《2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.4數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版 .DOC》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.4數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版 .DOC(13頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.4數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版
xx高考會(huì)這樣考 1.考查數(shù)學(xué)歸納法的原理和證題步驟;2.用數(shù)學(xué)歸納法證明與等式、不等式或數(shù)列有關(guān)的命題,考查分析問題、解決問題的能力.
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.理解數(shù)學(xué)歸納法的歸納遞推思想及其在證題中的應(yīng)用;2.規(guī)范書寫數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟.
數(shù)學(xué)歸納法
一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0∈N*)時(shí)命題成立;
(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k (k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.
只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.
[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]
1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可,步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ),步驟(2)是遞推的依據(jù).
2.在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),第(1)步驗(yàn)算n=n0的n0不一定為1,而是根據(jù)題目要求,選擇合適的起始值.第(2)步,證明n=k+1時(shí)命題也成立的過程,一定要用到歸納假設(shè),否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.
1. 凸k邊形內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和為f(k+1)=f(k)+________.
答案 π
解析 易得f(k+1)=f(k)+π.
2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:“1+++…+
1)”,由n=k (k>1)不等式成立,推證n=k+1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是________.
答案 2k
解析 n=k時(shí),左邊=1++…+,
當(dāng)n=k+1時(shí),
左邊=1+++…++…+.
所以左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為2k.
3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊需計(jì)算的項(xiàng)是 ( )
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
答案 C
解析 觀察等式左邊的特征易知選C.
4. 已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+…-=2時(shí),若已假設(shè)n=k(k≥2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真,則還需要用歸納假設(shè)再證 ( )
A.n=k+1時(shí)等式成立
B.n=k+2時(shí)等式成立
C.n=2k+2時(shí)等式成立
D.n=2(k+2)時(shí)等式成立
答案 B
解析 因?yàn)榧僭O(shè)n=k(k≥2且k為偶數(shù)),故下一個(gè)偶數(shù)為k+2,故選B.
5. 已知f(n)=+++…+,則 ( )
A.f(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=+
B.f(n)中共有n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=++
C.f(n)中共有n2-n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=+
D.f(n)中共有n2-n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=++
答案 D
解析 從n到n2共有n2-n+1個(gè)數(shù),
所以f(n)中共有n2-n+1項(xiàng).
題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
例1 已知n∈N*,證明:1-+-+…+-=++…+.
思維啟迪:等式的左邊有2n項(xiàng),右邊有n項(xiàng),左邊的分母是從1到2n的連續(xù)正整數(shù),末項(xiàng)與n有關(guān),右邊的分母是從n+1到n+n的連續(xù)正整數(shù),首、末項(xiàng)都與n有關(guān).
證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1-=,
右邊=,等式成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,即
1-+-+…+-
=++…+,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
左邊=1-+-+…+-+-
=+-
=++…+++
=++…++=右邊,
所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.
綜合(1)(2)知對(duì)一切n∈N*,等式都成立.
探究提高 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型,其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是幾;
(2)由n=k到n=k+1時(shí),除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n=k時(shí)的式子,即充分利用假設(shè),正確寫出歸納證明的步驟,從而使問題得以證明.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
對(duì)任意的n∈N*,++…+=.
證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊==,
右邊==,左邊=右邊,所以等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,即
++…+=,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
++…++
=+=
===,
所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.
由(1)(2)可知,對(duì)一切n∈N*等式都成立.
題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明:
1+≤1+++…+≤+n (n∈N*).
思維啟迪:利用假設(shè)后,要注意不等式的放大和縮?。?
證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+,右邊=+1,
∴≤1+≤,即命題成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k (k∈N*)時(shí)命題成立,即
1+≤1+++…+≤+k,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
1+++…++++…+
>1++2k=1+.
又1+++…++++…+
<+k+2k=+(k+1),
即n=k+1時(shí),命題成立.
由(1)(2)可知,命題對(duì)所有n∈N*都成立.
探究提高 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進(jìn)行證明;二是給出兩個(gè)式子,按要求比較它們的大小,對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較,以免出現(xiàn)判斷失誤,最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論,常用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k時(shí)成立得n=k+1時(shí)成立,主要方法有①放縮法;②利用基本不等式法;③作差比較法等.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)一切大于1的自然數(shù),不等式…>均成立.
證明 (1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+=;右邊=.
∵左邊>右邊,∴不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,且k∈N*)時(shí)不等式成立,即…>.
則當(dāng)n=k+1時(shí),
…>=
=>
==.
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
由(1)(2)知,對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.
