2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教案 新人教A版 高考要求： 1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，了解對(duì)數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a>0，a≠1)，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 知識(shí)梳理 1.對(duì)數(shù)的概念 (1)對(duì)數(shù)的定義 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作___ x＝logaN ___，其中__ a __叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，__ N __叫做真數(shù).真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無對(duì)數(shù)）．　　 說明：①實(shí)質(zhì)上，上述對(duì)數(shù)表達(dá)式，不過是指數(shù)函數(shù)的另一種表達(dá)形式，例如：與 這兩個(gè)式子表達(dá)是同一關(guān)系，因此，有關(guān)系式 ②“”同“+”“”“”等符號(hào)一樣，表示一種運(yùn)算，即已知一個(gè)數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫對(duì)數(shù)運(yùn)算，不過對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)寫在數(shù)的前面。 ③對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù) 從對(duì)數(shù)的實(shí)質(zhì)看：如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，即b＝logaN.它是知道底數(shù)和冪求指數(shù)的過程.底數(shù)a從定義中已知其大于0且不等于1；N在對(duì)數(shù)式中叫真數(shù)，在指數(shù)式中，它就是冪，所以它自然應(yīng)該是大于0的. (2)幾種常見對(duì)數(shù) 對(duì)數(shù)形式 特點(diǎn) 記法 一般對(duì)數(shù) 底數(shù)為a(a>0且a≠1) logaN 常用對(duì)數(shù) 底數(shù)為__10____ lg_N 自然對(duì)數(shù) 底數(shù)為__e__ ln_N 2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則 (1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)(a>0且a≠1) ①＝__ N __； ②＝__0__； ③＝_ N ___； ④＝_1___. (2)對(duì)數(shù)的重要公式 ①換底公式：logbN＝__________(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣ogablogbclogcd＝_ logad ___. (3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ① loga(MN)＝___ logaM＋logaN _____；②loga＝___ logaM－logaN　________； ③logaMn＝___ nlogaM __ (n∈R)；④＝logaM. 點(diǎn)評(píng)：（1）要熟練掌握公式的運(yùn)用和逆用。 （2）在使用公式的過程中，要注意公式成立的條件。 例如：真數(shù)為兩負(fù)數(shù)的積，不能寫成= 3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) ① 對(duì)數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)稱對(duì)數(shù)函數(shù)， 說明：（1）一個(gè)函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的條件是： ①系數(shù)為1； ② 底數(shù)為大于0且不等于1的正常數(shù)； ③ 變量為真數(shù). ④ 在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域應(yīng)為{x|x>0}. ⑤ 對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域： 特別應(yīng)注意的是：真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1。 ②函數(shù)圖像： 1）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、四象限； 2）對(duì)數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向上無限接近軸；當(dāng)時(shí)，圖象向下無限接近軸）； 3）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。 a>1 01時(shí)，_ y>0　_______ 當(dāng)01時(shí)，__ y<0______ 當(dāng)00 ______ (6)在(0，＋∞)上是___增__ (7)在(0，＋∞)上是_減____ 變化對(duì)圖象的影響 在第一象限內(nèi)，從順時(shí)針方向看圖象，逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時(shí)針方向看圖象，逐漸減小. 奇偶性 非奇非偶 4.反函數(shù) 反函數(shù)及其性質(zhì) ①互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。 ②若函數(shù)上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)圖象上，反之若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上。 由對(duì)數(shù)的定義容易知道:指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)___.y＝logax _______互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線　___y＝x _____對(duì)稱. 由指數(shù)函數(shù)的定義域，值域，容易得到對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋? 