2019-2020年高三數學大一輪復習 11.3變量間的相關關系、統(tǒng)計案例教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數學大一輪復習 11.3變量間的相關關系、統(tǒng)計案例教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 考查線性回歸的基本思想和簡單應用. 復習備考要這樣做 1.理解散點圖和相關關系的概念;2.注意線性回歸方程在實際問題中的應用. 1. 兩個變量的線性相關 (1)正相關 在散點圖中,點散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對于兩個變量的這種相關關系,我們將它稱為正相關. (2)負相關 在散點圖中,點散布在從左上角到右下角的區(qū)域,兩個變量的這種相關關系稱為負相關. (3)線性相關關系、回歸直線 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,就稱這兩個變量之間具有線性相關關系,這條直線叫做回歸直線. 2. 回歸方程 (1)最小二乘法 求回歸直線,使得樣本數據的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回歸方程 方程 = x+ 是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn, yn)的回歸方程,其中 , 是待定參數. . 3. 回歸分析 (1)定義:對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法. (2)樣本點的中心 對于一組具有線性相關關系的數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中(,)稱為樣本點的中心. (3)相關系數 當r>0時,表明兩個變量正相關; 當r<0時,表明兩個變量負相關. r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關性越強.r的絕對值越接近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.通常|r|大于0.75時,認為兩個變量有很強的線性相關性. [難點正本 疑點清源] 1. 相關關系與函數關系的區(qū)別 相關關系與函數關系不同.函數關系中的兩個變量間是一種確定性關系.例如正方形面積S與邊長x之間的關系S=x2就是函數關系.相關關系是一種非確定性關系,即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系.例如商品的銷售額與廣告費是相關關系.兩個變量具有相關關系是回歸分析的前提. 2. 對回歸分析的理解 回歸分析是處理變量相關關系的一種數學方法,它主要解決三個問題: (1)確定兩個變量之間是否有相關關系,如果有就找出它們之間貼近的數學表達式,否則求出的回歸方程沒有意義; (2)根據一組觀察值,預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢; (3)求出線性回歸方程. 1. 已知x、y的取值如下表: x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 從所得的散點圖分析,y與x線性相關,且 =0.95x+ ,則 =________. 答案 2.6 解析 因為回歸直線必過樣本點的中心(,), 又=2,=4.5,代入 =0.95x+ ,得 =2.6. 2. (xx遼寧)調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元),調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系,并由調查數據得到y(tǒng)對x的線性回歸方程: =0.254x+0.321.由線性回歸方程可知,家庭年收入每增加1萬元,年飲食支出平均增加______萬元. 答案 0.254 解析 由題意知[0.254(x+1)+0.321]-(0.254x+0.321)=0.254. 3. (xx湖南)設某大學的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關關系,根據一組樣本數據(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結論中不正確的是 ( ) A.y與x具有正的線性相關關系 B.回歸直線過樣本點的中心(,) C.若該大學某女生身高增加1 cm,則其體重約增加0.85 kg D.若該大學某女生身高為170 cm,則可斷定其體重必為58.79 kg 答案 D 解析 由于線性回歸方程中x的系數為0.85, 因此y與x具有正的線性相關關系,故A正確. 又線性回歸方程必過樣本點的中心(,),因此B正確. 由線性回歸方程中系數的意義知,x每增加1 cm,其體重約增加0.85 kg,故C正確. 當某女生的身高為170 cm時,其體重估計值是58.79 kg,而不是具體值,因此D不正確. 4. 對于回歸分析,下列說法錯誤的是 ( ) A.在回歸分析中,變量間的關系若是非確定性關系,那么因變量不能由自變量唯 一確定 B.線性相關系數可以是正的或負的 C.回歸分析中,如果r2=1或r=1,說明x與y之間完全線性相關 D.樣本相關系數r∈(-1,1) 答案 D 解析 由定義可知相關系數|r|≤1,故D錯誤. 5. 已知變量x,y具有線性相關關系,測得一組數據如下:(2,30),(4,40),(5,60),(6,50),(8,70),若它們的回歸直線的斜率為6.5,則在這些樣本點中任取一點,它在回歸直線上方的概率為 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由題意可知, =6.5,=5,=50,則 =- =17.5,所以線性回歸方程為 =6.5x+17.5,將樣本數據代入線性回歸方程檢驗可知,只有兩點(5,60),(8,70)在回歸直線上方,所以所求概率為. 