題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題
例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n+1+3n+2能被13整除,其中n為正整數(shù).
思維啟迪:當(dāng)n=k+1時(shí),把42(k+1)+1+3k+3配湊成42k+1+3k+2的形式是解題的關(guān)鍵.
證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),421+1+31+2=91能被13整除.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí),42k+1+3k+2能被13整除,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
方法一 42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13
=42k+113+3(42k+1+3k+2),
∵42k+113能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除.
∴42(k+1)+1+3k+3能被13整除.
方法二 因?yàn)閇42(k+1)+1+3k+3]-3(42k+1+3k+2)
=(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)
=42k+113,
∵42k+113能被13整除,
∴[42(k+1)+1+3k+3]-3(42k+1+3k+2)能被13整除,因而42(k+1)+1+3k+3能被13整除,
∴當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立,
由(1)(2)知,當(dāng)n∈N+時(shí),42n+1+3n+2能被13整除.
探究提高 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,P(k)?P(k+1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn),找出它們之間的差異,然后將P(k+1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式,也可運(yùn)用結(jié)論:“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除?P(k+1)能被p整除.”
已知n為正整數(shù),a∈Z,用數(shù)學(xué)歸納法證明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.
證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除.
(2)假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí),ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,那么當(dāng)n=k+1時(shí),
ak+2+(a+1)2k+1
=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]+ak+2-ak+1(a+1)2
=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除.
即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.
根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)于任意n∈N+,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.
歸納、猜想、證明
典例:(12分)在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中,數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=.
(1)求a1,a2,a3;(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
審題視角 (1)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且Sn=,所以可根據(jù)解方程求出a1,a2,a3;(2)觀察a1,a2,a3猜想出{an}的通項(xiàng)公式an,然后再證明.
規(guī)范解答
解 (1)S1=a1=得a=1.
∵an>0,∴a1=1,[1分]
由S2=a1+a2=,
得a+2a2-1=0,∴a2=-1.[2分]
又由S3=a1+a2+a3=
得a+2a3-1=0,∴a3=-.[3分]
(2)猜想an=- (n∈N*)[5分]
證明:①當(dāng)n=1時(shí),a1=1=-,猜想成立.[6分]
②假設(shè)當(dāng)n=k (k∈N*)時(shí)猜想成立,
即ak=-,
則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=Sk+1-Sk
=-,
即ak+1=-
=-,
∴a+2ak+1-1=0,∴ak+1=-.
即n=k+1時(shí)猜想成立.[11分]
由①②知,an=- (n∈N*).[12分]
溫馨提醒 (1)本題運(yùn)用了從特殊到一般的探索、歸納、猜想及證明的思維方式去探索和發(fā)現(xiàn)問題,并證明所得結(jié)論的正確性,這是非常重要的一種思維能力.
(2)本題易錯(cuò)原因是,第(1)問求a1,a2,a3的值時(shí),易計(jì)算錯(cuò)誤或歸納不出an的一般表達(dá)式.第(2)問想不到再次利用解方程的方法求解,找不到解決問題的突破口.
方法與技巧
1. 在數(shù)學(xué)歸納法中,歸納奠基和歸納遞推缺一不可.在較復(fù)雜的式子中,注意由n=k到n=k+1時(shí),式子中項(xiàng)數(shù)的變化,應(yīng)仔細(xì)分析,觀察通項(xiàng).同時(shí)還應(yīng)注意,不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法.
2. 對(duì)于證明等式問題,在證n=k+1等式也成立時(shí),應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過程對(duì)比,以減少計(jì)算時(shí)的復(fù)雜程度;對(duì)于整除性問題,關(guān)鍵是湊假設(shè);證明不等式時(shí),一般要運(yùn)用放縮法.
3. 歸納—猜想—證明屬于探索性問題的一種,一般經(jīng)過計(jì)算、觀察、歸納,然后猜想出結(jié)論,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”,務(wù)必保證猜想的正確性,同時(shí)必須注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書寫.
失誤與防范
1. 數(shù)學(xué)歸納法僅適用于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.
2. 嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟書寫,特別是對(duì)初始值的驗(yàn)證不可省略,有時(shí)要取兩個(gè)
(或兩個(gè)以上)初始值進(jìn)行驗(yàn)證;初始值的驗(yàn)證是歸納假設(shè)的基礎(chǔ).
3. 注意n=k+1時(shí)命題的正確性.
4. 在進(jìn)行n=k+1命題證明時(shí),一定要用n=k時(shí)的命題,沒有用到該命題而推理證明的方法不是數(shù)學(xué)歸納法.
