2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 4.5兩角和與差的正弦、余弦、正切教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 4.5兩角和與差的正弦、余弦、正切教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行三角變換;2.利用三角變換討論三角函數(shù)的圖象和性質. 復習備考要這樣做 1.牢記和差公式、倍角公式,把握公式特征;2.靈活使用(正用、逆用、變形用)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行三角變換,三角變換中角的變換技巧是解題的關鍵. 1. 兩角和與差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (Cα-β) cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β (Cα+β) sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β (Sα-β) sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β (Sα+β) tan(α-β)= (Tα-β) tan(α+β)= (Tα+β) 2. 二倍角公式 sin 2α=2sin_αcos_α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; tan 2α=. 3. 在準確熟練地記住公式的基礎上,要靈活運用公式解決問題:如公式的正用、逆用和變形用等.如Tαβ可變形為 tan αtan β=tan(αβ)(1?tan_αtan_β), tan αtan β=1-=-1. 4. 函數(shù)f(α)=acos α+bsin α(a,b為常數(shù)),可以化為f(α)= sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ),其中φ可由a,b的值唯一確定. [難點正本 疑點清源] 三角變換中的“三變” (1)變角:目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角,其手法通常是“配湊”. (2)變名:通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的,其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等. (3)變式:根據(jù)式子的結構特征進行變形,使其更貼近某個公式或某個期待的目標,其手法通常有“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等. 1. 已知sin(α+β)=,sin(α-β)=-,則的值為_______. 答案 解析 由sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-, 得sin αcos β=,cos αsin β=, 所以==. 2. 函數(shù)f(x)=2sin x(sin x+cos x)的單調增區(qū)間為______________________. 答案 (k∈Z) 解析 f(x)=2sin2x+2sin xcos x =2+sin 2x=sin 2x-cos 2x+1 =sin+1, 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 所以所求區(qū)間為 (k∈Z). 3. (xx江蘇)設α為銳角,若cos=,則 sin的值為________. 答案 解析 ∵α為銳角且cos=, ∴sin=. ∴sin=sin =sin 2cos -cos 2sin =sincos- =- =-=. 4. (xx江西)若=,則tan 2α等于 ( ) A.- B. C.- D. 答案 B 解析 由=,等式左邊分子、分母同除cos α得,=,解得tan α=-3,則tan 2α==. 5. (xx遼寧)設sin(+θ)=,則sin 2θ等于 ( ) A.- B.- C. D. 答案 A 解析 sin(+θ)=(sin θ+cos θ)=, 將上式兩邊平方,得(1+sin 2θ)=,∴sin 2θ=-. 題型一 三角函數(shù)式的化簡、求值問題 例1 (1)化簡: ; (2)求值:[2sin 50+sin 10(1+tan 10)]. 思維啟迪:切化弦;注意角之間的聯(lián)系及轉化. 解 (1) = = ==. (2)原式=sin 80 =cos 10 =2[sin 50cos 10+sin 10cos(60-10)] =2sin(50+10)=2=. 探究提高 (1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則,一看角,二看名,三看式子結構與特征. (2)對于給角求值問題,往往所給角都是非特殊角,解決這類問題的基本思路有 ①化為特殊角的三角函數(shù)值; ②化為正、負相消的項,消去求值; ③化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值. 在△ABC中,已知三個內角A,B,C成等差數(shù)列,則tan +tan +tan tan 的值為________. 答案 解析 因為三個內角A,B,C成等差數(shù)列,且A+B+C=π,所以A+C=,=,tan =, 所以tan +tan +tan tan =tan+tan tan =+tan tan =. 題型二 三角函數(shù)的給角求值與給值求角問題 例2 (1)已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值; (2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,求2α-β的值. 思維啟迪:(1)拆分角:=-,利用平方關系分別求各角的正弦、余弦. (2)2α-β=α+(α-β);α=(α-β)+β. 解 (1)∵0<β<<α<π, ∴-<-β<,<α-<π, ∴cos==, sin==, ∴cos =cos =coscos+sinsin =+=, ∴cos(α+β)=2cos2-1=2-1=-. (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= ==>0,∴0<α<, 又∵tan 2α===>0, ∴0<2α<, ∴tan(2α-β)===1. ∵tan β=-<0, ∴<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-. 探究提高 (1)注意變角-=,可先求cos 或sin 的值.(2)先由tan α=tan[(α-β)+β],求tan α的值,再求tan 2α的值,這種方法的優(yōu)點是可確定2α的取值范圍.