題型一 兩個變量間的相關關系 例1 5個學生的數學和物理成績如下表: 學生 學科 A B C D E 數學 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫出散點圖,并判斷它們是否具有相關關系. 思維啟迪:將每個學生的數學成績和物理成績分別作為點的橫坐標和縱坐標,作散點圖,然后根據散點圖判斷兩個變量是否存在相關關系. 解 以x軸表示數學成績,y軸表示物理成績,可得到相應的散點圖如圖所示. 由散點圖可知,各組數據對應點大致在一條直線附近,所以兩者之間具有相關關系,且為正相關. 探究提高 判斷變量之間有無相關關系,一種簡便可行的方法就是繪制散點圖,根據散點圖很容易看出兩個變量之間是否具有相關性,是不是存在線性相關關系,是正相關還是負相關,相關關系是強還是弱. 對變量x,y有觀測數據(xi,yi) (i=1,2,…,10),得散點圖(1);對變量u、v有觀測數據(ui,vi) (i=1,2,…,10),得散點圖(2).由這兩個散點圖可以判斷( ) A.變量x與y正相關,u與v正相關 B.變量x與y正相關,u與v負相關 C.變量x與y負相關,u與v正相關 D.變量x與y負相關,u與v負相關 答案 C 解析 由圖(1)可知,各點整體呈遞減趨勢,x與y負相關;由圖(2)可知,各點整體呈遞增趨勢,u與v正相關. 題型二 線性回歸方程 例2 (xx福建)某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價,將該產品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數據: 單價x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求線性回歸方程=x+,其中=-20,=-; (2)預計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(1)中的關系,且該產品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產品的單價應定為多少元?(利潤=銷售收入-成本) 思維啟迪:根據回歸直線過樣本點中心來求線性回歸方程,然后利用回歸方程求最大利潤. 解 (1)由于=(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5, =(90+84+83+80+75+68)=80,又=-20, 所以=-=80+208.5=250, 從而線性回歸方程為=-20x+250. (2)設工廠獲得的利潤為L元,依題意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1 000 =-20(x-8.25)2+361.25. 當且僅當x=8.25時,L取得最大值. 故當單價定為8.25元時,工廠可獲得最大利潤. 探究提高 回歸直線過樣本點中心(,)是一條重要性質;利用線性回歸方程可以估計總體,幫助我們分析兩個變量的變化趨勢. (xx廣東)為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系,下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位:小時)與當天投籃命中率y之間的關系: 時間x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李這5天的平均投籃命中率為________;用線性回歸分析的方法,預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________. 答案 0.5 0.53 解析 小李這5天的平均投籃命中率 ==0.5,可求得小李這5天的平均打籃球時間=3.根據表中數據可求得 =0.01, =0.47,故線性回歸方程為 =0.01x+0.47,將x=6代入得6號打6小時籃球的投籃命中率約為0.53. 統(tǒng)計中的數形結合思想 典例:(12分)某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如表所示: 年收入x(萬元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年飲食支出y(萬元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 (1)根據表中數據,確定家庭的年收入和年飲食支出的相關關系; (2)如果某家庭年收入為9萬元,預測其年飲食支出. 審題視角 可以畫出散點圖,根據圖中點的分布判斷家庭年收入和年飲食支出的線性相關性. 規(guī)范解答 解 (1)由題意,知年收入x為解釋變量,年飲食支出y為預報變量,作散點圖如圖所示. [3分] 從圖中可以看出,樣本點呈條狀分布,年收入和年飲食支出有比較好的線性相關關系,因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系.[4分] 因為=6,=1.83,=406,=35.13, iyi=117.7, 所以=≈0.172, =-≈1.83-0.1726=0.798. 從而得到線性回歸方程為=0.172x+0.798.[8分] (2)=0.1729+0.798=2.346(萬元). 所以家庭年收入為9萬元時,可以預測年飲食支出為2.346萬元.[12分] 溫馨提醒 (1)在統(tǒng)計中,用樣本的頻率分布表、頻率分布直方圖、統(tǒng)計圖表中的莖葉圖、折線圖、條形圖,去估計總體的相關問題,以及用散點圖判斷相關變量的相關性等都體現了數與形的完美結合.借助于形的直觀,去統(tǒng)計數據,分析數據,無不體現了數形結合的思想. (2)本題利用散點圖分析兩變量間的相關關系,充分體現了數形結合思想的應用. (3)本題易錯點為散點圖畫的不準確,導致判斷錯誤. 方法與技巧 1. 求回歸方程,關鍵在于正確求出系數 , ,由于 , 的計算量大,計算時應仔細謹慎,分層進行,避免因計算而產生錯誤.