2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)列求和（含解析）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)列求和（含解析） 1、已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝23n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n項(xiàng)和Sn. 解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3， 所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， Sn＝2＋ln 3＝3n＋ln 3－1； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， Sn＝2－(ln 2－ln 3)＋ln 3 ＝3n－ln 3－ln 2－1. 綜上所述，Sn＝ 2、在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)記cn＝(－1)nbn＋an，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，等差數(shù)列{bn}的公差為d. 由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d， 故??q＝3或1(舍去)． 所以d＝2，所以an＝3n，bn＝2n＋1. (2)由題意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n， Sn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋ (－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝n＋－＝＋n－； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋－＝－n－. 所以Sn＝ 3．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 (　　)． A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. 答案　C 4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，則S17＝ (　　)． A．9 B．8 C．17 D．16 解析　S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案　A 5．已知等比數(shù)列{an}滿足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值． 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，依題意，有 即 由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2. 當(dāng)q＝1時(shí)，不合題意，舍去； 當(dāng)q＝2時(shí)，代入②得a1＝2，所以an＝22n－1＝2n. 故所求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n(n∈N*)． (2)bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n. 所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) ＝－＝2n＋1－2－n－n2. 因?yàn)镾n－2n＋1＋47<0， 所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0， 即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10. 因?yàn)閚∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整數(shù)n的最小值為10. 6．已知在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a2a4＝16，則|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝(　　)． A．224 B．225 C．226 D．256 解析　由a2a4＝a＝16，解得a3＝4，又a1＝1， ∴q2＝4，∴q＝2，∴an＝2n－1，令2n－1≥12，解得n的最小值為5. ∴|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝12－a1＋12－a2＋12－a3＋12－a4＋a5－12＋a6－12＋a7－12＋a8－12 ＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8) ＝－15＋240＝225. 答案　B 1、正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn＜. 解　(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝2n. (2)證明　由于an＝2n，bn＝， 則bn＝＝. Tn＝ ＝ ＜＝. 2、(xx濱州一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn. 解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1， 則Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)， 所以an＝an－1(n≥2)． 故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． 故an＝n－1＝2n(n∈N*)． (2)因?yàn)?－Sn＝an＝n. 所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1， 因?yàn)椋剑剑? 所以Tn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝－＝. 3、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn. 解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1， 則Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)， 所以an＝an－1(n≥2)． 故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． 故an＝n－1＝2n(n∈N*)． (2)因?yàn)?－Sn＝an＝n. 所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1， 因?yàn)椋剑剑? 所以Tn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝－＝. 4.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過(1,2)點(diǎn)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 014的值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　由已知得b＝，∴f(n)＝n2＋n， ∴＝＝＝－， ∴S2 014＝1－＋－＋…＋－＋－＝1－＝. 答案　D 5．正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a－(2n－1)an－2n＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由a－(2n－1)an－2n＝0得(an－2n)(an＋1)＝0，由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，則an＝2n. (2)由(1)知an＝2n，故bn＝＝ ＝， ∴Tn＝ ＝＝. 6．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋4，數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)， (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，求證：＋＋…＋≥. (1)解　a1＝f(d－1)＝d2－4d＋7，a3＝f(d＋1)＝d2＋3， 又由a3＝a1＋2d，可得d＝2，所以a1＝3，an＝2n＋1. (2)證明　Sn＝＝n(n＋2)， ＝＝， 所以，＋＋…＋ ＝ ＝≥＝. 7．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn＝a－4n－1，n∈N*, 且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列． (1)證明：a2＝； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. (1)證明　當(dāng)n＝1時(shí)，4a1＝a－5，a＝4a1＋5， 又an>0，∴a2＝. (2)解　當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝a－4(n－1)－1， ∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4， 即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2， 又an>0，∴an＋1＝an＋2， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是公差為2的等差數(shù)列． 又a2，a5，a14成等比數(shù)列． ∴a＝a2a14，即(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3. 由(1)知a1＝1.又a2－a1＝3－1＝2， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列． ∴an＝2n－1. (3)證明?。剑? ＝ ＝<. 考點(diǎn)三　錯(cuò)位相減法求和 1、(xx山東卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn＋＝λ(λ為常數(shù))，令cn＝b2n(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn. 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d. 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得 解得a1＝1，d＝2. 因此an＝2n－1，n∈N*. (2)由題意知Tn＝λ－， 所以n≥2時(shí)，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝. 故cn＝b2n＝＝(n－1)()n－1，n∈N*， 所以Rn＝0()0＋1()1＋2()2＋3()3＋…＋(n－1)()n－1， 則Rn＝0()1＋1()2＋2()3＋…＋(n－2)()n－1＋(n－1)()n， 兩式相減得 Rn＝()1＋()2＋()3＋…＋()n－1－(n－1)()n＝－(n－1)()n＝－()n， 整理得Rn＝(4－)． 所以數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn＝(4－)． 2、在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2. (1)記bn＝an＋1，求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn. (1)證明　由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)． 