2019-2020年高三數學大一輪復習 5.3平面向量的數量積教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數學大一輪復習 5.3平面向量的數量積教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查兩個向量的數量積的求法；2.利用兩個向量的數量積求向量的夾角、向量的模；3.利用兩個向量的數量積證明兩個向量垂直． 復習備考要這樣做 1.理解數量積的意義，掌握求數量積的各種方法；2.理解數量積的運算性質；3.利用數量積解決向量的幾何問題． 1． 平面向量的數量積 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數量|a||b|cos θ叫做a和b的數量積(或內積)，記作ab＝|a||b|cos θ. 規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為__0__. 兩個非零向量a與b垂直的充要條件是ab＝0，兩個非零向量a與b平行的充要條件是ab＝|a||b|. 2． 平面向量數量積的幾何意義 數量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 3． 平面向量數量積的重要性質 (1)ea＝ae＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b?ab＝0； (3)當a與b同向時，ab＝|a||b|； 當a與b反向時，ab＝－|a||b|，aa＝a2，|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|ab|__≤__|a||b|. 4． 平面向量數量積滿足的運算律 (1)ab＝ba(交換律)； (2)(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)(λ為實數)； (3)(a＋b)c＝ac＋bc. 5． 平面向量數量積有關性質的坐標表示 設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點間的距離|AB|＝||＝. (3)設兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. [難點正本 疑點清源] 1． 向量的數量積是一個實數 兩個向量的數量積是一個數量，這個數量的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦值有關，在運用向量的數量積解題時，一定要注意兩向量夾角的范圍． 2． ab>0是兩個向量ab夾角為銳角的必要不充分條件．因為若〈a，b〉＝0，則ab>0，而a，b夾角不是銳角；另外還要注意區(qū)分△ABC中，、的夾角與角B的關系． 3． 計算數量積時利用數量積的幾何意義是一種重要方法． 1． 已知向量a和向量b的夾角為135，|a|＝2，|b|＝3，則向量a和向量b的數量積ab＝___. 答案?。? 解析 ab＝|a||b|cos 135＝23＝－3. 2． 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則實數λ的值為________． 答案 解析 由a⊥b知ab＝0. 又3a＋2b與λa－b垂直， ∴(3a＋2b)(λa－b)＝3λa2－2b2 ＝3λ22－232＝0.∴λ＝. 3． 已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為______． 答案 解析 設a和b的夾角為θ，|a|cos θ＝|a| ＝＝＝. 4． (xx遼寧)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a(2a－b)＝0，則k等于 ( ) A．－12 B．－6 C．6 D．12 答案 D 解析 由已知得a(2a－b)＝2a2－ab ＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，∴k＝12. 5． (xx陜西)設向量a＝(1，cos θ)與b＝(－1,2cos θ)垂直，則cos 2θ等于 ( ) A. B. C．0 D．－1 答案 C 解析 利用向量垂直及倍角公式求解． a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)． ∵a⊥b，∴ab＝－1＋2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0. 題型一 平面向量的數量積的運算 例1 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4，則等于 ( ) A．－16 B．－8 C．8 D．16 (2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)c＝30，則x等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3 思維啟迪：(1)由于∠C＝90，因此選向量，為基底． (2)先算出8a－b，再由向量的數量積列出方程，從而求出x. 答案 (1)D (2)C 解析 (1)＝(－)(－) ＝－＋＝16. (2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)， ∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)． 又∵(8a－b)c＝30，∴(6,3)(3，x)＝18＋3x＝30. ∴x＝4. 探究提高 求兩個向量的數量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數量積的幾何意義．本題從不同角度創(chuàng)造性地解題，充分利用了已知條件． (xx北京)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為________；的最大值為________． 答案 1 1 解析 方法一 以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，則 E(t,0)，t∈[0,1]，則＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以＝(t，－1)(0，－1)＝1. 因為＝(1,0)，所以＝(t，－1)(1,0)＝t≤1， 故的最大值為1. 方法二 由圖知，無論E點在哪個位置，在方向上的投影都是CB＝1， ∴＝||1＝1， 當E運動到B點時，在方向上的投影最大即為DC＝1，∴()max＝||1＝1. 題型二 向量的夾角與向量的模 例2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61， (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面積． 思維啟迪：運用數量積的定義和|a|＝. 解 (1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，∴ab＝－6. ∴cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)可先平方轉化為向量的數量積． |a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2ab＋|b|2 ＝42＋2(－6)＋32＝13， ∴|a＋b|＝. (3)∵與的夾角θ＝，∴∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， ∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝43＝3. 探究提高 (1)在數量積的基本運算中，經常用到數量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|＝要引起足夠重視，它是求距離常用的公式． (2)要注意向量運算律與實數運算律的區(qū)別和聯(lián)系．在向量的運算中，靈活運用運算律，達到簡化運算的目的． (1)已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且ab＝2，則a與b的夾角為( ) A. B. C. D. (2)已知向量a＝(1，)，b＝(－1,0)，則|a＋2b|等于 ( ) A．1 B. C．2 D．4 答案 (1)C (2)C 解析 (1)∵cos〈a，b〉＝＝， ∴〈a，b〉＝. (2)|a＋2b|2＝a2＋4ab＋4b2＝4－41＋4＝4， ∴|a＋2b|＝2. 