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊計(jì)算所得的式子為 ( )
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
答案 D
解析 左邊的指數(shù)從0開始,依次加1,直到n+2,所以當(dāng)n=1時(shí),應(yīng)加到23,故選D.
2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取 ( )
A.2 B.3 C.5 D.6
答案 C
解析 令n0分別取2,3,5,6,依次驗(yàn)證即得.
3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上 ( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
答案 D
解析 當(dāng)n=k時(shí),左端=1+2+3+…+k2.
當(dāng)n=k+1時(shí),左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,
故當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故應(yīng)選D.
4. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)”,從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為 ( )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
答案 B
解析 n=k+1時(shí),左端為
(k+2)(k+3)…[(k+1)+(k-1)][(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)
=(k+1)(k+2)…(k+k)[2(2k+1)],∴應(yīng)乘2(2k+1).
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”時(shí),第一步驗(yàn)證為________.
答案 當(dāng)n=1時(shí),左邊=4≥右邊,不等式成立
解析 由n∈N+可知初始值為1.
6. 若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,則f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系式是__________.
答案 f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
解析 ∵f(k)=12+22+…+(2k)2,
∴f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2;
∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.
7. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”,當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n=2k-1(k∈N+)命題為真時(shí),進(jìn)而需證n=________時(shí),命題亦真.
答案 2k+1
解析 因?yàn)閚為正奇數(shù),所以與2k-1相鄰的下一個(gè)奇數(shù)是2k+1.
三、解答題(共22分)
8. (10分)若n為大于1的自然數(shù),求證:
++…+>.
證明 (1)當(dāng)n=2時(shí),+=>.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)不等式成立,
即++…+>,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
++…+
=++…++++-
=++-
>++-=+-
=+>.
這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
由(1)(2)可知,原不等式對(duì)任意大于1的自然數(shù)都成立.
9. (12分)已知點(diǎn)Pn(an,bn)滿足an+1=anbn+1,bn+1=(n∈N*)且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為
(1,-1).
(1)求過點(diǎn)P1,P2的直線l的方程;
(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于n∈N*,點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上.
(1)解 由P1的坐標(biāo)為(1,-1)知a1=1,b1=-1.
∴b2==.a2=a1b2=.
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為,∴直線l的方程為2x+y=1.
(2)證明 ①當(dāng)n=1時(shí),2a1+b1=21+(-1)=1成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),2ak+bk=1成立,
則當(dāng)n=k+1時(shí),2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1
=(2ak+1)===1,
∴當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.
由①②知,對(duì)于n∈N*,都有2an+bn=1,
即點(diǎn)Pn在直線l上.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間:25分鐘,滿分:43分)
一、選擇題(每小題5分,共15分)
1. 對(duì)于不等式 (n∈N*)成立,其初始值至少應(yīng)取
( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 B
解析 左邊=1+++…+==2-,代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.
二、填空題(每小題5分,共15分)
4. 平面上有n條直線,它們?nèi)魏蝺蓷l不平行,任何三條不共點(diǎn),設(shè)k條這樣的直線把平面分成f(k)個(gè)區(qū)域,則k+1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)f(k+1)=f(k)+________.
答案 k+1
解析 當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1條直線被前k條直線分成(k+1)段,而每一段將它們所在區(qū)域一分為二,故增加了k+1個(gè)區(qū)域.
5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明…> (k>1),則當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)乘上____________________________,這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是__________.
答案 … 2k-1
解析 因?yàn)榉帜傅墓顬?,所以乘上去的第一個(gè)因式是,最后一個(gè)是,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得共有+1=2k-2k-1=2k-1項(xiàng).
6. 在數(shù)列{an}中,a1=且Sn=n(2n-1)an,通過計(jì)算a2,a3,a4,猜想an的表達(dá)式是________.
答案 an=
解析 當(dāng)n=2時(shí),a1+a2=6a2,即a2=a1=;
當(dāng)n=3時(shí),a1+a2+a3=15a3,
即a3=(a1+a2)=;
當(dāng)n=4時(shí),a1+a2+a3+a4=28a4,
即a4=(a1+a2+a3)=.
∴a1==,a2==,a3==,a4=,
故猜想an=.
三、解答題
7. (13分)已知函數(shù)f(x)=ax-x2的最大值不大于,又當(dāng)x∈時(shí),f(x)≥.
(1)求a的值;
(2)設(shè)0
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)
13.4數(shù)學(xué)歸納法教案
新人教A版
2019
2020
年高
數(shù)學(xué)
一輪
復(fù)習(xí)
13.4
歸納法
教案
新人
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