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2019-2020年高三數學大一輪復習 2.8函數與方程教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查函數零點的個數和取值范圍；2.利用函數零點求解參數的取值范圍；3.利用二分法求方程近似解；4.與實際問題相聯系，考查數學應用能力．
復習備考要這樣做 1.準確理解函數零點與方程的根，函數圖象與x軸交點之間的關系，能根據零點存在性定理和二分法求方程近似解；2.會利用函數值域求解“a＝f(x)有解”型問題；3.利用數形結合思想解決有關函數零點的個數問題．
1． 函數的零點
(1)函數零點的定義
對于函數y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數x叫做函數y＝f(x) (x∈D)的零點．
(2)幾個等價關系
方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．
(3)函數零點的判定(零點存在性定理)
如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是f(x)＝0的根．
2． 二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點的關系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函數
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的圖象
與x軸的交點
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
無交點
零點個數
兩個
一個
無
3. 二分法
(1)定義：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數
f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
(2)給定精確度ε，用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟如下：
①確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)f(b)<0，給定精確度ε；②求區(qū)間(a，b)的中點c；③計算f(c)；
(ⅰ)若f(c)＝0，則c就是函數的零點；
(ⅱ)若f(a)f(c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))；
(ⅲ)若f(c)f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))．
④判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復②③④.
[難點正本 疑點清源]
(1)函數的零點不是點，是方程f(x)＝0的根；
(2)函數零點的存在定理只能判斷函數在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數的不變號零點，而且連續(xù)函數在一個區(qū)間的端點處函數值異號是這個函數在這個區(qū)間上存在零點的充分條件，而不是必要條件．
(3)利用圖象交點的個數：畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
1． 若函數f(x)＝x2－ax－b的兩個零點是2和3，則函數g(x)＝bx2－ax－1的零點是_______．
答案?。?，－
解析 由，得.
∴g(x)＝－6x2－5x－1的零點為－，－.
2． 已知函數f(x)＝ln x－x＋2有一個零點所在的區(qū)間為(k，k＋1) (k∈N*)，則k的值為
________．
答案 3
解析 由題意知，f(3)＝ln 3－1>0，f(4)＝ln 4－2<0，所以該函數的零點在區(qū)間(3,4)內，
所以k＝3.
3． (xx湖北)函數f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點個數為 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 當x＝0時，f(x)＝0.又因為x∈[0,4]，
所以0≤x2≤16.
因為5π<16<，
所以函數y＝cos x2在x2取，，，，時為0，
此時f(x)＝0，所以f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點個數為6.
4． (xx課標全國)在下列區(qū)間中，函數f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為 ( )
A．(－，0) B．(0，)
C．(，) D．(，)
答案 C
解析 ∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4>0.
∴f(x)在其定義域上是嚴格單調遞增函數．
∵f(－)＝e－－4<0，f(0)＝e0＋40－3＝－2<0，
f()＝e－2<0，f()＝e－1>0，
∴f()f()<0.
題型一 函數零點的判斷
例1 判斷下列函數在給定區(qū)間上是否存在零點．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
思維啟迪：第(1)問利用零點的存在性定理或直接求出零點，第(2)問利用零點的存在性定理或利用兩圖象的交點來求解．
解 (1)方法一 ∵f(1)＝12－31－18＝－20<0，
f(8)＝82－38－18＝22>0，∴f(1)f(8)<0，
故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零點．
方法二 令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．
∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零點．
(2)方法一 ∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0，
f(3)＝log25－3
0，
∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函數．
而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，
f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，
∴f(－1)f(0)<0.故函數f(x)在區(qū)間(－1,0)上有零點．
題型二 函數零點個數的判斷
例2 若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數y＝f(x)－log3|x|的零點個數是________．
思維啟迪：函數零點的個數?方程解的個數?函數y＝f(x)與y＝log3|x|交點的個數．
答案 4
解析 由題意知，f(x)是周期為2的偶函數．
在同一坐標系內作出函數y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如下：
觀察圖象可以發(fā)現它們有4個交點，
即函數y＝f(x)－log3|x|有4個零點．
探究提高 對函數零點個數的判斷方法：(1)結合零點存在性定理，利用函數的單調性、
對稱性確定函數零點個數；(2)利用函數圖象交點個數判斷方程根的個數或函數零點個
數．
(xx天津)函數f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內的零點個數是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 因為f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，
所以函數f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上遞增，
且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，
所以有1個零點．
題型三 二次函數的零點問題
例3 已知關于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內，另一根在區(qū)間(1,2)內，求m的范圍；
(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內，求m的范圍．
思維啟迪：設出二次方程對應的函數，可畫出相應的示意圖， 然后用函數性質加以限制．
解 (1)由條件，拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1
與x軸的交點分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內，如圖(1)所示，得
?
即－2.
(2)由已知條件解得22.
(4)由已知條件f(1)f(3)<0，解得0)，則原方程可變?yōu)閠2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有實根，即方程(*)有正根．
令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
①若方程(*)有兩個正實根t1，t2，
則解得－10)，
則a＝－＝－
＝2－，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，當且僅當t＝－1時取等號，故a≤2－2.