題型三 向量數量積的綜合應用 例3 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求證：a＋b與a－b互相垂直； (2)若ka＋b與a－kb的模相等，求β－α.(其中k為非零實數) 思維啟迪：(1)證明兩向量互相垂直，轉化為計算這兩個向量的數量積問題，數量積為零即得證． (2)由模相等，列等式、化簡． (1)證明 ∵(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0， ∴a＋b與a－b互相垂直． (2)解 ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)， a－kb＝(cos α－kcos β，sin α－ksin β)， |ka＋b|＝， |a－kb|＝. ∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)． 又k≠0，∴cos(β－α)＝0. ∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝. 探究提高 (1)當向量a與b是坐標形式給出時，若證明a⊥b，則只需證明ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)當向量a，b是非坐標形式時，要把a，b用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進行運算證明ab＝0. (3)數量積的運算中，ab＝0?a⊥b中，是對非零向量而言的，若a＝0，雖然有ab＝0，但不能說a⊥b. 已知平面向量a＝(，－1)，b＝. (1)證明：a⊥b； (2)若存在不同時為零的實數k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數關系式k＝f(t)． (1)證明 ∵ab＝－1＝0， ∴a⊥b. (2)解 ∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d， ∴cd＝[a＋(t2－3)b](－ka＋tb) ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]ab＝0， 又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，ab＝0， ∴cd＝－4k＋t3－3t＝0， ∴k＝f(t)＝ (t≠0)． 三審圖形抓特點 典例：(4分)如圖所示，把兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起， 若＝x＋y，則x＝________， y＝________. 審題路線圖 圖形有一副三角板構成 ↓(注意一副三角板的特點) 令|AB|＝1，|AC|＝1 ↓(一副三角板的兩斜邊等長) |DE|＝|BC|＝ ↓(非等腰三角板的特點) |BD|＝|DE|sin 60＝＝ ↓(注意∠ABD＝45＋90＝135) 在上的投影即為x ↓x＝|AB|＋|BD|cos 45＝1＋＝1＋ ↓在上的投影即為y ↓y＝|BD|sin 45＝＝. 解析 方法一 結合圖形特點，設向量，為單位向量，由＝x＋y知，x，y分別為在，上的投影．又|BC|＝|DE|＝， ∴||＝||sin 60＝. ∴在上的投影 x＝1＋cos 45＝1＋＝1＋， 在上的投影y＝sin 45＝. 方法二 ∵＝x＋y，又＝＋， ∴＋＝x＋y，∴＝(x－1)＋y. 又⊥，∴＝(x－1)2. 設||＝1，則由題意||＝||＝. 又∠BED＝60，∴||＝.顯然與的夾角為45. ∴由＝(x－1)2， 得1cos 45＝(x－1)12.∴x＝＋1. 同理，在＝(x－1)＋y兩邊取數量積可得y＝. 答案 1＋ 溫馨提醒 突破本題的關鍵是，要抓住圖形的特點(圖形由一副三角板構成)．根據圖形的特點，利用向量分解的幾何意義，求解方便快捷．方法二是原試題所給答案，較方法一略顯繁雜． 方法與技巧 1． 計算數量積的三種方法：定義、坐標運算、數量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關的不要忽略數量積幾何意義的應用． 2． 求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，將模的運算轉化為向量的數量積的運算． 3． 利用向量垂直或平行的條件構造方程或函數是求參數或最值問題常用的方法與技巧． 失誤與防范 1． (1)0與實數0的區(qū)別：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關系． 2． ab＝0不能推出a＝0或b＝0，因為ab＝0時，有可能a⊥b. 3． ab＝ac(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立． A組 專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx遼寧)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若ab＝1，則x等于 ( ) A．－1 B．－ C. D．1 答案 D 解析 ab＝(1，－1)(2，x)＝2－x＝1?x＝1. 2． (xx重慶)設x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|等于 ( ) A. B. C．2 D．10 答案 B 解析 ∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得ac＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝. 3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 設c＝(x，y)，則c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)(3，－1)＝3x－y＝0.② 聯(lián)立①②解得x＝－，y＝－. 4． 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，則等于 ( ) A．－ B．－ C. D. 答案 D 解析 由于＝||||cos∠BAC ＝(||2＋||2－||2)＝(9＋4－10)＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． (xx課標全國)已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 答案 3 解析 ∵a，b的夾角為45，|a|＝1， ∴ab＝|a||b|cos 45＝|b|， |2a－b|2＝4－4|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3. 6． (xx浙江)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則＝________. 答案 －16 解析 如圖所示， ＝＋， ＝＋ ＝－， ∴＝(＋)(－) ＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16. 7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是__________． 答案 (－∞，－6)∪ 解析 由ab<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得： 6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a與b的夾角是45. (1)求b； (2)若c與b同向，且a與c－a垂直，求c. 解 (1)ab＝2n－2，|a|＝，|b|＝， ∴cos 45＝＝，∴3n2－16n－12＝0， ∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)． (2)由(1)知，ab＝10，|a|2＝5. 又c與b同向，故可設c＝λb (λ>0)，(c－a)a＝0， ∴λba－|a|2＝0，∴λ＝＝＝， ∴c＝b＝(－1,3)． 9． (12分)設兩個向量e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍． 解 ∵e1e2＝|e1||e2|cos 60＝21＝1， ∴(2te1＋7e2)(e1＋te2) ＝2te＋7te＋(2t2＋7)e1e2 ＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7. 由已知得2t2＋15t＋7<0，解得－7
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