2019-2020年高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的應用 第1節(jié) 函數(shù)與方程（1）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的應用 第1節(jié) 函數(shù)與方程（1）教案 新人教A版必修1 函數(shù)的應用是學習函數(shù)的一個重要方面．學生學習函數(shù)的應用，目的就是利用已有的函數(shù)知識分析問題和解決問題．通過函數(shù)的應用，對完善函數(shù)的思想，激發(fā)應用數(shù)學的意識，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，增強實踐的能力等，都有很大的幫助． 本章主要內(nèi)容：函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應用、實習作業(yè)和小結．在函數(shù)與方程這一節(jié)中課本從學生最熟悉的二次函數(shù)入手，通過研究方程的根與函數(shù)的零點的關系，使函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到充分的應用，同時也展現(xiàn)了函數(shù)和方程的密切關系．求函數(shù)零點的近似解不僅展示了數(shù)學方法的嚴謹性、科學性，也為計算機的應用提供了廣闊的空間．讓學生進一步受到數(shù)學思想方法的熏陶，激發(fā)學生的學習熱情． 在函數(shù)模型及其應用這一節(jié)中讓學生近距離接近社會生活，從生活中學習數(shù)學，使數(shù)學在社會生活中得到應用和提高，讓學生體會到數(shù)學是有用的，從而培養(yǎng)學生的學習興趣．“數(shù)學建模”也是高考考查的重點． 本章還是數(shù)學思想方法的載體，學生在學習中會經(jīng)常用到“函數(shù)方程思想”“數(shù)形結合思想”“轉化思想”，從而提高自己的數(shù)學能力． 因此應從三個方面把握本章：(1)知識間的聯(lián)系；(2)數(shù)學思想方法；(3)認知規(guī)律． 本章教學時間約需8課時，具體分配如下(僅供參考)： 3.1　函數(shù)與方程 約2課時 3.2　函數(shù)模型及其應用 約4課時 實習作業(yè) 約1課時 本章復習 約1課時 作者：陳美珠，泉州第九中學教師．本教學設計獲福建省教學設計大賽一等獎． 教學內(nèi)容分析　　　 本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學Ⅰ必修本(A版)》的第三章第一課時3.1.1方程的根與函數(shù)的零點． 函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，既是初等數(shù)學的基礎，又是初等數(shù)學與高等數(shù)學的連接紐帶．在現(xiàn)實生活注重理論與實踐相結合的今天，函數(shù)與方程都有著十分重要的應用，再加上函數(shù)與方程還是中學四大數(shù)學思想之一，因此函數(shù)與方程在整個高中數(shù)學教學中占有非常重要的地位． 就本章而言，本節(jié)通過對二次函數(shù)的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數(shù)，建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形．它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，也引出對函數(shù)知識的總結拓展．之后將函數(shù)零點與方程的根的關系在利用二分法解方程中(3.1.2)加以應用，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解(3.2)更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關系，逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系，滲透“方程與函數(shù)”思想． 總之，本節(jié)課滲透著重要的數(shù)學思想“特殊到一般的歸納思想”、“方程與函數(shù)”和“數(shù)形結合”的思想，教好本節(jié)課可以為學好中學數(shù)學打下一個良好的基礎，因此教好本節(jié)是至關重要的. 學生學習情況分析　 程度差異性：中低等程度的學生占大多數(shù)，程度較高與程度很差的學生占少數(shù)． 知識、心理、能力儲備：學生之前已經(jīng)學習了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，現(xiàn)在基本會畫簡單函數(shù)的圖象，也會通過圖象去研究理解函數(shù)的性質(zhì)，這就為學生理解函數(shù)的零點提供了幫助，初步的數(shù)形結合知識也足以讓學生直觀理解函數(shù)零點的存在性，因此從學生熟悉的二次函數(shù)的圖象入手介紹函數(shù)的零點，從認知規(guī)律上講，應該是容易理解的．再者一元二次方程是初中的重要內(nèi)容，學生應該有較好的基礎，對于它的根的個數(shù)以及存在性學生比較熟悉，學生理解起來沒有多大問題．這也為我們歸納函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系提供了知識基礎．但是學生對其他函數(shù)的圖象與性質(zhì)認識不深(比如三次函數(shù))，對于高次方程還不熟悉，我們?nèi)狈Ω囝愋偷睦?，讓學生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，因此理解函數(shù)的零點、函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系應該是學生學習的難點．加之函數(shù)零點的存在性的判定方法的表示抽象難懂．因此在教學中應加強師生互動，盡多地給學生動手的機會，讓學生在實踐中體驗二者的聯(lián)系，并充分提供不同類型的二次函數(shù)和相應的一元二次方程讓學生研討，從而直觀地歸納、總結、分析出二者的聯(lián)系． 設計思想　　　　　 教學理念：培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，學會嚴密思考，并從中找到樂趣． 教學原則：注重各個層面的學生． 教學方法：啟發(fā)誘導式． 教學目標　　　　　 以二次函數(shù)的圖象與對應的一元二次方程的關系為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點的關系，發(fā)現(xiàn)并掌握在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法；學會在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法．