2019-2020年高中數學第三單元導數及其應用3.1.1函數的平均變化率3.1.2瞬時速度與導數教學案新人教B版選修1.doc
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2019-2020年高中數學第三單元導數及其應用3.1.1函數的平均變化率3.1.2瞬時速度與導數教學案新人教B版選修1 學習目標 1.了解導數概念的實際背景，理解平均變化率和瞬時速度.2.會求函數在某一點附近的平均變化率.3.會利用導數的定義求函數在某點處的導數． 知識點一 函數的平均變化率 假設如圖是一座山的剖面示意圖，并建立如圖所示的平面直角坐標系．A是出發(fā)點，H是山頂．爬山路線用函數y＝f(x)表示． 自變量x表示某旅游者的水平位置，函數值y＝f(x)表示此時旅游者所在的高度．設點A的坐標為(x1，y1)，點B的坐標為(x2，y2)． 思考1 若旅游者從點A爬到點B，自變量x和函數值y的改變量分別是多少？ 思考2 怎樣用數量刻畫彎曲山路的陡峭程度？ 思考3 觀察函數y＝f(x)的圖象，平均變化率＝表示什么？ 梳理 函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 (1)定義式：＝. (2)實質：____________的增量與____________的增量之比． (3)作用：刻畫函數值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢． (4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變化率＝表示割線P1P2的________． 知識點二 瞬時變化率 思考1 物體的路程s與時間t的關系是s(t)＝5t2，試求物體在[1,1＋Δt]這段時間內的平均速度． 思考2 當Δt趨近于0時，思考1中的平均速度趨近于多少？怎樣理解這一速度？ 梳理 (1)物體運動的瞬時速度 設物體運動的路程與時間的關系是s＝f(t)，當________________時，當Δt趨近于0時，函數f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變化率為________________趨近于常數，這個常數稱為t0時刻的瞬時速度． (2)函數的瞬時變化率 設函數y＝f(x)在x0附近有定義，當自變量在x＝x0附近改變Δx時，函數值相應地改變Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當Δx趨近于0時，平均變化率____________趨近于一個常數l，則數l稱為函數f(x)在點x0的瞬時變化率． 知識點三 函數在某一點處的導數與導函數 思考 f′(x0)與f′(x)表示的意義一樣嗎？ 梳理 (1)函數f(x)在x＝x0處的導數 函數y＝f(x)在x＝x0處的________________稱為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作____________，即f′(x0)＝________________. (2)導函數定義 如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內每一點x導數都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導，這樣，對開區(qū)間(a，b)內每個值x，都對應一個________________，于是在區(qū)間(a，b)內f′(x)構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數y＝f(x)的導函數．記為f′(x)(或y′x、y′)． (3)函數y＝f(x)在點x0處的導數f′(x0)就是導函數f′(x)在點x＝x0處的函數值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0. 類型一 函數的平均變化率 例1 (1)已知函數f(x)＝2x2＋3x－5. ①求：當x1＝4，x2＝5時，函數增量Δy和平均變化率； ②求：當x1＝4，x2＝4.1時，函數增量Δy和平均變化率. (2)求函數y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx都為，哪一點附近的平均變化率最大？ 反思與感悟 求平均變化率的主要步驟 (1)先計算函數值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再計算自變量的改變量Δx＝x2－x1； (3)得平均變化率＝. 跟蹤訓練1 (1)已知函數f(x)＝x2＋2x－5的圖象上的一點A(－1，－6)及鄰近一點B(－1＋Δx，－6＋Δy)，則＝________. (2)如圖所示是函數y＝f(x)的圖象，則函數f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為________；函數f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________． 類型二 求瞬時速度 例2 某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時的瞬時速度． 引申探究 1．若本例的條件不變，試求物體的初速度． 2．若本例的條件不變，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9 m/s. 反思與感悟 (1)不能將物體的瞬時速度轉化為函數的瞬時變化率是導致無從下手解答本題的常見問題． (2)求運動物體瞬時速度的三個步驟 ①求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． ②求平均速度＝. ③求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于的常數v即為瞬時速度，即v＝s′(t0)． 跟蹤訓練2 一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質點M在t＝2 s時的瞬時速度為8 m/s，求常數a的值． 類型三 求函數在某一點處的導數 例3 求函數f(x)＝在x＝1處的導數． 反思與感悟 求一個函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的步驟如下： (1)求函數值的變化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率＝； (3)取極限，得導數f′(x0)＝ . 跟蹤訓練3 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0. 1．一物體的運動方程是s＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時間內的平均速度是( ) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 2．函數f(x)在x0處可導，則 ( ) A．與x0、h都有關 B．僅與x0有關，而與h無關 C．僅與h有關，而與x0無關 D．與x0、h均無關 3．當球的半徑從1增加到2時，球的體積的平均膨脹率為________． 4．函數y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3處的導數為________． 5．已知函數f(x)＝在x＝1處的導數為－2，則實數a的值是________． 利用導數定義求導數三步曲 (1)求函數的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均變化率＝. (3)取極限，得導數f′(x0)＝ . 簡記為一差，二比，三極限． 特別提醒：①取極限前，要注意化簡，保證使當Δx→0時，分母不為0. ②函數在x0處的導數f′(x0)只與x0有關，與Δx無關． 答案精析 問題導學 知識點一 思考1 自變量x的改變量為x2－x1，記作Δx，函數值y的改變量為y2－y1，記作Δy. 思考2 對山路AB來說，用＝可近似地刻畫其陡峭程度． 思考3 觀察圖象可看出，表示曲線y＝f(x)上兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率． 梳理 (2)函數值 自變量 (4)斜率 知識點二 思考1 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， ＝＝10＋5Δt. 思考2 當Δt趨近于0時，趨近于10，這時的平均速度即為t＝1時的瞬時速度． 梳理 (1)t0到t0＋Δt (2) 知識點三 思考 f′(x0)表示f(x)在x＝x0處的導數，是一個確定的值．f′(x)是f(x)的導函數，它是一個函數．f′(x0)是導函數f′(x)在x＝x0處的函數值． 梳理 (1)瞬時變化率 f′(x0)或y′|x＝x0 (2)確定的導數f′(x) 題型探究 例1 解 (1)因為f(x)＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. ＝ ＝2Δx＋4x1＋3. ①當x1＝4，x2＝5時，Δx＝1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19 ＝21，＝21. ②當x1＝4，x2＝4.1時，Δx＝0.1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ＝2Δx＋4x1＋3＝19.2. (2)在x＝1附近的平均變化率為 k1＝＝ ＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為 k2＝＝ ＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為 k3＝＝ ＝6＋Δx. 當Δx＝時，k1＝2＋＝， k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1
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