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2019-2020年高中數學競賽標準教材講義 幾個初等函數的性質教案
一、基礎知識
1．指數函數及其性質：形如y=ax(a>0, a1)的函數叫做指數函數，其定義域為R，值域為（0，+∞），當0
1時，y=ax為增函數，它的圖象恒過定點（0，1）．
2．分數指數冪：．
3．對數函數及其性質：形如y=logax(a>0, a1)的函數叫做對數函數，其定義域為（0，+∞），值域為R，圖象過定點（1，0）．當01時，y=logax為增函數．
4．對數的性質（M>0, N>0）；
1）ax=Mx=log aM(a>0, a1)；
2）log a (MN)= log a M+ log a N；
3）log a（）= log a M- log a N；4）log a Mn=n log a M；，
5）log a =log a M；6）alog a M=M; 7) log a b=(a,b,c>0, a, c1).
5. 函數y=x+（a>0）的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間為和．（請讀者自己用定義證明）
6．連續(xù)函數的性質：若a0.
【證明】 設f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，則f(x)是關于x的一次函數．
所以要證原不等式成立，只需證f(-1)>0且f(1)>0（因為-10，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，
所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.
例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全為0的實數，b1, b2,…,bn∈R，則（）（）≥()2，等號當且僅當存在R，使a i=, i=1, 2, …, n時成立．
【證明】 令f(x)= （）x2-2()x+=,
因為>0，且對任意x∈R, f(x)≥0，
所以△=4()-4（）()≤0.
展開得（）()≥()2．
等號成立等價于f(x)=0有實根，即存在，使a i=, i=1, 2, …, n．
例3 設x, y∈R+, x+y=c, c為常數且c∈(0, 2]，求u=的最小值．
【解】u==xy+≥xy++2
=xy++2.
令xy=t，則00，所以=
例5 對于正整數a, b, c(a≤b≤c)和實數x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求證：a+b=c.
【證明】 由ax=by=cz=70w取常用對數得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由題設，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=257.
若a=1，則因為xlga=wlg70，所以w=0與題設矛盾，所以a>1.
又a≤b≤c，且a, b, c為70的正約數，所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.
【證明】 由題設logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對數，得
，
因為ac>0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指數與對數式互化，取對數，換元，換底公式往往是解題的橋梁．
3．指數與對數方程的解法．
解此類方程的主要思想是通過指對數的運算和換元等進行化簡求解．值得注意的是函數單調性的應用和未知數范圍的討論．
例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 方程可化為=1．設f(x)= , 則f(x)在(-∞,+∞)上是減函數，因為f(3)=1，所以方程只有一個解x=3.
例8 解方程組：（其中x, y∈R+）.
【解】 兩邊取對數，則原方程組可化為 ①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y>0，所以y=2, x=4.
所以方程組的解為 .
例9 已知a>0, a1，試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍．
【解】由對數性質知，原方程的解x應滿足.①②③
若①、②同時成立，則③必成立，
故只需解.
由①可得2kx=a(1+k2)， ④
當k=0時，④無解；當k0時，④的解是x=，代入②得>k.
若k<0，則k2>1，所以k<-1；若k>0，則k2<1，所以00且a1，比較大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，則函數y=[f(x)]2+f(x2)的值域為_________．
8．若x=，則與x最接近的整數是_________．
9．函數的單調遞增區(qū)間是_________．
10．函數f(x)=的值域為_________．
11．設f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n xa]，其中n為給定正整數, n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]時有意義，求a的取值范圍．
12．當a為何值時，方程=2有一解，二解，無解？
四、高考水平訓練題
1．函數f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈時恒成立，則m的取值范圍是_________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，則x2, x, 1從大到小排列是_________.
4. 若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=_________.
5. 命題p: 函數y=log 2在[2，+∞）上是增函數；命題q：函數y=log2(ax2-4x+1)的值域為R，則p是q的_________條件.
6．若00且a1，比較大?。簗log a(1-b)| _________|log a(1+b)|.
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，則函數y=[f(x)]2+f(x2)的值域為_________.
8．若x=，則與x最接近的整數是_________.
9．函數y=的單調遞增區(qū)間是_________.
10．函數f(x)=的值域為_________.
11．設f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n xa]，其中n為給定正整數，n≥2,a∈R．若f(x) 在x∈(-∞,1]時有意義，求a的取值范圍．
12．當a為何值時，方程=2有一解，二解，無解？
四、高考水平訓練題
1．函數f(x)=+lg(x2-1)的定義域是__________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈時恒成立，則m的取值范圍是 ________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，則x2, x, 1從大到小排列是________.
4．若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=成立的a, b的取值范圍是________.
5．已知an=logn(n+1)，設，其中p, q為整數，且(p ,q)=1，則pq的值為_________.
6．已知x>10, y>10, xy=1000，則(lgx)(lgy)的取值范圍是________.
7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數解，則實數k的取值范圍是________.
8．函數f(x)=的定義域為R，若關于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7個不同的實數解，則b, c應滿足的充要條件是________.
（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0．
9．已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，則F(x)是________函數（填奇偶性）.
10．已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|<1, |b|<1，則f(a)+f(b)=________.
11．設a∈R，試討論關于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實數解的個數．
12．設f(x)=|lgx|，實數a, b滿足00且a1, f(x)=loga(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函數f-1(x)；（2）若f-1(n)<(n∈N+)，求a的取值范圍．
五、聯(lián)賽一試水平訓練題
1．如果log2[log(log2x)]= log3[log(log3x)]= log5[log(log5z)]=0，那么將x, y, z從小到大排列為___________.
2．設對任意實數x0> x1> x2> x3>0，都有l(wèi)og1993+ log1993+ log1993> klog1993恒成立，則k的最大值為___________.
3．實數x, y滿足4x2-5xy+4y2=5，設S=x2+y2，則的值為___________.
4．已知00的解集為___________.
9．已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).
10．（1）試畫出由方程所確定的函數y=f(x)圖象．
（2）若函數y=ax+與y=f(x)的圖象恰有一個公共點，求a的取值范圍．
11．對于任意n∈N+(n>1)，試證明：[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]．
六、聯(lián)賽二試水平訓練題
1．設x, y, z∈R+且x+y+z=1，求u=的最小值．
2．當a為何值時，不等式loglog5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一個解（a>1且a1）．
3．f(x)是定義在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函數，滿足條件；對于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立，試確定所有這樣的函數f(x).
4. 求所有函數f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立．
5．設m≥14是一個整數，函數f：N→N定義如下：
f(n)=,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6．求定義在有理數集上且滿足下列條件的所有函數f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), x, y∈Q.
7．是否存在函數f(n)，將自然數集N映為自身，且對每個n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立．
8．設p, q是任意自然數，求證：存在這樣的f(x) ∈Z(x)（表示整系數多項式集合），使對x軸上的某個長為的開區(qū)間中的每一個數x, 有
9．設α，β為實數，求所有f: R+→R，使得對任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2f成立．
2019-2020年高中數學競賽標準教材講義 幾個初等函數的性質教案.doc
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