讓學生在探究過程中體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想，從特殊到一般的歸納思想，培養(yǎng)學生的辯證思維以及分析問題解決問題的能力． 教學重點與難點　 重點：函數(shù)零點與方程根之間的關系；連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法． 難點：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的判定方法． 1　方程的根與函數(shù)的零點以及零點存在性的探索 1．1　方程的根與函數(shù)的零點 導入新課　　　　　 問題1：解方程(比賽)：①6x－1＝0；②3x2＋6x－1＝0. 再比賽解3x5＋6x－1＝0. 設計意圖 問題1(產(chǎn)生疑問，引起興趣，引出課題) 比賽模式引入，調(diào)動積極性，可根據(jù)學分評定中進行過程性評定加分獎勵，充分調(diào)動學生的積極性和主動性． 第三題學生無法解答，產(chǎn)生疑惑引入課題：教師介紹說一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通過系數(shù)的四則運算，乘方與開方等運算來表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如3x5＋6x－1＝0.緊接著介紹阿貝爾(挪威)定理(五次及高于五次的代數(shù)方程沒有一般的代數(shù)解法)，伽羅瓦(法國)的近世代數(shù)理論，提出早在十三世紀的中國，秦九韶等數(shù)學家就提出了高次方程數(shù)值解的解法，振奮學生的民族自豪感，最后引出人們一直在研究方程的近似解方法二分法． 問題2：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數(shù)的圖象：如圖1. ①方程x2－2x－3＝0與函數(shù)y＝x2－2x－3； ②方程x2－2x＋1＝0與函數(shù)y＝x2－2x＋1； ③方程x2－2x＋3＝0與函數(shù)y＝x2－2x＋3. 圖1 [師生互動] 師：教師引導學生解方程、畫函數(shù)圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點坐標的關系，推廣到一般的方程和函數(shù)，引出零點概念． 零點概念：對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點． 師：填表格： 函數(shù) y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3 函數(shù)的零點 方程的根 生：經(jīng)過獨立思考，填完表格． 師提示：根據(jù)零點概念，提出問題，零點是點嗎？零點與方程的根有何關系？ 生：經(jīng)過觀察表格，得出第一個結論． 師再問：根據(jù)概念，函數(shù)y＝f(x)的零點與函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點有什么關系？ 生：經(jīng)過觀察圖象與x軸的交點完成解答，得出第二個結論． 師：概括總結前兩個結論(請學生總結)． (1)概念：函數(shù)的零點并不是“點”，它不是以坐標的形式出現(xiàn)，而是實數(shù)．例如函數(shù)y＝x2－2x－3的零點為x＝－1,3. (2)函數(shù)零點的意義：函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根，亦即函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標． (3)方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． 師：引導學生仔細體會上述結論． 再提出問題：如何根據(jù)函數(shù)零點的意義求零點？ 生：可以解方程f(x)＝0而得到(代數(shù)法)； 可以利用函數(shù)y＝f(x)的圖象找出零點．(幾何法) 問題2：一方面讓學生理解函數(shù)零點的含義，另一方面通過對比讓學生再次加深對二者關系的認識，使函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標到函數(shù)零點的概念轉變得更自然、更易懂．通過對比教學揭示知識點之間的密切關系． 問題3：是不是所有的二次函數(shù)都有零點？ 師：僅提出問題，不須做任何提示． 生：根據(jù)函數(shù)零點的意義探索研究二次函數(shù)的零點情況，并進行交流，總結概括形成結論． 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點：看Δ. (1)Δ>0，方程ax2＋bx＋c＝0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點． (2)Δ＝0，方程ax2＋bx＋c＝0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個零點． (3)Δ<0，方程ax2＋bx＋c＝0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點． 第一階段設計意圖： 本節(jié)的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結了二次函數(shù)的零點情況，給學生一個清晰的解題思路，進而培養(yǎng)學生歸納總結的能力． 1．2　零點存在性的探索 [師生互動] 師：要求學生用連續(xù)不斷的幾條曲線連接如圖2所示的A、B兩點，觀察所畫曲線與直線l的相交情況，由兩個學生上臺板書： 圖2 生：兩個學生畫出連接A、B兩點的幾條曲線后發(fā)現(xiàn)這些曲線必與直線l相交． 師：再用連續(xù)不斷的幾條函數(shù)曲線連接如圖A、B兩點，引導學生觀察所畫曲線與直線l的相交情況，說明連接A、B兩點的函數(shù)曲線交點必在區(qū)間(a，b)內(nèi)． 生：觀察下面函數(shù)f(x)＝0的圖象(如圖3)并回答： 圖3 (1)區(qū)間[a，b]上________(有/無)零點；f(a)f(b)________0(<或>)． (2)區(qū)間[b，c]上________(有/無)零點；f(b)f(c)________0(<或>)． (3)區(qū)間[c，d]上________(有或無)零點；f(c)f(d)________0(<或>)． 答案：略 師：教師引導學生結合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的符號情況，與函數(shù)零點是否存在著一定的關系． 生：根據(jù)函數(shù)零點的意義結合函數(shù)圖象，歸納得出函數(shù)零點存在的條件，并進行交流、評析，總結概括形成結論： 一般地，我們有：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． 