題型分析 題型一對(duì)數(shù)形式與指數(shù)形式的互化 ［例1］（1）下列指數(shù)式改寫成對(duì)數(shù)式； ； ； ； （2）下列對(duì)數(shù)式改寫成指數(shù)式； ； ； （3）求下列各式的 ①； ②； ③； ④ ［解析］①由，得，即； ②由，得，即，故； ③由，得故； ④由，得故 (4)若loga2=m,loga3=n,a2m+n= 12 。 ［點(diǎn)評(píng)］對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式與指數(shù)形式的互化又是解決問題重要手段。 題型二　對(duì)數(shù)式的化簡與求值 例2?。?）計(jì)算下列各式. ①lg 25＋lg 2lg 50＋(lg 2)2； ②； ③(log32＋log92)(log43＋log83). 解　①原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. ②原式＝＝＝－. ③原式＝＝＝＝. （2）已知求 解法一：∵，∴ ∴ 解法二：∵∴ ∴ （3）設(shè)，求的值. ［解析］（1）∵∴ ∴， ∴ 探究提高　(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡合并，在運(yùn)算中要注意化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)互化. (2)熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡、證明常用的技巧. 變式訓(xùn)練2：(1)計(jì)算：log2.56.25＋lg＋ln＋= ． （2）求下列各式的值： ①； ［解析］原式 ②； 原式=== ③ 解：∵ ∴原式 (3)已知f(3x)＝4xlog23＋233，求f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值. 解析　令3x＝t，f(t)＝4log2t＋233， ∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4(1＋2＋…＋8)＋8233＝436＋1 864＝2 008. （4）設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m的值為 (　　) A. B．10 C．20 D．100 （5）已知均大于1，，求 ［解析］由得由得， 由得，即 ∴，解得 ∴ 題型三　對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 探究點(diǎn)三　含對(duì)數(shù)式的大小比較 例3　(1)比較下列各組數(shù)的大?。? ①log3與log5；②log1.10.7與log1.20.7. 解　(1)①∵log3log51＝0，∴l(xiāng)og3log0.71.1>log0.71.2. ∴<， 由換底公式可得log1.10.7b>c　　　B．b>a>c　　　 C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b (3)，則（ ） A． B． C． D． ［解析］， ，∴ (1)設(shè)a＝log3π，b＝log2，c＝log3，則 (　　) A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．b>c>a 解：a＝log3π>1，b＝log23，則b>c. （2）設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且2a＝,()b＝， ()c＝log2c，則 (　　) A．a(chǎn)1，logb＝()b∈(0,1)， log2c＝()c∈(0,1)．∴0|－1|>|－1|，∴f()n ____ 解析　∵m<0，n<0，∵＝logaclogcb＝logabn. 點(diǎn)評(píng)： 用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小 (1)同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較 例如，比較logaf(x)與logag(x)的大小， 其中a>0且a≠1. ①若a>1，則logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0. ②若0logag(x)?00且a≠1)的圖象過兩點(diǎn)(－1,0)和(0,1)，則a＝__2____，b＝__2____. （3）函數(shù)f(x)＝(x2－2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____（－，－1）_____ 求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的步驟： ①確定定義域； ②弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)； ③分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； ④若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減，則y＝f(g(x))為增函數(shù)，若一增一減，則y＝f(g(x))為減函數(shù)，即“同增異減”． （4）.函數(shù)y＝（－1）的圖象關(guān)于（　?。? A．y軸對(duì)稱 B．x軸對(duì)稱 C．原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線y＝x對(duì)稱 (5)若函數(shù)是奇函數(shù)，則 解：由于是奇函數(shù)，∴， 即， ∴，又，∴ (6)已知函數(shù)，若，則等于（ ） A． B．－ C．2 D．－2 題型四　對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用 例5?。?）已知、、為正數(shù)，且，求的取值范圍. ［解析］∵∴ ∴ ∵，∴上式關(guān)于的方程有實(shí)根?！? ∴ ∴，或 ∴或 （2）已知函數(shù)f(x)＝loga(8－2x) (a>0且a≠1). (1)若f(2)＝2，求a的值； (2)當(dāng)a>1時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)＋f(－x)的最大值. 　解　(1)f(2)＝loga4， 依題意f(2)＝2，則loga4＝2，∴a＝2. (2)由題意知8－2x>0，解得x<3， 由8－2－x>0知，x>－3，∴函數(shù)y＝f(x)＋f(－x)的定義域?yàn)?－3,3). 