(注意線性回歸方程中一次項系數為 ,常數項為 ,這與一次函數的習慣表示不同.) 2. 回歸分析是處理變量相關關系的一種數學方法.主要解決:(1)確定特定量之間是否有相關關系,如果有就找出它們之間貼近的數學表達式;(2)根據一組觀察值,預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢;(3)求出線性回歸方程. 失誤與防范 1. 回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法,只有在散點圖大致呈線性時,求出的線性回歸方程才有實際意義,否則,求出的線性回歸方程毫無意義. 2. 根據回歸方程進行預報,僅是一個預報值,而不是真實發(fā)生的值. A組 專項基礎訓練 (時間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 相關系數度量 ( ) A.兩個變量之間線性相關關系的強度 B.散點圖是否顯示有意義的模型 C.兩個變量之間是否存在因果關系 D.兩個變量之間是否存在關系 答案 A 解析 相關系數來衡量兩個變量之間線性相關關系的強弱. 2. (xx陜西)設(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是變量x和y的n個樣本 點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如 圖),以下結論中正確的是 ( ) A.直線l過點(,) B.x和y的相關系數為直線l的斜率 C.x和y的相關系數在0到1之間 D.當n為偶數時,分布在l兩側的樣本點的個數一定相同 答案 A 解析 因為相關系數是表示兩個變量是否具有線性相關關系的一個值,它的絕對值越接近1,兩個變量的線性相關程度越強,所以B、C錯誤.D中n為偶數時,分布在l兩側的樣本點的個數可以不相同,所以D錯誤.根據線性回歸直線一定經過樣本點中心可知A正確. 3. (xx山東)某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數據如下表: 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據上表可得線性回歸方程 = x+ 中的 為9.4,據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為 ( ) A.63.6萬元 B.65.5萬元 C.67.7萬元 D.72.0萬元 答案 B 解析 ∵==,==42, 又 = x+ 必過(,), ∴42=9.4+ ,∴ =9.1. ∴線性回歸方程為 =9.4x+9.1. ∴當x=6時, =9.46+9.1=65.5(萬元). 4. (xx課標全國)在一組樣本數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點圖中,若所有樣本點(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=x+1上,則這組樣本數據的樣本相關系數為 ( ) A.-1 B.0 C. D.1 答案 D 解析 樣本點都在直線上時,其數據的估計值與真實值是相等的,即yi=i,代入相關系數公式r==1. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 某市居民xx~xx年家庭年平均收入x(單位:萬元)與年平均支出Y(單位:萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示: 年份 xx xx xx xx xx 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據統(tǒng)計資料,居民家庭年平均收入的中位數是________,家庭年平均收入與年平均支出有________線性相關關系. 答案 13 正 解析 把xx~xx年家庭年平均收入按從小到大順序排列為11.5,12.1,13,13.3,15,因此中位數為13(萬元),由統(tǒng)計資料可以看出,當年平均收入增多時,年平均支出也增多,因此兩者之間具有正線性相關關系. 6. 在一項打鼾與患心臟病的調查中,共調查了1 671人,經過計算K2的觀測值k=27.63,根據這一數據分析,我們有理由認為打鼾與患心臟病是________的(有關,無關). 答案 有關 解析 由觀測值k=27.63與臨界值比較,我們有99.9%的把握說打鼾與患心臟病有關. 6. 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產A產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生 產能耗y(噸)的幾組對應數據: x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根據上表提供的數據,求出y關于x的線性回歸方程為 =0.7x+0.35,那么表中t的值為________. 答案 3 解析 樣本點中心是(,),即. 因為線性回歸方程過該點, 所以=0.74.5+0.35,解得t=3. 三、解答題(共22分) 8. (10分)某企業(yè)上半年產品產量與單位成本資料如下: 月份 產量(千件) 單位成本(元) 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 且已知產量x與成本y具有線性相關關系. (1)求出線性回歸方程; (2)指出產量每增加1 000件時,單位成本平均變動多少? (3)假定產量為6 000件時,單位成本為多少元? 