第二階段設計意圖： 教師引導學生探索歸納總結函數(shù)零點存在定理，培養(yǎng)學生的歸納總結能力和邏輯思維能力． 例1已知函數(shù)f(x)＝－3x5－6x＋1有如下對應值表： x －2 －1.5 0 1 2 F(x) 109 44.17 1 －8 －107 函數(shù)y＝f(x)在哪幾個區(qū)間內(nèi)必有零點？為什么？ 設計意圖 通過本例引導探索，師生互動． 探求1：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)>0時，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)沒有零點嗎？ 探求2：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b)<0時，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，但是否只一個零點？ 探求3：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點時一定有f(a)f(b)<0嗎？ 探求4：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象不是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點時一定有f(a)f(b)<0嗎？ 師：總結兩個條件： (1)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線； (2)在區(qū)間[a，b]上有f(a)f(b)<0. 一個結論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點． 補充：什么時候只有一個零點？ (觀察得出)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)時只有一個零點． 例2 求函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點個數(shù)．問題： (1)你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點個數(shù)？ (2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得到該函數(shù)具有什么特性？ 第三階段設計意圖： 教師引導學生理解函數(shù)零點存在定理，分析其中各條件的作用，應用例1，例2加深對定理的理解． (可根據(jù)時間和學生對知識的接受程度適當調(diào)整) 1．求函數(shù)y＝x3－2x2－x＋2的零點，并畫出它的大致圖象． 2．利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根： (1)x2－x－2＝0；(2)f(x)＝ex－4x. 3．利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間： (1)f(x)＝－x3－3x＋3；(2)f(x)＝2xln(x－2)－3. [師生互動] 師：多媒體演示；結合圖象考察零點所在的大致區(qū)間與個數(shù)，結合函數(shù)的單調(diào)性說明零點的個數(shù)；讓學生認識到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)(特別是單調(diào)性)在確定函數(shù)零點中的重要作用． 生：建議學生使用計算器求出函數(shù)的大致區(qū)間，培養(yǎng)學生的估算能力，也為下一節(jié)的用二分法求方程的近似解作準備． 第四階段設計意圖： 利用練習鞏固新知識，加深理解，為用二分法求方程的近似解作準備． (可根據(jù)時間和學生對知識的接受程度適當調(diào)整) 討論：請大家給出方程x2ex－3＝0的一個解的大約范圍，看誰找的范圍更??？ [師生互動] 師：把學生分成小組共同探究，給學生足夠的自主學習時間，讓學生充分研究，發(fā)揮其主觀能動性．也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究，激發(fā)學生的學習潛能和熱情．老師用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區(qū)間的大小情況． 生：分組討論，各抒己見．在探究學習中得到數(shù)學能力的提高． 第五階段設計意圖： 一是為用二分法求方程的近似解作準備， 二是小組探究合作學習，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和探究意識，本組探究題目就是為了培養(yǎng)學生的探究能力，此組題目具有較強的開放性，探究性，基本上可以達到上述目的． 零點的概念； 零點存在性的判斷； 零點存在性定理的應用注意點：零點個數(shù)判斷以及方程根所在區(qū)間． 教材習題3.1(A組)第1、2題． 思考 總結函數(shù)零點求法要注意的問題；思考可以用求函數(shù)零點的方法求方程的近似解嗎？ 教學程序設計框圖： —— ↓ ——結合實際問題誘發(fā)興趣，結合二次函數(shù)引入課題． ↓ ——二次函數(shù)的零點及零點存在性的探究． ↓ ——零點存在性為練習重點． ↓ ——進一步探索函數(shù)零點存在性的判定． ↓ ——重點放在零點的存在性判斷及零點的確定上． ↓ ——研究二次函數(shù)在零點、零點范圍之內(nèi)及零點范圍之外的函數(shù)值符號，并嘗試進行系統(tǒng)的總結． 本設計遵循了由淺入深、循序漸進的原則，分三步來展開這部分的內(nèi)容．第一步，從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形．第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數(shù)圖象和性質(zhì)研究方程的解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的關系．第三步，在函數(shù)模型的應用過程中，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關系，逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系．本節(jié)只是函數(shù)與方程的關系建立的第一步，教學中忌面面俱到，延展太深． 恰當使用信息技術：本節(jié)的教學中應恰當使用信息技術．實際上，一些內(nèi)容因為涉及大數(shù)字運算、大量的數(shù)據(jù)處理、超越方程求解以及復雜的函數(shù)作圖，因此如果沒有信息技術的支持，教學是不容易展開的．因此，教學中會加強信息技術的使用力度，合理使用多媒體和計算器．