又y＝f(x)＋f(－x)＝loga(8－2x)＋loga(8－2－x)＝loga[65－8(2x＋2－x)]， ∵>2x＋2－x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，∴0<65－8(2x＋2－x)≤49， ∴當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)＋f(－x)在x＝0處取得最大值loga49. 探究提高　本題的求解體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，主要涉及對(duì)數(shù)式的求值，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用以及與其他知識(shí)的結(jié)合(如不等式、指數(shù)函數(shù)等). 變式訓(xùn)練5 （1）已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1) (a>1)，若函數(shù)y＝g(x)圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象. ①寫出函數(shù)g(x)的解析式； ②當(dāng)x∈[0,1)時(shí)總有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范圍. 　解　(1)設(shè)P(x，y)為g(x)圖象上任意一點(diǎn)，則Q(－x，－y)是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)， ∵Q(－x，－y)在f(x)的圖象上，∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x). (2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m. 設(shè)F(x)＝loga，x∈[0,1)，由題意知，只要F(x)min≥m即可. ∵F(x)在[0,1)上是增函數(shù)，∴F(x)min＝F(0)＝0. 故m≤0即為所求. （2）已知函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)＝x；當(dāng)x<4時(shí)，f(x)＝f(x＋1)．則f(2＋log23)的值為 (　　) A. B. C. D. 解：因?yàn)?<2＋log23<4，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log23>4， 故f(3＋log23)＝3＋log23＝3＝.] （3）定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上遞增，f()＝0，則滿足>0的x的取值范圍是 (　　) A．(0，＋∞) B．(0，)∪(2，＋∞) C．(0，)∪(，2) D．(0，) 解：由題意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|logx|)>f()，f(x)在[0，＋∞)上遞增，于是|logx|>，解得x的取值范圍是(0，)∪(2，＋∞)． （4）函數(shù)y＝loga(x＋3)－1 (a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上(其中mn>0)， 則＋的最小值為_8____. （5）已知函數(shù)f(x)＝|lg x|，若01， ∴l(xiāng)g a<0，lg b>0.由f(a)＝f(b)， ∴－lg a＝lg b ，ab＝1. ∴b＝，∴a＋2b＝a＋， 又01＋＝3，即a＋2b>3. （6）已知函數(shù)f(x)＝loga(1－ax)(a>0，a≠1)． ①解關(guān)于x的不等式：loga(1－ax)>f(1)； ②求證：函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側(cè)； ③求證：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn)，求證：直線AB的斜率小于0. ①解　∵f(x)＝loga(1－ax)， ∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a>0.∴0loga(1－a)． ∴，即∴00，得ax>1， ∴當(dāng)a1時(shí)，x<0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0) ， 此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象在y軸的右左側(cè)； 當(dāng)00，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， 此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的右側(cè). ∴函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側(cè). ③證明：設(shè)x10，∴ax<1. ∴a>1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)； 0x1>0，∴<. ∴>1.∴<0. ∴f(x2)1時(shí)，也有y20且a≠1)等價(jià)于f(x)＝g(x)，但要注意驗(yàn)根．對(duì)于logaf(x)>logag(x)等價(jià)于01時(shí)， (2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般采用換元法求解． 方法與技巧 1.指數(shù)式ab＝N與對(duì)數(shù)式logaN＝b的關(guān)系以及這兩種形式的互化是對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的關(guān)鍵. 2.指數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是指數(shù)式的積、商、冪的運(yùn)算，對(duì)于指數(shù)式的和、差應(yīng)充分運(yùn)用恒等變形和乘法公式；對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是把積、商、冪的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的和、差、積. 3.注意對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)換底公式及等式logambn＝logab，logab＝在解題中的靈活應(yīng)用. 失誤與防范 1.在運(yùn)算性質(zhì)logaMn＝nlogaM時(shí)，要特別注意條件，在無M＞0的條件下應(yīng)為logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n為偶數(shù)). 2.指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別. 3.