解 (1)n=6,=3.5,=71,x=79,xiyi=1 481, ==≈-1.82, =- =71+1.823.5=77.37, ∴線性回歸方程為 = x+ =-1.82x+77.37. (2)因為單位成本平均變動 =-1.82<0,且產量x的計量單位是千件,所以根據回歸系數 的意義有產量每增加一個單位即1 000件時,單位成本平均減少1.82元. (3)當產量為6 000件時,即x=6,代入線性回歸方程, 得 =77.37-1.826=66.45(元) ∴當產量為6 000件時,單位成本大約為66.45元. 9. (12分)(xx安徽)某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計數據: 年份 xx xx xx xx xx 需求量(萬噸) 236 246 257 276 286 (1)利用所給數據求年需求量與年份之間的線性回歸方程 =x+; (2)利用(1)中所求出的直線方程預測該地xx年的糧食需求量. 解 (1)由所給數據看出,年需求量與年份之間是近似直線上升的,下面求線性回歸方程.為此對數據預處理如下: 年份-xx -4 -2 0 2 4 需求量-257 -21 -11 0 19 29 對預處理后的數據,容易算得 =0,=3.2. = ==6.5, =-=3.2. 由上述計算結果,知所求線性回歸方程為 -257= (x-2 006)+=6.5(x-2 006)+3.2, 即 =6.5(x-2 006)+260.2.① (2)利用直線方程①,可預測xx年的糧食需求量約為 6.5(2 012-2 006)+260.2=6.56+260.2=299.2(萬噸). B組 專項能力提升 (時間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 以下三個命題,其中正確的是 ( ) ①從勻速傳遞的產品生產流水線上,質檢員每20分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測,這樣的抽樣是分層抽樣; ②兩個隨機變量相關性越強,則相關系數的絕對值越接近于1 ; ③在線性回歸方程 =0.2x+12中,當解釋變量x每增加一個單位時,預報變量 平均增加0.2個單位. A.①② B.①③ C.①②③ D.②③ 答案 D 2. 若變量y與x之間的相關系數r=-0.936 2,則變量y與x之間 ( ) A.不具有線性相關關系 B.具有線性相關關系 C.它們的線性相關關系還要進一步確定 D.不確定 答案 B 解析 相關系數r主要是來衡量兩個變量之間線性相關關系的強弱,|r|越接近1,兩個變量之間線性關系就越強,|r|越接近0,兩個變量之間幾乎不存在線性關系.因為|r|=0.936 2,接近1,所以變量y與x之間具有線性相關關系. 3.(xx江西)為了解兒子身高與其父親身高的關系,隨機抽取5對父子的身高數據如下: 父親身高x(cm) 174 176 176 176 178 兒子身高y(cm) 175 175 176 177 177 則y對x的線性回歸方程為 ( ) A. =x-1 B. =x+1 C. =88+x D. =176 答案 C 解析 因為==176, ==176, 又y對x的線性回歸方程表示的直線恒過點(,),所以將(176,176)代入A、B、C、D中檢驗知選C. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. ①若r>0,則x增大時,y也相應增大;②若r<0,則x增大時,y也相應增大;③若r=1或r=-1,則x與y的關系完全對應(有函數關系),在散點圖上各個點均在一條直線上. 上面是關于相關系數r的幾種說法,其中正確的序號是__________. 答案?、佗? 解析 若r>0,表示兩個相關變量正相關,x增大時,y也相應增大,故①正確;r<0,表示兩個相關變量負相關,x增大時,y相應減小,故②錯誤;|r|越接近1,表示兩個變量相關性越高,|r|=1表示兩個變量有確定的關系(即函數關系),故③正確. 5. (xx廣東)某數學老師身高176 cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關,該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________ cm. 答案 185 解析 兒子和父親的身高可列表如下: 父親身高 173 170 176 兒子身高 170 176 182 設線性回歸方程 = + x,由表中的三組數據可求得 =1,故 =- =176-173=3,故線性回歸方程為 =3+x,將x=182代入得孫子的身高為185 cm. 6. 某煉鋼廠廢品率x(%)與成本y(元/t)的線性回歸方程為=105.492+42.569x.當成本控制在176.5元/t時,可以預計生產的1 000 t鋼中,約有________ t鋼是廢品. 答案 16.68 解析 ∵176.5=105.492+42.569x, ∴x≈1.668, 即成本控制在176.5元/t時,廢品率為1.668%. ∴生產的1 000 t鋼中,約有1 0001.668%=16.68(t)鋼是廢品. 三、解答題 7. (13分)一臺機器使用時間較長,但還可以使用.它按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點,每小時生產有缺點零件的多少,隨機器運轉的速度而變化,下表為抽樣試驗結果: 轉速x(轉/秒) 16 14 12 8 每小時生產有缺點的零件數y(件) 11 9 8 5 (1)對變量y與x進行相關性檢驗; (2)如果y與x有線性相關關系,求線性回歸方程; (3)若實際生產中,允許每小時的產品中有缺點的零件最多為10個,那么,機器的運轉速度應控制在什么范圍內?(結果保留整數) 解 (1)=12.5,=8.25,xiyi=438, 4 =412.5,x=660,y=291, 所以r= = =≈≈0.995. 因為r>0.75,所以y與x有很強的線性相關關系. (2) =≈0.728 6, =- =8.25-0.728 612.5=-0.857 5, ∴所求線性回歸方程為 =0.728 6x-0.857 5. (3)要使 ≤10?0.728 6x-0.857 5≤10, 所以x≤14.901 9≈15. 所以機器的轉速應控制在15轉/秒以下.- 配套講稿:
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