是M; ③結(jié)論:S是P. 用集合說(shuō)明:即若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個(gè)子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P. [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 在解決問(wèn)題過(guò)程中,合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,探索和提供思路的作用.合情推理的結(jié)論可能為真,也可能為假,結(jié)論的正確性有待于進(jìn)一步的證明. 2. 應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí),應(yīng)首先明確什么是大前提,什么是小前提,如果大前提與推理形式是正確的,結(jié)論必定是正確的.如果大前提錯(cuò)誤,盡管推理形式是正確的,所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的. 3. 演繹推理是由一般到特殊的推理,它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題,注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性,書寫格式的規(guī)范性. 1. (xx陜西)觀察下列不等式: 1+<, 1++<, 1+++<, …… 照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為_(kāi)_______. 答案 1+++++< 解析 觀察每行不等式的特點(diǎn),每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的開(kāi)方與右端值的分母相等,且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列. ∴第五個(gè)不等式為1+++++<. 2. (xx山東)設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),觀察: f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))=, f3(x)=f(f2(x))=, f4(x)=f(f3(x))=, …… 根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得: 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí),fn(x)=f(fn-1(x))=________. 答案 解析 依題意,先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)系數(shù)所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式,由1,3,7,15,…,可推知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n-1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,16,…,故其通項(xiàng)公式為bn=2n. 所以當(dāng)n≥2時(shí),fn(x)=f(fn-1(x))=. 3. 給出下列三個(gè)類比結(jié)論: ①(ab)n=anbn與(a+b)n類比,則有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類比,則有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)2類比,則有(a+b)2=a2+2ab+b2. 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 4. “因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)(大前提),而y=x是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以函數(shù)y=x是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯(cuò)誤在于 ( ) A.大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B.小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) C.推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D.大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) 答案 A 5. (xx江西)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10等于 ( ) A.28 B.76 C.123 D.199 答案 C 解析 觀察規(guī)律,歸納推理. 從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知,等式右端的值,從第三項(xiàng)開(kāi)始,后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和,照此規(guī)律,則a10+b10=123. 題型一 歸納推理 例1 已知函數(shù)f(x)=, (1)分別求f(2)+f,f(3)+f,f(4)+f的值; (2)歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明; (3)求值: f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 011)+f+f+…+f. 思維啟迪:所求函數(shù)值的和應(yīng)該具有規(guī)律性,經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)f(x)+f=1. 解 (1)∵f(x)=, ∴f(2)+f=+=+=1, 同理可得f(3)+f=1,f(4)+f=1. (2)由(1)猜想f(x)+f=1, 證明:f(x)+f=+ =+=1. (3)由(2)可得, 原式=f(1)+++…+ =f(1)+2 010=+2 010=. 探究提高 本題實(shí)質(zhì)是根據(jù)前幾項(xiàng),歸納猜想一般規(guī)律,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理,由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確,通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法. 已知經(jīng)過(guò)計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式:+<2,+<2,+<2,根據(jù)以上不等式的規(guī)律,請(qǐng)寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)m,n都成立的條件不等式________. 答案 若m>0,n>0,則當(dāng)m+n=20時(shí),有+<2 解析 觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn):不等式左邊兩個(gè)根式的被開(kāi)方數(shù)的和等于20,不等式的右邊都是2,因此對(duì)正實(shí)數(shù)m,n都成立的條件不等式是若m>0,n>0,則當(dāng)m+n=20時(shí),有+<2. 題型二 類比推理 例2 在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求證:=+,那么在四面體A-BCD中,類比上述結(jié)論,你能得到怎樣的猜想?并說(shuō)明理由. 思維啟迪:①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象;②三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐的各面的面積是類比對(duì)象;③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象;④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象;⑤三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對(duì)象. 解 圖① 如圖①所示,由射影定理知 AD2=BDDC,AB2=BDBC, AC2=BCDC, ∴= ==. 又BC2=AB2+AC2, ∴==+. ∴=+. 類比AB⊥AC,AD⊥BC猜想: 四面體A—BCD中,AB、AC、AD兩兩垂直, AE⊥平面BCD,則=++. 圖② 如圖②,連接BE并延長(zhǎng)交CD于F, 連接AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD,∴AB⊥AF, 在Rt△ABF中,AE⊥BF, ∴=+. 在Rt△ACD中,AF⊥CD,∴=+. ∴=++,故猜想正確. 探究提高 (1)類比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步驟為 ①找出兩類事物之間的相似性或一致性; ②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(猜想). (2)類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等,可以類比到立體幾何中,得到類似的結(jié)論. 已知命題:若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且am=a,an=b (m≠n,m、n∈N*),則am+n=;現(xiàn)已知等比數(shù)列{bn} (b≠0,n∈N*),bm=a,bn=b (m≠n,m、n∈N*),若類比上述結(jié)論,則可得到bm+n=__________. 答案 解析 等差數(shù)列中的bn和am可以類比等比數(shù)列中的bn和am,等差數(shù)列中的bn-am可以類比等比數(shù)列中的,等差數(shù)列中的可以類比等比數(shù)列中的, 故bm+n=. 題型三 演繹推理 例3 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn (n∈N*),證明: (1)數(shù)列是等比數(shù)列; (2)Sn+1=4an. 思維啟迪:在推理論證過(guò)程中,一些稍復(fù)雜的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成.大前提通常省略不寫,或者寫在結(jié)論后面的括號(hào)內(nèi),小前提有時(shí)也可以省略,而采取某種簡(jiǎn)明的推理模式. 