明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過研究函數(shù)的性質(zhì)，要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象.因此要掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象. 一、選擇題 1.已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a 的值為 (　　) A. B. C.2 D.4 解：當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)ax，logax的單調(diào)性相同，因此函數(shù)f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，f(x)在[1,2]上的最大值與最小值之和為f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由題意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)． 2.已知函數(shù)f(x)＝，若a≠b，且f(a)＝f(b)，則a＋b的取值范圍是 (　　) A.(1，＋∞) B. C.(2，＋∞) D. 3. 設(shè)a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，則 (　　) A．a(chǎn)1，＝log2e>1，log23>log2e.∴>>1，∴0log3＝，∴a>. b＝ln 2>ln ＝，∴b>. c＝5－＝<，∴cf(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 解：?、佼?dāng)a>0時(shí)，f(a)＝log2a，f(－a)＝， f(a)>f(－a)，即log2a>＝log2， ∴a>，解得a>1. ②當(dāng)a<0時(shí)，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)， f(a)>f(－a)，即>log2(－a)＝， ∴－a<，解得－11. 二、填空題 6若log2a<0，則a的取值范圍是____________. 7．函數(shù)恒過定點(diǎn) （3,1） . 若函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋3) (a>0且a≠1)滿足對(duì)任意的x1、x2，當(dāng)x10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____(1,2)__________. 8．已知函數(shù)f(x)＝lg在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__(1,2)__________． 解．析　因?yàn)閒(x)＝lg在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以g(x)＝a＋在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，且g(1)>0，于是a－2<0，且2a－2>0，即10，且a≠1)，若f(x1x2…x2 013)＝8，則f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝___16______. 11.已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b (a>0，且a≠1).當(dāng)20且a≠1. (1)求f(x)的定義域； (2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明； (3)若a>1時(shí)，求使f(x)>0的x的解集. 解　(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，則解得－11時(shí)，f(x)在定義域{x|－10?>1. 解得00的x的解集是{x|01，解得a<1或a>2. 所以a的取值范圍是(－∞，1)∪(2，＋∞). 14已知函數(shù)f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)． (1)求y＝f(x)的定義域； (2)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸； (3)當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值． 解：　(1)由ax－bx>0，得()x>1，且a>1>b>0，得>1，所以x>0，即f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． (2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，則>>0，，所以>>0， 即>．故f(x1)>f(x2)． 所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)． 假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直線平行于x軸，則x1≠x2，y1＝y(tǒng)2，這與f(x)是增函數(shù)矛盾． 故函數(shù)y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點(diǎn)使過兩點(diǎn)的直線平行于x軸． (3)因?yàn)閒(x)是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>f(1)．這樣只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即當(dāng)a≥b＋1時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值． 15.已知函數(shù)f(x2-3)=lg, (1)f(x)的定義域； (2)判斷f(x)的奇偶性； (3)求f(x)的反函數(shù); (4)若f[]=lgx,求的值。 解:（1）∵f(x2-3)=lg,∴f(x)=lg,又由得x2-3>3,∴ f(x)的定義域?yàn)椋?，+）。 （2）∵f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴ f(x)為非奇非偶函數(shù)。 （3）由y=lg得x=,x>3,解得y>0, ∴f-1(x)= (4) ∵f[]=lg,∴，解得(3)=6。 16設(shè)， （1）求；（2）求證：在上為增函數(shù). ［解析］（1）設(shè)，則 于是 因此 （2）設(shè)， 則 ∵ ∴ 即 ∵，∴， ∴即 ∴在上為增函數(shù)。