(3)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時,遵照以下原則:①已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);②已知正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù);若角的范圍是,選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦較好;若角的范圍為,選正弦較好. (4)解這類問題的一般步驟: ①求角的某一個三角函數(shù)值; ②確定角的范圍; ③根據(jù)角的范圍寫出所求的角. 已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β. 解 ∵0<β<α<,∴0<α-β<. 又∵cos(α-β)=,cos α=,0<β<α<, ∴sin α==, ∴sin(α-β)==, ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =+=. ∵0<β<,∴β=. 題型三 三角變換的簡單應用 例3 已知f(x)=sin2x-2sinsin. (1)若tan α=2,求f(α)的值; (2)若x∈,求f(x)的取值范圍. 思維啟迪:(1)化簡f(x),由tan α=2代入求f(α);(2)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,求f(x)的取值范圍. 解 (1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin cos =+sin 2x+sin =+(sin 2x-cos 2x)+cos 2x =(sin 2x+cos 2x)+. 由tan α=2,得sin 2α===. cos 2α===-. 所以,f(α)=(sin 2α+cos 2α)+=. (2)由(1)得f(x)=(sin 2x+cos 2x)+ =sin+. 由x∈,得≤2x+≤. ∴-≤sin≤1,0≤f(x)≤, 所以f(x)的取值范圍是. 探究提高 (1)將f(x)化簡是解題的關鍵,本題中巧妙運用“1”的代換技巧,將sin 2α,cos 2α化為正切tan α,為第(1)問鋪平道路. (2)把形如y=asin x+bcos x化為y=sin(x+φ),可進一步研究函數(shù)的周期、單調性、最值與對稱性. 已知函數(shù)f(x)=sin+ 2sin2 (x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)求使函數(shù)f(x)取得最大值時x的集合. 解 (1)因為f(x)=sin+1-cos 2 =2[sin-cos]+1 =2sin+1=2sin+1, 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)當f(x)取得最大值時,sin=1, 此時2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+ (k∈Z), 所以所求x的集合為{x|x=kπ+,k∈Z}. 利用三角變換研究三角函數(shù)的性質 典例:(12分)(xx北京)已知函數(shù)f(x)=4cos x sin-1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 審題視角 (1)問首先化為形如y=Asin(ωx+φ)的形式,由T=求得;(2)問由x∈求得ωx+φ的范圍,從而求得最值. 規(guī)范解答 解 (1)因為f(x)=4cos xsin-1 =4cos x-1 =sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x =2sin,[4分] 所以f(x)的最小正周期為π.[6分] (2)因為-≤x≤, 所以-≤2x+≤.[8分] 于是,當2x+=, 即x=時,f(x)取得最大值2;[10分] 當2x+=-,即x=-時,f(x)取得最小值-1.[12分] 答題模板 第一步:將f(x)化為asin x+bcos x的形式. 第二步:構造f(x)=(sin x+ cos x). 第三步:和角公式逆用f(x)=sin(x+φ) (其中 φ為輔助角). 第四步:利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函數(shù)的性質. 第五步:反思回顧,查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范. 溫馨提醒 (1)在本題的解法中,運用了二倍角的正、余弦公式,還引入了輔助角,技巧性較強.值得強調的是輔助角公式asin α+bcos α=sin(α+φ)(其中tan φ=),或asin α+bcos α= cos(α-φ) (其中tan φ=),在歷年高考中使用頻率是相當高的,幾乎年年使用到、考查到,應特別加以關注. (2)本題的易錯點是想不到引入輔助角或引入錯誤. 方法與技巧 1. 巧用公式變形: 和差角公式變形:tan xtan y=tan(xy)(1?tan xtan y); 倍角公式變形:降冪公式cos2α=,sin2α=; 配方變形:1sin α=2,1+cos α=2cos2,1-cos α=2sin2. 2. 利用輔助角公式求最值、單調區(qū)間、周期.由y=asin α+bcos α=sin(α+φ)(其中tan φ=)有≥|y|. 3. 重視三角函數(shù)的“三變”:“三變”是指“變角、變名、變式”;變角:對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角;變名:盡可能減少函數(shù)名稱;變式:對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡、證明問題時,一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異,再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃危? 4. 已知和角函數(shù)值,求單角或和角的三角函數(shù)值的技巧:把已知條件的和角進行加減或二倍角后再加減,觀察是不是常數(shù)角,只要是常數(shù)角,就可以從此入手,給這個等式兩邊求某一函數(shù)值,可使所求的復雜問題簡單化. 5. 熟悉三角公式的整體結構,靈活變換.本節(jié)要重視公式的推導,既要熟悉三角公式的代數(shù)結構,更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征,要體會公式間的聯(lián)系,掌握常見的公式變形,倍角公式應用是重點,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其變形. 失誤與防范 1.