因?yàn)閎n＝an＋1，所以bn＋1＝3bn， 又b1＝a1＋1＝3，所以數(shù)列{bn}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列． (2)解　由(1)知an＋1＝3n，an＝3n－1，所以nan＝n3n－n， 所以Sn＝(3＋232＋…＋n3n)－(1＋2＋…＋n)， 其中1＋2＋…＋n＝， 記Tn＝3＋232＋…＋n3n，① 3Tn＝32＋233＋…＋(n－1)3n＋n3n＋1，② 兩式相減得－2Tn＝3＋32＋…＋3n－n3n＋1＝－n3n＋1， 即Tn＝3n＋1＋， 所以Sn＝－. 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an，求Sn. 解　(1)∵Sn＝2an－2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)， 即an＝2an－2an－1，∵an≠0，∴＝2(n≥2，n∈N*)． ∵a1＝S1，∴a1＝2a1－2，即a1＝2. 數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．∴an＝2n. (2)Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an ＝12＋322＋523＋…＋(2n－1)2n， ① ∴2Sn＝122＋323＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1， ② ①－②得－Sn＝12＋(222＋223＋…＋22n)－(2n－1)2n＋1， 即－Sn＝12＋(23＋24＋…＋2n＋1)－(2n－1)2n＋1 ∴Sn＝(2n－3)2n＋1＋6. 4．設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2)令bn＝nan，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由已知，得解得a2＝2. 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q. 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或.由題意得q＞1，所以q＝2.則a1＝1. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n－1. (2)由于bn＝n2n－1，n＝1,2，…， 則Tn＝1＋22＋322＋…＋n2n－1， 所以2Tn＝2＋222＋…＋(n－1)2n－1＋n2n， 兩式相減得－Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n2n＝2n－n2n－1， 即Tn＝(n－1)2n＋1. 5．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝4，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝anx＋an－1x2＋an－2x3＋…＋a1xn，f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令bn＝f′(1)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，并研究其單調(diào)性． 解　(1)由Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)，得Sn－3Sn－1－2n＋2－4＝0(n≥2)， 兩式相減得an＋1－3an－2＝0，可得an＋1＋1＝3(an＋1)(n≥2)， 又由已知得a2＝14，所以a2＋1＝3(a1＋1)，即{an＋1}是一個(gè)首項(xiàng)為5，公比q＝3的等比數(shù)列，所以an＝53n－1－1(n∈N*)． (2)因?yàn)閒′(x)＝an＋2an－1x＋…＋na1xn－1，所以f′(1)＝an＋2an－1＋…＋na1＝(53n－1－1)＋2(53n－2－1)＋…＋n(530－1)＝5(3n－1＋23n－2＋33n－3＋…＋n30)－， 令S＝3n－1＋23n－2＋33n－3＋…＋n30， 則3S＝3n＋23n－1＋33n－2＋…＋n31， 作差得S＝－－，所以f′(1)＝－， 即bn＝－. 而bn＋1＝－，所以bn＋1－bn＝－n－＞0，所以{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列. 求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和問題 1、在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|. [規(guī)范解答] (1)由題意得5a3a1＝(2a2＋2)2， (2分) 即d2－3d－4＝0.故d＝－1或4. (4分) 所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N* ， (6分) (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 因?yàn)閐<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11. ∴Sn＝－n2＋n， (8分) 當(dāng)n≤11時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝Sn＝－n2＋n. (10分) 當(dāng)n≥12時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. (12分) 綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝ 2、已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為－3，前三項(xiàng)的積為8. (1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和． 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d， 由題意，得 解得或 所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. (2)由(1)，知當(dāng)an＝－3n＋5時(shí)，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列；當(dāng)an＝3n－7時(shí)，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件． 故|an|＝|3n－7|＝ 記數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為Sn. 當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝|a1|＝4；當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 當(dāng)n≥3時(shí)，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(33－7)＋(34－7)＋…＋(3n－7) ＝5＋＝n2－n＋10. 當(dāng)n＝2時(shí)，滿足此式．綜上，Sn＝ 考點(diǎn)：公式法 1．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝，a4＝－4，則公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________. 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4＝a1q3，代入數(shù)據(jù)解得q3＝－8，所以q＝－2；等比數(shù)列{|an|}的公比為|q|＝2， 則|an|＝2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－. 答案?。?　2n－1－ 2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則S2 013＝________. 解析　由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，該數(shù)列是周期為4的數(shù)列，所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503(－2)＋1＝－ 1 005. 答案?。? 005 3．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1，則a＋a＋…＋a＝____. 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 又∵a1＝1適合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1. ∴數(shù)列{a}是以a＝1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列． ∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)． 答案　(4n－1) 4．已知函數(shù)f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝ (　　)． A．－100 B．0 C．100 D．10 200 解析　若n為偶數(shù)，則an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，為首項(xiàng)為a2＝－5，公差為－4的等差數(shù)列；若n為奇數(shù)，則an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，為首項(xiàng)為a1＝3，公差為4的等差數(shù)列．所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝503＋4＋50(－5)＋(－4)＝－100. 答案　A 倒序相加法 1．設(shè)f(x)＝，利用倒序相加法，可求得f＋f＋…＋f的值為______． 解析　當(dāng)x1＋x2＝1時(shí)，f(x1)＋f(x2)＝＝＝1. 設(shè)S＝f＋f＋…＋f，倒序相加有2S＝＋＋…＋f＋f＝10，即S＝5. 答案　5 構(gòu)造法 1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列． (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解　(1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1中 令n＝1得，2S1＝a2－22＋1， 令n＝2得，2S2＝a3－23＋1， 解得，a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13. 又2(a2＋5)＝a1＋a3，即2(2a1＋8)＝a1＋6a1＋13， 解得a1＝1. (2)由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1,2Sn＋1＝an＋2－2n＋2＋1，得an＋2＝3an＋1＋2n＋1. 又a1＝1，a2＝5也滿足a2＝3a1＋21，∴an＋1＝3an＋2n對(duì)n∈N*成立， ∴an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)， ∴數(shù)列{an＋2n}以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列． ∴an＋2n＝(a1＋21)3n－1＝3n， ∴an＝3n－2n. 考點(diǎn)： 1．已知在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N*)，求{bn}的通項(xiàng)公式bn. 解　(1)由題意，得2a2＝a1＋a3－1，即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q2. 又q≠0，解得q＝2，∴an＝2n－1. (2)當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝a1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)，nbn＝an－an－1＝2n－2，即bn＝， ∴bn＝