探究提高 對于“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數y＝f(x)的值域來解決．
(xx天津)已知函數y＝的圖象與函數y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________．
答案 (0,1)∪(1,4)
解析
根據絕對值的意義，
y＝
＝
在直角坐標系中作出該函數的圖象，如圖中實線所示．
根據圖象可知，當00)．
(1)若y＝g(x)－m有零點，求m的取值范圍；
(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．
審題視角 (1)y＝g(x)－m有零點即y＝g(x)與y＝m的圖象有交點，所以可以結合圖象求
解．(2)g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根?y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有兩個不同交點，所以可
利用它們的圖象求解．
規(guī)范解答
解 (1)方法一 ∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等號成立的條件是x＝e，
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，[3分]
因而只需m≥2e，則y＝g(x)－m就有零點．[6分]
方法二 作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致圖象如圖．[3分]
可知若使y＝g(x)－m有零點，則只需m≥2e.[6分]
(2)
若g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點，
作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致圖象如圖．[8分]
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
∴其圖象的對稱軸為x＝e，開口向下，
最大值為m－1＋e2.[10分]
故當m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1時，g(x)與f(x)有兩個交點，即g(x)－f(x)＝0有兩
個相異實根．
∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．[12分]
溫馨提醒 (1)求函數零點的值，判斷函數零點的范圍及零點的個數以及已知函數零點求參數范圍等問題，都可利用方程來求解，但當方程不易甚至不可能解出時，可構造兩個函數，利用數形結合的方法進行求解．
(2)本題的易錯點是確定g(x)的最小值和f(x)的最大值時易錯．要注意函數最值的求法．
方法與技巧
1． 函數零點的判定常用的方法有
(1)零點存在性定理；(2)數形結合；(3)解方程f(x)＝0.
2． 研究方程f(x)＝g(x)的解，實質就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點．
3． 二分法是求方程的根的近似值的一種計算方法．其實質是通過不斷地“取中點”來逐步
縮小零點所在的范圍，當達到一定的精確度要求時，所得區(qū)間的任一點就是這個函數零
點的近似值．
4． 轉化思想：方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖象交點的個數問題；已知方程有解求
參數范圍問題可轉化為函數值域問題．
失誤與防范
1． 函數f(x)的零點是一個實數，是方程f(x)＝0的根，也是函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的
橫坐標．
2． 函數零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不必要；判斷零點個數還要根據函
數的單調性、對稱性或結合函數圖象.
(時間：60分鐘)
A組 專項基礎訓練
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 方程|x2－2x|＝a2＋1 (a>0)的解的個數是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的
圖象總有兩個交點．
∴方程有兩解．
點評 y＝|x2－2x|的圖象畫不準確致誤．
2． (xx福建)若關于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是 ( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 ∵方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數根，
∴Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2.
3． 函數f(x)＝的零點個數為 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 當x≤0時，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；當x>0時，由f(x)
＝－2＋ln x＝0，
得x＝e2，所以函數f(x)的零點個數為2，故選B.
4． 已知三個函數f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點依次為a，b，c，則
( )
A．a0，
且f(x)為單調遞增函數．
故f(x)＝2x＋x的零點a∈(－1,0)．
∵g(2)＝0，故g(x)的零點b＝2；
h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，
故h(x)的零點c∈，因此a0時，f(x)＝2 014x＋log2 014x，則在R上，函數f(x)
零點的個數為________．
答案 3
解析 函數f(x)為R上的奇函數，因此f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝2 014x＋log2 014x在區(qū)間(0，)內存在一個零點，又f(x)為增函數，因此在(0，＋∞)內有且僅有一個零點．根
據對稱性可知函數在(－∞，0)內有且僅有一解，從而函數在R上的零點的個數為3.
6． (xx深圳模擬)已知函數f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零點分別為x1，
x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是______________．
答案 x11，所以x10，所以f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－22，當－1≤x≤1時，0≤f′(x)≤，所以f(x)
在[－1,1]上單調遞增．
所以f(x)在[－1,1]上有且只有一個零點．
9． (13分)已知函數f(x)＝4x＋m2x＋1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點．解 ∵f(x)＝4x＋m2x＋1有且僅有一個零點，
即方程(2x)2＋m2x＋1＝0僅有一個實根．
設2x＝t (t>0)，則t2＋mt＋1＝0.
當Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2時，t＝1；m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)，
∴2x＝1，x＝0符合題意．
當Δ>0，即m>2或m<－2時，
t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負根，
即f(x)有兩個零點或沒有零點．
∴這種情況不符合題意．
綜上可知，m＝－2時，f(x)有唯一零點，該零點為x＝0.
B組 專項能力提升
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． (xx遼寧)設函數f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x3.
又函數g(x)＝|xcos(πx)|，則函數h(x)＝g(x)－f(x)在上的零點個數為 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 根據題意，函數y＝f(x)是周期為2的偶函數且0≤x≤1時，f(x)＝x3，
則當－1≤x≤0時，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，
所以當x＝0時，f(x)＝g(x)．
當x≠0時，若01時，y＝
>1，y＝cos x≤1，所以兩圖象只有一個交點，即方程－cos x＝0在[0，＋∞)內只有一個根，所以f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內只有一個零點，所以選B.
3． (xx福州質檢)已知函數f(x)＝log2x－x，若實數x0是方程f(x)＝0的解，且0100，由26＝64,27＝128
知n＝7.
5． 已知函數y＝f(x) (x∈R)滿足f(－x＋2)＝f(－x)，當x∈[－1,1]時，f(x)＝|x|，則y＝f(x)與y＝log7x的交點的個數為________．
答案 6
解析 因為f(－x＋2)＝f(－x)，所以y＝f(x)為周期函數，其周期為2.
在同一直角坐標系中，畫出函數y＝f(x)和y＝log7x的圖象如圖，
當x＝7時，f(7)＝1，log77＝1，故y＝f(x)與y＝log7x共有6個交點．
6． (xx海淀調研)已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－m有3個零點，
則實數m的取值范圍是________．
答案 (0,1)
解析 畫出f(x)＝
的圖象，如圖．
由函數g(x)＝f(x)－m有3個零點，結合圖象得：0
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2.8函數與方程教案
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