運用公式時要注意審查公式成立的條件,要注意和、差、倍角的相對性,要注意升次、降次的靈活運用,要注意“1”的各種變通. 2.在(0,π)范圍內,sin(α+β)=所對應的角α+β不是唯一的. 3.在三角求值時,往往要估計角的范圍后再求值. A組 專項基礎訓練 (時間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. (xx江西)若tan θ+=4,則sin 2θ等于 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由tan θ+=+==4, 得sin θcos θ=, 則sin 2θ=2sin θcos θ=2=. 2. (xx大綱全國)已知α為第二象限角,sin α+cos α=,則cos 2α等于 ( ) A.- B.- C. D. 答案 A 解析 方法一 ∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,∴2sin αcos α=-,即sin 2α=-. 又∵α為第二象限角且sin α+cos α=>0, ∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z), ∴4kπ+π<2α<4kπ+π(k∈Z), ∴2α為第三象限角, ∴cos 2α=-=-. 方法二 由sin α+cos α=, 兩邊平方得1+2sin αcos α=, ∴2sin αcos α=-. ∵α為第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α= ==. 由得 ∴cos 2α=2cos2α-1=-. 3. 已知α,β都是銳角,若sin α=,sin β=, 則α+β等于 ( ) A. B. C.和 D.-和- 答案 A 解析 由于α,β都為銳角,所以cos α==, cos β==. 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, 所以α+β=. 4. (xx福建)若α∈,且sin2α+cos 2α=,則tan α的值等于 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵α∈,且sin2α+cos 2α=, ∴sin2α+cos2α-sin2α=,∴cos2α=, ∴cos α=或-(舍去), ∴α=,∴tan α=. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. cos275+cos215+cos 75cos 15的值為________. 答案 解析 由誘導公式及倍角公式, 得cos275+cos215+cos 75cos 15 =sin215+cos215+sin 15cos 15 =1+sin 30=. 6. =________. 答案 -4 解析 原式= = == ==-4. 7. sin α=,cos β=,其中α,β∈,則α+β=____________. 答案 解析 ∵α、β∈,∴α+β∈(0,π), ∴cos α=,sin β=, ∴cos(α+β)=-=0,∴α+β=. 三、解答題(共22分) 8. (10分)已知-=-2tan α,試確定使等式成立的α的取值集合. 解 因為- =- =- = =, 所以=-2tan α=-. 所以sin α=0或|cos α|=-cos α>0. 故α的取值集合為{α|α=kπ或2kπ+<α<2kπ+π或2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z}. 9. (12分)已知α∈,且sin +cos =. (1)求cos α的值; (2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值. 解 (1)因為sin +cos =, 兩邊同時平方,得sin α=. 又<α<π,所以cos α=-. (2)因為<α<π,<β<π, 所以-π<-β<-,故-<α-β<. 又sin(α-β)=-,得cos(α-β)=. cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =-+=-. B組 專項能力提升 (時間:25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. (xx山東)若θ∈,sin 2θ=,則sin θ等于 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵θ∈,∴2θ∈. ∴cos 2θ=-=-, ∴sin θ==. 2. 已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于 ( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 因為α++β-=α+β, 所以α+=(α+β)-,所以 tan=tan ==. 3. 當-≤x≤時,函數(shù)f(x)=sin x+cos x的 ( ) A.最大值是1,最小值是-1 B.最大值是1,最小值是- C.最大值是2,最小值是-2 D.最大值是2,最小值是-1 答案 D 解析 f(x)=sin x+cos x =2=2sin, 由-≤x≤,得-≤x+≤. 所以當x+=時,f(x)有最大值2, 當x+=-時,f(x)有最小值-1. 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 已知銳角α滿足cos 2α=cos,則sin 2α=________. 答案 解析 ∵α∈,∴2α∈(0,π),-α∈. 又cos 2α=cos, ∴2α=-α或2α+-α=0, ∴α=或α=-(舍),∴sin 2α=sin =. 5. 已知cos=,α∈,則=________. 答案 解析 ∵cos=(cos α+sin α)=, ∴sin α+cos α=, 1+2sin αcos α=,2sin αcos α=, 1-2sin αcos α=,cos α-sin α=, = =(cos α-sin α)=. 6. 設x∈,則函數(shù)y=的最小值為________. 答案 解析 因為y==, 所以令k=.又x∈, 所以k就是單位圓x2+y2=1的左半圓上的動點P(-sin 2x,cos 2x)與定點Q(0,2)所成直線的斜率.又kmin=tan 60=,所以函數(shù)y=的最小值為. 三、解答題 7. (13分)(xx廣東)已知函數(shù)f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期為10π. (1)求ω的值; (2)設α,β∈,f=-,f =,求cos(α+β)的值. 解 (1)由T==10π得ω=. (2)由得 整理得 ∵α,β∈, ∴cos α==,sin β==. ∴cos(α+β)=cos αcosβ -sin αsin β =-=-.- 配套講稿:
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