證明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. ∴=2,又=1≠0,(小前提) 故是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義,這里省略了) (2)由(1)可知=4 (n≥2), ∴Sn+1=4(n+1)=4Sn-1=4an (n≥2)(小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴對(duì)于任意正整數(shù)n,都有Sn+1=4an.(結(jié)論) (第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件) 探究提高 演繹推理的一般模式為三段論,應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí),首先應(yīng)該明確什么是大前提,小前提,然后再找結(jié)論. 已知函數(shù)f(x)=-(a>0且a≠1). (1)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱; (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. (1)證明 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),任取一點(diǎn)(x,y),它關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1-x,-1-y). 由已知得y=-, 則-1-y=-1+=-, f(1-x)=-=-=- =-, ∴-1-y=f(1-x), 即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱. (2)解 由(1)有-1-f(x)=f(1-x), 即f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1. 則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 歸納不準(zhǔn)確致誤 典例:(5分)如圖所示,坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1,由下往上的六個(gè)點(diǎn):1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項(xiàng),如下表所示. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 按如此規(guī)律下去,則a2 009+a2 010+a2 011等于 ( ) A.1 003 B.1 005 C.1 006 D.2 010 易錯(cuò)分析 本題中的“按如此規(guī)律下去”就是要求由題目給出的6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系,歸納出該數(shù)列的一般關(guān)系.可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩種:一是歸納時(shí)找不準(zhǔn)“前幾項(xiàng)”的規(guī)律,胡亂猜測(cè);二是弄錯(cuò)奇偶項(xiàng)的關(guān)系.本題中各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng),并且逐一遞增,即a2n=n(n∈N*),各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng),正負(fù)交替后逐一遞增,并且滿足a4n-3+a4n-1=0(n∈N*),如果弄錯(cuò)這些關(guān)系就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果,如認(rèn)為當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an=n,就會(huì)得到a2 009+a2 010+a2 011=2 010的錯(cuò)誤結(jié)論,而選D. 解析 a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,…,這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項(xiàng)為1,-1,2,-2,3,…,偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3,…,故a2 009+a2 011=0,a2 010=1 005,故a2 009+a2 010+a2 011=1 005. 答案 B 溫馨提醒 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì),結(jié)論是否真實(shí),還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn).因此,它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具. 方法與技巧 1. 合情推理主要包括歸納推理和類比推理.?dāng)?shù)學(xué)研究中,在得到一個(gè)新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向. 2. 演繹推理是從一般的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段論.?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行. 3. 合情推理僅是“合乎情理”的推理,它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下). 失誤與防范 1. 合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論,發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明. 2. 演繹推理是由一般到特殊的證明,它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題,注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性,書寫格式的規(guī)范性. 3. 合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象,要有猜想或拓展依據(jù). A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),以上推理 ( ) A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 答案 C 解析 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù),所以小前提不正確. 2. 由>,>,>,…,若a>b>0,m>0,則與之間的大小關(guān)系為( ) A.相等 B.前者大 C.后者大 D.不確定 答案 B 3. 由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類比得到“ab=ba”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)c=ac+bc”; ③“(mn)t=m(nt)”類比得到“(ab)c=a(bc)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”類比得到“p≠0,ap=xp?a=x”; ⑤“|mn|=|m||n|”類比得到“|ab|=|a||b|”; ⑥“=”類比得到“=”. 以上式子中,類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 ①②正確;③④⑤⑥錯(cuò)誤. 4. 觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)等于 ( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 答案 D 解析 由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x). 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 在Rt△ABC中,若∠C=90,AC=b,BC=a,則△ABC外接圓半徑r=.運(yùn)用類比方法,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a,b,c,則其外接球的半徑R=________. 答案 解析 通過(guò)類比可得R=.證明: 作一個(gè)在同一個(gè)頂點(diǎn)處棱長(zhǎng)分別為a,b,c的長(zhǎng)方體,則這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度是,故這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑是,這也是所求的三棱錐的外接球的半徑. 6. 在平面內(nèi)有n(n∈N*,n≥3)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過(guò)同一點(diǎn),若這n條直線把平面分成f(n)個(gè)平面區(qū)域,則f(5)的值是______,f(n)的表達(dá)式是________. 答案 16 f(n)= 解析 由題意,n條直線將平面分成+1個(gè)平面區(qū)域,故f(5)=16,f(n)=. 7. 仔細(xì)觀察下面○和●的排列規(guī)律: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○ ●…… 若依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的○和●,那么在前120個(gè)○和●中,●的個(gè)數(shù)是________. 答案 14 解析 進(jìn)行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……,則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)=2+3+4+…+(n+1)=,易知f(14)=119,f(15)=135,故n=14. 三、解答題(共22分) 8. (10分)已知函數(shù)y=f(x),滿足:對(duì)任意a,b∈R,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),試證明:f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù). 證明 設(shè)x1,x2∈R,取x1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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